半角的正弦、余弦和正切

半角的正弦、余弦和正切〔課堂教學(xué)實(shí)錄〕廣西防城港市上思縣上思中學(xué)[教者]王春雷[點(diǎn)評]凌旭球〔中學(xué)特級教師〕一、教學(xué)目標(biāo)掌握半角公式及推導(dǎo)方法。理解公式的構(gòu)造特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，能根據(jù)條件確定公式中的符號。能熟練、合理地運(yùn)用公式。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析重點(diǎn)：，，公式的推導(dǎo)、識記及熟練運(yùn)用。難點(diǎn)：，公式中雙重符號的選擇、三個(gè)公式的靈活運(yùn)用。三、教學(xué)用具、準(zhǔn)備電腦和投影設(shè)備，自制電腦課件。四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)〔一〕復(fù)習(xí)引入師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二倍角的正弦、余弦和正切公式，現(xiàn)在讓我們一起回憶一下：〔師生合作答復(fù)，然后用投影顯示〕評：從復(fù)習(xí)與新知相關(guān)的舊知入手，為探討新課題作鋪墊。下面，我們一起來看一道習(xí)題：，求和的值?！餐队帮@示〕我們能利用已學(xué)的公式來解這道題嗎？生：能，用二倍角公式。師：那好，下面我們就一起來完成這道題：〔生集體答復(fù)，師板書〕評：這道習(xí)題的設(shè)計(jì)，既起到了穩(wěn)固舊知，又蘊(yùn)含著準(zhǔn)備將新知轉(zhuǎn)化為舊知去研究的作用。師：從上面的解題過程，我們可以知道，從單角函數(shù)求倍角函數(shù)，直接代入公式即可，不需要考慮值的符號；但是從倍角函數(shù)求單角函數(shù)，得到的是涉及開方運(yùn)算的式子，這時(shí)就需要考慮函數(shù)值的符號了?，F(xiàn)在，我們再來看另一道習(xí)題，：，求的值?！餐队帮@示〕我們還能利用已學(xué)的公式來直接求解呢？評：用這道習(xí)題作引子，并用設(shè)疑式為新課引入作準(zhǔn)備，可使學(xué)生明確探索目標(biāo)，帶著任務(wù)學(xué)。生：不能。師：但如果我們把看成上題的角，那角就變成了上題的什么角？生：角。師：所以，的值是……〔稍作停頓〕生：。師：不錯(cuò)，這就啟發(fā)我們：如果把二倍角公式中的角換成角，把公式中的角換成角，就得到用單角來表示半角的公式，即“半角公式〞?！矌煱鍟n題〕評：新課題以舊知識不能解決的問題來引入是一種好方法，它可激發(fā)學(xué)生探求新知的欲望與熱情?！捕承抡n講授1、公式推導(dǎo)師：下面，我們一起來探討如何從“二倍角公式〞導(dǎo)出“半角公式〞。先探討如何將公式變形得出與角的三角函數(shù)關(guān)系。生：由，從中解出。師：不錯(cuò)，但這個(gè)等式太麻煩了，不便于解出，能否用更簡潔的方法來求解呢？生：可以利用得出，從而師：〔板書〕對，但公式中“±〞號確實(shí)定是關(guān)鍵，是不是兩個(gè)都要呢？生：〔稍作討論后答復(fù)〕不是，應(yīng)根據(jù)角所在的范圍中正弦的符號來選取。師：具體的說，就是角在第一、二象限時(shí)取……〔稍作停頓〕生：“+〞號。師：當(dāng)角在第三、四象限時(shí)取……〔稍作停頓〕生：“-〞號。師：如果沒有指明角的范圍呢？生：“±〞號都要。評：師生合作導(dǎo)出“半角正弦〞公式，在教師的“主導(dǎo)〞下，讓學(xué)生積極主動(dòng)地探索，依靠學(xué)生自己的思維去獲取知識，也順利地解決了“±〞號確實(shí)定這一關(guān)鍵性問題。師：很好。下面我們接著來研究角的余弦。生：利用得出，從而。師：〔板書〕這里又出現(xiàn)了“±〞號，請大家參照剛剛的方法總結(jié)一下。生：當(dāng)角在第一、四象限時(shí)取“+〞，在第二、三象限時(shí)取“-〞；如果沒有指明角的范圍時(shí)，“±〞號兩個(gè)都要。