4.4.1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念4.4.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的概念

對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)人教A版

數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)1.通過具體實(shí)例,了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.2.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象,探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0,且a≠1).課程標(biāo)準(zhǔn)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)函數(shù)的概念(1)一般地,函數(shù)

叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量,定義域是

.

(2)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù).它們的定義域與值域正好互換.2.兩種特殊的對(duì)數(shù)特別地,我們稱以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為常用對(duì)數(shù)函數(shù),記作y=lgx;稱以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為自然對(duì)數(shù)函數(shù),記作y=lnx.y=logax(a>0,且a≠1)(0,+∞)名師點(diǎn)睛1.判斷一個(gè)函數(shù)是不是對(duì)數(shù)函數(shù)的依據(jù):(1)形如y=logax;(2)底數(shù)a滿足a>0,且a≠1;(3)真數(shù)為x,而不是x的函數(shù).2.根據(jù)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系知,y=logax可化為ay=x,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知在對(duì)數(shù)函數(shù)中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.思考辨析函數(shù)y=2x的圖象與函數(shù)y=log2x的圖象有什么關(guān)系?提示

關(guān)于直線y=x對(duì)稱.自主診斷1.下列函數(shù)表達(dá)式中,對(duì)數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)①y=logx2;②y=logax(a∈R);③y=log8x;④y=lnx;⑤y=logx(x+2);⑥y=2log4x;⑦y=log2(x+1).A.1

B.2

C.3

D.4B解析

由于①中自變量出現(xiàn)在底數(shù)上,所以①不是對(duì)數(shù)函數(shù);由于②中底數(shù)a∈R不能保證a>0,且a≠1,所以②不是對(duì)數(shù)函數(shù);由于⑤⑦的真數(shù)分別為(x+2),(x+1),所以⑤⑦也不是對(duì)數(shù)函數(shù);由于⑥中l(wèi)og4x的系數(shù)為2,所以⑥也不是對(duì)數(shù)函數(shù).只有③④符合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.故選B.2.[人教B版教材例題改編]函數(shù)y=lg(4-x)的定義域?yàn)?/p>

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(-∞,4)解析

由題意4-x>0,所以x<4,所以函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,4).知識(shí)點(diǎn)2

對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象和性質(zhì)a的取值范圍a>10<a<1圖象

性質(zhì)(1)定義域:(0,+∞)(2)值域:R(3)過定點(diǎn)(1,0),即x=1時(shí),y=0(4)當(dāng)x>1時(shí),y>0;0<x<1時(shí),y<0(4)當(dāng)x>1時(shí),y<0;0<x<1時(shí),y>0(5)在(0,+∞)上是增函數(shù).當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大;當(dāng)x值趨近于0時(shí),函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大(5)在(0,+∞)上是減函數(shù).當(dāng)x值趨近于正無窮大時(shí),函數(shù)值趨近于負(fù)無窮大;當(dāng)x值趨近于0時(shí),函數(shù)值趨近于正無窮大名師點(diǎn)睛1.對(duì)數(shù)函數(shù)的符號(hào)常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約,注意對(duì)底數(shù)a的分類討論.2.當(dāng)?shù)讛?shù)a>1時(shí),圖象在第一象限內(nèi)越接近x軸,a越大;當(dāng)?shù)讛?shù)0<a<1時(shí),圖象在第四象限內(nèi)越接近x軸,a越小.3.分析對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象,需找三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(a,1),(1,0),思考辨析對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象都在y軸的右側(cè),這反映了函數(shù)的哪條性質(zhì)?提示

函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞).自主診斷1.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)不是增函數(shù)的是(

)A.y=5x

B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.2.若對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)P(9,2),則此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為

.

Dy=log3x解析

設(shè)該對(duì)數(shù)函數(shù)為y=logax(a>0,且a≠1),∴2=loga9,∴a=3,∴此對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y=log3x.3.函數(shù)f(x)=loga(x-2)-2x的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)

.

4.[人教B版教材習(xí)題]求函數(shù)y=log2x,x∈[8,+∞)的值域.(3,-6)解

函數(shù)y=log2x在[8,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=8時(shí),y取得最小值3,所以函數(shù)的值域?yàn)閇3,+∞).重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一對(duì)數(shù)函數(shù)的概念【例1】

(1)已知對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=(m2-3m+3)logmx,則m=

.

2解析

由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因?yàn)閙>0,且m≠1,所以m=2.①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.解

①由題意設(shè)f(x)=logax(a>0,且a≠1),②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.規(guī)律方法1.對(duì)數(shù)函數(shù)是一個(gè)形式定義:2.對(duì)數(shù)函數(shù)解析式中只有一個(gè)參數(shù)a,用待定系數(shù)法求對(duì)數(shù)函數(shù)解析式時(shí)只需一個(gè)條件即可求出.變式訓(xùn)練1(1)(多選題)下列函數(shù)中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是(

)CD解析

對(duì)于A,真數(shù)是-x,故A不是對(duì)數(shù)函數(shù);對(duì)于B,y=log4x2=log2|x|,真數(shù)是|x|,不是x,故B不是對(duì)數(shù)函數(shù);對(duì)于C,ln

x的系數(shù)為1,真數(shù)是x,故C是對(duì)數(shù)函數(shù);(2)點(diǎn)A(8,-3)和B(n,2)在同一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象上,則n=

.

