2020-2021學年新教材數學北師大版(2019)必修第二冊課件：1.2-任意角-課件(63張)-

§2任意角必備知識·自主學習1.任意角(1)角的概念角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形.導思1.銳角屬于第幾象限角?2.第四象限的角比第三象限的角大嗎?(2)角的分類按旋轉方向,角可以分為三類:【思考】如果一個角的始邊與終邊重合,那么這個角一定是零角嗎?提示:不一定,若角的終邊未作旋轉,則這個角是零角.若角的終邊作了旋轉,則這個角就不是零角.2.象限角(1)象限角的概念在平面直角坐標系中研究角時,如果角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,那么,角的終邊(除端點外)在第幾象限,我們就說這個角是第幾象限角.(2)象限角的集合表示象限角角的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}第二象限角{α|k·360°+90°<α<k·360°+180°,k∈Z}第三象限角{α|k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z}第四象限角{α|k·360°+270°<α<k·360°+360°,k∈Z}(3)軸線角的集合表示軸線角角的集合表示終邊落在x軸的非負半軸上的角{α|α=k·360°,k∈Z}終邊落在x軸的非正半軸上的角{α|α=k·360°+180°,k∈Z}終邊落在x軸上的角{α|α=k·180°,k∈Z}終邊落在y軸的非負半軸上的角{α|α=k·360°+90°,k∈Z}終邊落在y軸的非正半軸上的角{α|α=k·360°+270°,k∈Z}終邊落在y軸上的角{α|α=k·180°+90°,k∈Z}終邊落在坐標軸上的角{α|α=k·90°,k∈Z}(4)終邊相同的角所有與角α終邊相同的角,連同角α在內,可構成一個集合S={β|β=α+k×360°,k∈Z},即任何一個與角α終邊相同的角,都可以表示成角α與周角的整數倍的和.【思考】假設60°角的終邊是OB,那么-660°,420°角的終邊與60°角的終邊有什么關系?它們與60°分別相差多少?提示:它們的終邊相同.-660°=60°-2×360°,420°=60°+360°,故它們與60°分別相隔了2個周角的和及1個周角.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)鈍角是第二象限角. (

)(2)第二象限的角一定比第一象限的角大. (

)(3)終邊相同的角不一定相等. (

)提示:(1)√.大于90°而小于180°的角稱為鈍角,它是第二象限角.(2)×.100°是第二象限角,361°是第一象限角,但100°<361°.(3)√.終邊相同的角可以相差360°的整數倍.2.(教材二次開發(fā):練習改編)-378°是第______象限角. (

)

A.一 B.二 C.三 D.四【解析】選D.-378°=-360°-18°,因為-18°是第四象限角,所以-378°是第四象限角.3.把-936°化為α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式為________.

【解析】-936°=-3×360°+144°,故-936°化為α+k·360°(0°≤α<360°,k∈Z)的形式為144°+(-3)×360°.答案:144°+(-3)×360°關鍵能力·合作學習類型一終邊相同的角(邏輯推理、直觀想象)【典例】已知α=-1910°.(1)把α寫成β+k×360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第幾象限角;(2)求θ,使θ與α的終邊相同,且-720°≤θ<0°.【思路導引】結合終邊相同的角的概念計算求解.【解析】(1)-1910°=250°-6×360°,其中β=250°,從而α=250°+(-6)×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+k×360°(k∈Z),取k=-1,-2就得到滿足-720°≤θ<0°的角,即250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.所以θ為-110°或-470°.【解題策略】