評：有了“半角正弦〞的推導(dǎo)作樣板，“半角余弦〞的導(dǎo)出自然水到渠成。師：不錯(cuò)。我們現(xiàn)在已導(dǎo)出了半角的正弦、余弦公式，如果利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，你能馬上得出半角的正切公式嗎？生：能。由商數(shù)關(guān)系得：評：點(diǎn)拔恰當(dāng)，在此使學(xué)生感受到“聯(lián)想〞的作用。師：〔板書〕由于分子、分母都有“±〞號，能否把“±〞號約掉？生：不能。師：那么又如何理解結(jié)果中的“±〞號呢？生：是分子、分母的“±〞號搭配的結(jié)果——當(dāng)分子、分母同號時(shí)取“+〞，分子、分母異號時(shí)取“-〞。師：由這一搭配的結(jié)果，你能根據(jù)角所在的范圍說出如何選取正切符號嗎？生：能。當(dāng)角在第一、三象限時(shí)取“+〞，在第二、四象限時(shí)取“-〞；當(dāng)沒有指明角的取值范圍時(shí)，應(yīng)該同時(shí)取“±〞號。師：此外，還有沒有其它方法來處理這雙重符號呢？〔生困惑，議論〕評：問題提得好，將學(xué)生自然引導(dǎo)到對“半角正切〞公式的深層探討上。師：我們能不能利用乘除符號性質(zhì)來判斷與是同號還是異號呢？生：能，是同號。師：那么與呢？生：也是同號。師：根據(jù)這種思路，下面我們進(jìn)一步來研究的公式，使它變得更簡單，更便于使用。由于，將的分子、分母同時(shí)乘以2或2，使變成，那么會(huì)得到什么結(jié)果呢？生：或〔師板書〕2、公式識記師：至此，我們已經(jīng)把本節(jié)課要學(xué)習(xí)的“半角公式〞全部推導(dǎo)出來了。下面，我們一起來探討對這組公式的初步理解與記憶?！餐队帮@示公式〕=1\*GB2⑴〔〕。=2\*GB2⑵〔〕=3\*GB2⑶〔〕=4\*GB2⑷=5\*GB2⑸〔〕’師：首先明確公式成立的條件，即角的取值范圍，先看=1\*GB2⑴、=2\*GB2⑵。生：公式=1\*GB2⑴、=2\*GB2⑵的條件是。師：再看公式=3\*GB2⑶、=4\*GB2⑷。生：對于公式=3\*GB2⑶、=4\*GB2⑷，需滿足左、右兩式均有意義，即：，且，所以。師：那么公式=5\*GB2⑸的條件呢？生：，且，即：，且，所以，。師：公式=4\*GB2⑷、=5\*GB2⑸都是從式子推出的，為什么成立的條件不一樣呢？生：〔稍作議論后答復(fù)〕因?yàn)橥艘?時(shí)，不能保證它一定不為零，為了保證變形的等價(jià)性，需添上條件，即，所以增加了公式的使用條件。師：現(xiàn)在我們將公式成立的條件總結(jié)如下圖，希望大家在使用時(shí)加以注意。〔投影顯示圖表〕公式左端取值范圍右端取值范圍從左到右取值變化未變未變未變變小,縮小范圍為師：下面我們一起探討對公式如何記憶。請大家先仔細(xì)觀察半角的正切公式，然后對以下這四個(gè)式子，，，，〔投影顯示〕進(jìn)展判斷，是否是公式的表達(dá)式？生：都不是。師：對，在的表達(dá)式中，只含有三種不同的式子：，和，而假設(shè)出現(xiàn)一定會(huì)在分母上，如=3\*GB2⑶、=4\*GB2⑷；假設(shè)出現(xiàn)那么一定出現(xiàn)出分子上，如=3\*GB2⑶、=5\*GB2⑸；而=4\*GB2⑷、=5\*GB2⑸兩個(gè)公式，一旦分子或分母確定下來，另一個(gè)位置肯定就是。同時(shí)，根據(jù)的性質(zhì)，我們就可以很容易地建立起與，與的聯(lián)系。當(dāng)然，最好的記憶方法還應(yīng)該是在公式的應(yīng)用中熟悉、并掌握下來。評：提醒公式成立的條件及內(nèi)在聯(lián)系，理清其構(gòu)造形式，不僅使學(xué)生改變死記硬背公式的習(xí)慣，而且掌握了公式的本質(zhì)到達(dá)識記作用。這樣做可拓展學(xué)生的思維領(lǐng)域，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。3、穩(wěn)固練習(xí)師：下面，請大家應(yīng)用半角公式來解題，看投影：例：，根據(jù)以下條件求，，的值。