解析

設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為f(x)=logax(a>0,且a≠1).則由題意可得f(8)=-3,即loga8=-3,探究點(diǎn)二與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題{x|x>0,且x≠1}∴x>0且x≠1.∴函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>0,且x≠1}.(2,3)∪(3,5]解析

已知函數(shù)f(x2+1)的定義域?yàn)閇1,2],所以x∈[1,2],x2+1∈[2,5],所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2,5],又x-2>0,且x-2≠1,解得x>2,且x≠3,所以g(x)的定義域?yàn)?2,3)∪(3,5].規(guī)律方法求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域的方法(1)求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域時(shí),除遵循前面已學(xué)過的求函數(shù)定義域的方法外,還要根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)自身的特點(diǎn)滿足以下要求:一是要對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零;二是要注意對(duì)數(shù)的底數(shù);三是根據(jù)底數(shù)的取值結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為關(guān)于真數(shù)的不等式求解.(2)遵循對(duì)數(shù)函數(shù)自身的要求:一是真數(shù)大于零;二是底數(shù)大于零且不等于1;三是按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性,有針對(duì)性地解不等式.變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)的定義域:探究點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用【例3】

已知函數(shù)f(x)=log2x,若函數(shù)g(x)是f(x)的反函數(shù),則f(g(2))=(

)A.1 B.2C.3 D.4B解析

∵g(x)是f(x)的反函數(shù),∴g(x)=2x.∵g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.規(guī)律方法涉及指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)問題,一定注意前提是“同底數(shù)”,且它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱;反之,兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù).變式訓(xùn)練3函數(shù)f(x)與g(x)=互為反函數(shù),則f(4x-1)的定義域?yàn)?/p>

.

探究點(diǎn)四對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象【例4】

(1)如圖所示的曲線是對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logdx的圖象,則a,b,c,d,1的大小關(guān)系為(

)A.b>a>1>c>d B.a>b>1>c>d

C.b>a>1>d>c D.a>b>1>d>cC解析

由圖可知a>1,b>1,0<c<1,0<d<1.作直線y=1(圖略),則直線與四條曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為c,d,a,b,顯然b>a>1>d>c.故選C.(2)作出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)區(qū)間.解

先畫出函數(shù)y=lg

x的圖象(如圖①).再將該函數(shù)圖象向右平移1個(gè)單位長度得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖②).最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對(duì)稱翻折到x軸上方(原來在x軸上方的部分不變),即得出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖③).由圖易知其定義域?yàn)?1,+∞),值域?yàn)閇0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2],單調(diào)遞增區(qū)間為(2,+∞).規(guī)律方法求解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問題,首先應(yīng)明確對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象特征,結(jié)合函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象的變換規(guī)律求解.(1)一般地,函數(shù)y=f(x±a)+b(a,b為實(shí)數(shù))的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個(gè)單位長度,再沿y軸向上或向下平移|b|個(gè)單位長度得到的.(2)含有絕對(duì)值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過對(duì)稱變換得到的.一般地,y=f(|x-a|)的圖象是關(guān)于直線x=a對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形;函數(shù)y=|f(x)|的圖象與y=f(x)的圖象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分關(guān)于x軸對(duì)稱.變式訓(xùn)練4(1)[2024江西南昌高一期中]若0<b<1<a,則函數(shù)y=logb(x+a)的圖象不經(jīng)過(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限A解析

∵0<b<1<a,∴y=logbx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且其圖象過第一、第四象限,圖象向左平移a個(gè)單位長度,得到y(tǒng)=logb(x+a)的圖象,故函數(shù)y=logb(x+a)的圖象不經(jīng)過第一象限.故選A.(2)畫出下列函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出函數(shù)的定義域與值域以及單調(diào)區(qū)間:①y=log3(x-2);②f(x)=log5|x|.解

①函數(shù)y=log3(x-2)的圖象如圖①.其定義域?yàn)?2,+∞),值域?yàn)镽,在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增.②∵f(x)=log5|x|,∴f(x)是偶函數(shù),其圖象如圖②所示.其定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),值域?yàn)镽,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0).探究點(diǎn)五利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小【例5】

(1)下列不等式一定成立的是(其中a>0,且a≠1)(

)B解析

對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)閍和1的大小關(guān)系不確定,無法確定對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,故A不一定成立;對(duì)于選項(xiàng)B,因?yàn)橐?/p>

為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是減函數(shù),又2.1<2.2,故B成立;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)橐?.1為底的對(duì)數(shù)函數(shù)是增函數(shù),又a+1>a,故C不成立;對(duì)于選項(xiàng)D,log32.9>0,log0.52.2<0,故D不成立.故選B.(2)[人教B版教材例題]已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),求m的取值范圍.規(guī)律方法比較兩個(gè)對(duì)數(shù)式大小的常用方法(1)當(dāng)?shù)讛?shù)相同、真數(shù)不相同時(shí),直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較.(2)當(dāng)?shù)讛?shù)不同,真數(shù)相同時(shí),可根據(jù)圖象與底數(shù)的關(guān)系所反映出的規(guī)律比較,常數(shù)形結(jié)合.(3)當(dāng)?shù)讛?shù)和真數(shù)都不相同時(shí),可考慮引進(jìn)第三個(gè)數(shù)(常用“0”或“1”)分別與之比較,然后通過第三個(gè)數(shù)的傳遞進(jìn)行比較.變式訓(xùn)練5比較下列各組中兩個(gè)值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;解

(單調(diào)性法)因?yàn)閒(x)=log3x在(0,+∞)上是增函數(shù),且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.解

(中間量法)因?yàn)閘og23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).解

(分類討論法)當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=logax在定義域內(nèi)是增函數(shù),則有l(wèi)ogaπ>loga3.141;當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=logax在定義域內(nèi)是減函數(shù),則有l(wèi)ogaπ<loga3.141.綜上所述,當(dāng)a>1時(shí),logaπ>loga3.141;當(dāng)0<a<1時(shí),logaπ<loga3.141.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234561.已知函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=10x的反函數(shù),則f(10)=