將任意角化為α+k·360°(k∈Z,且0°≤α<360°)的形式,關鍵是確定k.可用觀察法(α的絕對值較小時適用),也可用除以360°的方法.要注意:正角除以360°,按通常的除法進行,負角除以360°,商是負數,且余數為正值.【跟蹤訓練】已知角α的終邊與-120°角的終邊關于x軸對稱,且-360°<α<360°,求角α.【解析】如圖,因為120°角與-120°角的終邊關于x軸對稱,所以角α的終邊與120°角的終邊相同,所以α=k·360°+120°(k∈Z).因為-360°<α<360°,所以-<k<,所以k=-1或k=0,所以α=-240°或α=120°.類型二象限角(數學抽象)【題組訓練】1.在-20°,-400°,-2000°,1600°四個角中,第四象限角的個數是(

)

A.0 B.1 C.2 D.32.已知α為第二象限角,那么2α,分別是第幾象限角?3.已知α為第一象限角,求180°-是第幾象限角.【解析】1.選C.-20°是第四象限角,-400°=-360°-40°,與-40°終邊相同,是第四象限角,-2000°=-6×360°+160°,與160°終邊相同,是第二象限角,1600°=4×360°+160°,與160°終邊相同,是第二象限角,故第四象限角有2個.2.因為α是第二象限角,所以90°+k×360°<α<180°+k×360°,180°+2k×360°<2α<360°+2k×360°,k∈Z.所以2α是第三或第四象限角,或是終邊落在y軸的非正半軸上的角.同理45°+×360°<<90°+×360°,k∈Z.當k為偶數時,不妨令k=2n,n∈Z,則45°+n×360°<<90°+n×360°,此時,為第一象限角;當k為奇數時,令k=2n+1,n∈Z,則225°+n×360°<<270°+n×360°,此時,

為第三象限角.所以為第一或第三象限角.3.因為α為第一象限角,所以k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z,所以k·180°<<k·180°+45°,k∈Z,所以-45°-k·180°<-<-k·180°,k∈Z,所以135°-k·180°<180°-<180°-k·180°,k∈Z.當k=2n(n∈Z)時,135°-n·360°<180°-<180°-n·360°,為第二象限角;當k=2n+1(n∈Z)時,-45°-n·360°<180°-<-n·360°,為第四象限角.所以180°-是第二或第四象限角.【解題策略】1.象限角的判定方法(1)根據圖象判定.利用圖象實際操作時,依據是終邊相同的角的概念,因為0°～360°之間的角與坐標系中的射線可建立一一對應的關系.(2)將角轉化到0°～360°范圍內,在直角坐標平面內,0°～360°范圍內沒有兩個角終邊是相同的.2.α,2α,等角的終邊位置的確定方法(1)利用象限角的概念或已知條件,寫出角α的范圍.(2)利用不等式的性質,求出2α,等角的范圍.(3)利用“旋轉”的觀點,確定角終邊的位置.例如,如果得到k×120°<<k×120°+30°,k∈Z,可畫出0°<<30°所表示的區(qū)域,再將此區(qū)域依次逆時針或順時針轉動120°(如圖所示).類型三終邊落在過原點的直線上的角(直觀想象)【典例】寫出角β的終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360°<β<720°的元素β寫出來.【思路導引】先利用終邊相同的角寫出終邊落在射線上的角,然后把它們合并.【解析】如圖,直線y=x過原點,它向上的方向與x軸正方向的夾角為45°,在0°～360°范圍內,終邊在直線y=x上的角有兩個:45°,225°.因此,終邊在直線y=x上的角的集合S={β|β=45°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|β=45°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=45°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=45°+n·180°,n∈Z}.由于-360°<β<720°,即-360°<45°+n·180°<720°,n∈Z,解得-<n<,n∈Z.所以n=-2,-1,0,1,2,3.所以S中適合不等式-360°<β<720°的元素是45°-2×180°=-315°,45°-1×180°=-135°,45°+0×180°=45°,45°+1×180°=225°,45°+2×180°=405°,45°+3×180°=585°.