=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵為第四象限的角。師：我們應(yīng)該用什么方法來解這道題呢？生：用半角公式。師：還需要什么條件嗎？生：還需要知道和角的范圍。師：那好，我們現(xiàn)在請一位同學(xué)上來具體計(jì)算一下=1\*GB2⑴。生：〔板書〕=1\*GB2⑴解：，師：做得很好。特別值得肯定的是對角范圍的指出，因?yàn)楣街小啊括曁柕倪x擇要看角的范圍。評：恰當(dāng)?shù)恼n內(nèi)練習(xí)，起著穩(wěn)固新知的作用，而對學(xué)生練習(xí)作實(shí)事求是的評價(jià)，非常重要，可使學(xué)生感受成功的樂趣。師：下面，我們來做=2\*GB2⑵。由于時(shí)間關(guān)系，我們只要求指出各值的符號即可。生：為第四象限，，即。當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為第四象限的角；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為第二象限的角。當(dāng)為第二象限時(shí)，為正，為正，為負(fù)，為負(fù)。當(dāng)為第四象限時(shí)，為正，為負(fù)，為正，為負(fù)。師：不錯(cuò)，下面大家比擬一下這兩道小題的計(jì)算，你們有何發(fā)現(xiàn)，或有什么疑問嗎？生：=1\*GB2⑴中的是第四象限的角，=2\*GB2⑵中的角也是第四象限的角，為什么=1\*GB2⑴只有一組解，而=2\*GB2⑵卻有兩組解呢？師：問題提得好。這是因?yàn)?1\*GB2⑴中的角是區(qū)間角，只是第四象限角中的一局部，角只有一種可能；而=2\*GB2⑵中的是象限角，角有兩種可能。所以我們要在解題時(shí)一定要注意區(qū)分區(qū)間角和象限角這兩個(gè)不同的概念?！踩硽w納小結(jié)這節(jié)課我們一起導(dǎo)出了“半角公式〞，并做了初步的理解與應(yīng)用。在這里我們要注意以下幾點(diǎn)：=1\*GB2⑴半角與倍角是相對的，也是嚴(yán)密聯(lián)系的，是同一種關(guān)系的不同表現(xiàn)形式。=2\*GB2⑵對公式的記憶要采取合成記憶的方法，即比照記憶〔求同〕結(jié)合特例記憶〔求異〕來進(jìn)展。=3\*GB2⑶要處理好公式中雙重符號的選擇?！餐队帮@示以上三點(diǎn)〕至于對半角公式的進(jìn)一步綜合應(yīng)用將在下節(jié)課繼續(xù)研究。評：必要的歸納、總結(jié)，起到將知識升華及遷移運(yùn)用，使之轉(zhuǎn)化為能力的作用。那么對公式的靈活運(yùn)用，有待后續(xù)課程的強(qiáng)化。〔四〕布置作業(yè)：課此題1、2、3題五、課堂設(shè)計(jì)說明本節(jié)課沒有直接給出公式，而是采用啟發(fā)式教學(xué)，注重學(xué)生的參與度，通過提問、板演、投影、討論等多種形式引導(dǎo)學(xué)生對公式的內(nèi)容、推導(dǎo)進(jìn)展獨(dú)立思考、探索，培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系轉(zhuǎn)化的辯證思想。六、板書設(shè)計(jì)§3.3半角的正弦、余弦、正切二倍角公式〔略〕半角公式〔略〕作業(yè)：1、2、3倍角公式復(fù)習(xí)題半角公式推導(dǎo)例題〔略〕總評：本課教者從與新知相關(guān)的舊知“二倍角公式〞復(fù)習(xí)入手，設(shè)計(jì)了兩道習(xí)題作為探求新知的引子，將所學(xué)新知識轉(zhuǎn)化為用舊知識去研究解決，即符合認(rèn)識規(guī)律，又為探求新知起到前期測診及掃清障礙的作用。在講授中，采用師生對話、合作討論的啟發(fā)式教學(xué)方法，全程圍繞教學(xué)目標(biāo)開展，從舊知自然引申到新知，有層次地引導(dǎo)學(xué)生向深層探索，逐步展開，充分顯示了教師的主導(dǎo)作用。而學(xué)生始終