【解題策略】1.終邊落在直線上的角的集合的步驟(1)寫出在0°～360°范圍內相應的角;(2)由終邊相同的角的表示方法寫出角的集合;(3)根據條件能合并一定合并,使結果簡潔.2.終邊相同角常用的三個結論(1)終邊相同的角之間相差360°的整數倍.(2)終邊在同一直線上的角之間相差180°的整數倍.(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90°的整數倍.【跟蹤訓練】

已知角β的終邊在直線y=-x上.(1)寫出角β的集合S;(2)寫出S中適合不等式-360°<β<720°的元素.【解析】(1)如圖,直線y=-x過原點,它是第二、四象限角的平分線所在的直線,故在0°～360°范圍內終邊在直線y=-x上的角有兩個:135°,315°.因此,終邊在直線y=-x上的角的集合S={β|β=135°+k·360°,k∈Z}∪{β|β=315°+k·360°,k∈Z}={β|β=135°+2k·180°,k∈Z}∪{β|β=135°+(2k+1)·180°,k∈Z}={β|β=135°+n·180°,n∈Z}.(2)由于-360°<β<720°,即-360°<135°+n·180°<720°,n∈Z.解得-<n<,n∈Z.所以n=-2,-1,0,1,2,3.所以S中適合不等式-360°<β<720°的元素為:135°-2×180°=-225°;135°-1×180°=-45°;135°+0×180°=135°;135°+1×180°=315°;135°+2×180°=495°;135°+3×180°=675°.1.下列說法正確的是 (

)

A.終邊相同的角都相等B.鈍角比第三象限角小C.第一象限角都是銳角D.銳角都是第一象限角課堂檢測·素養(yǎng)達標【解析】選D.終邊相同的角相差360°的整數倍,并不一定相等,故A錯誤;鈍角并不一定比第三象限角小,如-135°是第三象限角,顯然-135°比鈍角小,故B錯;銳角一定是第一象限角,但第一象限角未必都是銳角,故D正確,C錯誤.2.集合A={α|α=k·90°-36°,k∈Z},B={β|-180°<β<180°},則A∩B等于(

)A.{-36°,54°}B.{-126°,144°}C.{-126°,-36°,54°,144°}D.{-126°,54°}【解析】選C.令k=-1,0,1,2,則A,B的公共元素有-126°,-36°,54°,144°.3.終邊與坐標軸重合的角α的集合是 (

)A.{α|α=k·360°,k∈Z}B.{α|α=k·180°+90°,k∈Z}C.{α|α=k·180°,k∈Z}D.{α|α=k·90°,k∈Z}【解析】選D.終邊落在x軸上的角α的集合為S1={α|α=k·180°,k∈Z},終邊落在y軸上的角α的集合為S2={α|α=90°+k·180°,k∈Z},因此,終邊落在坐標軸上的角α的集合為S=S1∪S2={α|α=k·90°,k∈Z}.4.(教材二次開發(fā):習題改編)從13:00到14:00,時針轉過的角度為________,分針轉過的角度為________.

【解析】經過1小時,時針順時針轉過了30°,分針順時針轉過了360°.答案:-30°

-360°5.在0°～360°范圍內,找出與下列各角終邊相同的角,并判定它們是第幾象限角.(1)-150°;(2)650°.【解析】(1)因為-150°=-360°+210°,所以在0°～360°范圍內,與-150°角終邊相同的角是210°角,它是第三象限角.(2)因為650°=360°+290°,所以在0°～360°范圍內,與650°角終邊相同的角是290°角,它是第四象限角.二任意角【基礎通關—水平一】(15分鐘30分)1.-361°角的終邊落在 (

)

A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.因為-361°角的終邊和-1°角的終邊相同,所以它的終邊落在第四象限.課時素養(yǎng)評價2.設A={小于90°的角},B={銳角},C={第一象限角},D={小于90°而不小于0°的角},那么有 (

)A.B∩C=A B.B=A∩CC.D=A∩C D.C∩D=B【解析】選D.銳角、小于90°而不小于0°的角、小于90°的角及第一象限角的范圍,如表所示.

集合表示銳角B={α|0°<α<90°}小于90°而不小于0°的角D={α|0°≤α<90°}小于90°的角A={α|α<90°}第一象限角C={α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z}3.若α是第四象限角,則180°-α是 (

)A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】選C.可以給α賦一特殊值-60°,則180°-α=240°,故180°-α是第三象限角.4.已知角α=-3000°,則與角α終邊相同的最小正角是________.

【解析】因為-3000°=-9×360°+240°,所以與-3000°角終邊相同的最小正角為240°.答案:240°5.在-180°～360°范圍內與2000°角終邊相同的角是________.

【解析】因為2000°=200°+5×360°,2000°=-160°+6×360°,所以在-180°～360°范圍內與2000°角終邊相同的角有-160°,200°兩個.答案:-160°,200°6.寫出與25°角終邊相同的角的集合,并求出該集合中滿足不等式-1080°≤β<-360°的角β.【解析】與25°角終邊相同的角的集合為S={β|β=k·360°+25°,k∈Z}.令k=-3,則有β=-3×360°+25°=-1055°,符合條件;令k=-2,則有β=-2×360°+25°=-695°,符合條件;令k=-1,則有β=-1×360°+25°=-335°,不符合條件.故符合條件的角有-1055°,-695°.【能力進階—水平二】(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.若角α滿足α=45°+k·180°,k∈Z,則角α的終邊落在 (

)A.第一或第三象限 B.第一或第二象限C.第二或第四象限 D.第三或第四象限【解析】選A.當k=0時,α=45°,此時α為第一象限角;當k=1時α=225°,此時α是第三象限角.2.角α與角β的終邊關于y軸對稱,則α與β的關系為 (

)A.α+β=k·360°,k∈ZB.α+β=k·360°+180°,k∈ZC.α-β=k·360°+180°,k∈ZD.α-β=k·360°,k∈Z【解析】選B.因為角α與角β的終邊關于y軸對稱,所以β=180°-α+k·360°,k∈Z,即α+β=k·360°+180°,k∈Z.【光速解題】特殊值法:令α=30°,β=150°,則α+β=180°.3.已知角2α的終邊在x軸上方,那么角α的范圍是 (

)A.第一象限角的集合B.第一或第二象限角的集合C.第一或第三象限角的集合D.第一或第四象限角的集合【解析】選C.由題意得360°·k<2α<360°·k+180°,k∈Z.所以180°·k<α<180°·k+90°,k∈Z.4.如果角α與x+45°具有同一條終邊,角β與x-45°具有同一條終邊,則α與β的關系是 (

)A.α+β=0B.α-β=0C.α+β=k·360°(k∈Z)D.α-β=k·360°+90°(k∈Z)【解析】選D.因為α=(x+45°)+k1·360°(k1∈Z),β=(x-45°)+k2·360°(k2∈Z),所以α-β=(k1-k2)·360°+90°=k·360°+90°(k∈Z).二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)5.若α為第一象限角,則k·180°+α(k∈Z)的終邊所在的象限可能是(

)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選AC.因為α是第一象限角,所以k為偶數時,k·180°+α終邊在第一象限;k為奇數時,k·180°+α終邊在第三象限.【誤區(qū)警示】注意k·180°+α不是終邊相同角的形式.6.有一個小于360°的正角α,這個角的6倍的終邊與x軸的非負半軸重合,則這個角可以為 (

)A.60°

B.90°

C.120°

D.300°【解析】選ACD.由題意知,6α=k·360°,k∈Z,所以α=k·60°,k∈Z.又因為α是小于360°的正角,所以滿足條件的角α的值為60°,120°,180°,240°,300°.三、填空題(每小題5分,共10分)7.與-500°角的終邊相同的最小正角是______,最大負角是______.

【解析】與-500°角的終邊相同的角可表示為α=k·360°-500°(k∈Z),當k=2時α=220°為最小