2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列綜合測(cè)試課時(shí)作業(yè)含解析北師大版必修5

PAGEPAGE1單元綜合測(cè)試一(第一章)時(shí)間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷(選擇題，共50分)一、選擇題(本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．已知實(shí)數(shù)－1，x，y，z，－2成等比數(shù)列，則xyz等于(C)A．－4 B．±4C．－2eq\r(2) D．±2eq\r(2)解析：因?yàn)閥2＝xz＝(－1)×(－2)＝2，所以y＝－eq\r(2)(y＝eq\r(2)不合題意，舍去)，所以xyz＝－2eq\r(2).2．有窮數(shù)列1,23,26,29，…，23n＋6的項(xiàng)數(shù)是(C)A．3n＋7 B．3n＋6C．n＋3 D．n＋2解析：此數(shù)列的次數(shù)依次為0,3,6,9，…，3n＋6，為等差數(shù)列，且首項(xiàng)a1＝0，公差d＝3，設(shè)3n＋6是第x項(xiàng)，3n＋6＝0＋(x－1)×3，所以x＝n＋3.故選C.3．等差數(shù)列{an}的公差不為零，首項(xiàng)a1＝1，a2是a1和a5的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是(B)A．90 B．100C．145 D．190解析：設(shè)公差為d，所以(1＋d)2＝1×(1＋4d)，因?yàn)閐≠0，所以d＝2，從而S10＝100.4．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5A.eq\f(15,2) B.eq\f(31,4)C.eq\f(33,4) D.eq\f(17,2)解析：a2a4＝aeq\o\al(2,3)＝1，∴a3＝1，∵S3＝7，∴q≠1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝a1q2,S3＝\f(a11－q3,1－q)))，∴兩式相比eq\f(q2＋q＋1,q2)＝7，∴q＝eq\f(1,2)或q＝－eq\f(1,3)(舍去)，即a1＝4.∴S5＝eq\f(a11－q5,1－q)＝eq\f(31,4)，故選B.5．在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，點(diǎn)(eq\r(an)，eq\r(an－1))(n≥2)在直線x－eq\r(2)y＝0上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an為(C)A．2n－1 B．2n－1＋1C．2n D．2n＋1解析：據(jù)題意得eq\r(an)－eq\r(2an－1)＝0，即an＝2an－1，所以an＝2×2n－1＝2n.6．已知數(shù)列{an}中，a1＝b(b>0)，an＋1＝－eq\f(1,an＋1)(n∈N＋)，能使an＝b的n可以等于(C)A．14 B．15C．16 D．17解析：由題可知，a1＝b，a2＝－eq\f(1,b＋1)，a3＝－eq\f(1,－\f(1,b＋1)＋1)＝－eq\f(b＋1,b)，a4＝－eq\f(1,－\f(b＋1,b)＋1)＝b.所以數(shù)列{an}是以3為周期的周期數(shù)列，視察四個(gè)選項(xiàng)可知C正確．7．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，下列選項(xiàng)中不行能是{Sn}的圖像的是(D)解析：因?yàn)镾n是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，所以設(shè)Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù)，n∈N＋)，則其對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx的圖像是過(guò)原點(diǎn)的一條曲線．當(dāng)a＝0時(shí)，該曲線是過(guò)原點(diǎn)的直線，如選項(xiàng)C；當(dāng)a≠0時(shí)，該曲線是過(guò)原點(diǎn)的拋物線，如選項(xiàng)A，B；選項(xiàng)D中的曲線不過(guò)原點(diǎn)，不符合題意．選D.8．?dāng)?shù)列{an}滿意遞推公式an＝3an－1＋3n－1(n≥2)，又a1＝5，則使得eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an＋λ,3n)))為等差數(shù)列的實(shí)數(shù)λ等于(C)A．2 B．5C．－eq\f(1,2) D.eq\f(1,2)解析：a1＝5，a2＝23，a3＝95，令bn＝eq\f(an＋λ,3n)，則b1＝eq\f(5＋λ,3)，b2＝eq\f(23＋λ,9)，b3＝eq\f(95＋λ,27)，因?yàn)閎1＋b3＝2b2，所以λ＝－eq\f(1,2).9．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))，已知它的前n項(xiàng)和Sn＝6，則項(xiàng)數(shù)n等于(C)A．6 B．7C．48 D．49解析：將通項(xiàng)公式變形得an＝eq\f(1,\r(n＋1)＋\r(n))＝eq\f(\r(n＋1)－\r(n),\r(n＋1)＋\r(n)\r(n＋1)－\r(n))＝eq\r(n＋1)－eq\r(n)，則Sn＝(eq\r(2)－eq\r(1))＋(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(4)－eq\r(3))＋…＋(eq\r(n＋1)－eq\r(n))＝eq\r(n＋1)－1，由Sn＝6，則有eq\r(n＋1)－1＝6，故n＝48.10．對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列{an}，定義Gn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,n)為數(shù)列{an}的“勻整”值．已知數(shù)列{an}的“勻整”值為Gn＝n＋2，則該數(shù)列中的a10等于(D)A．2eq\r(3) B.eq\f(4,5)C．1 D.eq\f(21,10)解析：因?yàn)镚n＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,n)，數(shù)列{an}的“勻整”值為Gn＝n＋2，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n所以n≥2時(shí)，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)·(n①－②得nan＝2n＋1，所以an＝eq\f(2n＋1,n)，n≥2，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝G1＝3滿意上式．所以an＝eq\f(2n＋1,n)，a10＝eq\f(21,10).第Ⅱ卷(非選擇題，共100分)二、填空題(本大題共5個(gè)小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上)11．若數(shù)列{an}滿意：a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)，則a5＝16；前8項(xiàng)的和S8＝255(用數(shù)字作答)．解析：由a1＝1，an＋1＝2an(n∈N＋)知{an}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，由通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式知a5＝a1q4＝16，S8＝eq\f(a11－q8,1－q)＝eq\f(1·1－28,1－2)＝255.12．設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn、Tn，若對(duì)隨意自然數(shù)n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值為eq\f(19,41).解析：eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)＝eq\f(a9,2b6)＋eq\f(a3,2b6)＝eq\f(2a6,2b6)＝eq\f(a1＋a11,b1＋b11)＝eq\f(S11,T11)＝eq\f(2×11－3,4×11－3)＝eq\f(19,41).13．已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝eq\f(1,2)，S2＝a3，則a2＝1，Sn＝eq\f(1,4)(n2＋n)．解析：由a1＝eq\f(1,2)，S2＝a3得，a1＋a2＝a3，即a3－a2＝eq\f(1,2)，∴{an}是以a1＝eq\f(1,2)為首項(xiàng)，以eq\f(1,2)為公差的等差數(shù)列．∴an＝eq\f(1,2)＋(n－1)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)n.∴a2＝1，Sn＝eq\f(n,2)(a1＋an)＝eq\f(1,4)n2＋eq\f(1,4)n＝eq\f(1,4)(n2＋n)．14．?dāng)?shù)列{an}滿意an＋1＝eq\f(1,1－an)，a8＝2，則a1＝eq\f(1,2).解析：因?yàn)閍n＋1＝eq\f(1,1－an)，所以an＋1＝eq\f(1,1－an)＝eq\f(1,1－\f(1,1－an－1))＝eq\f(1－an－1,1－an－1－1)＝eq\f(1－an－1,－an－1)＝1－eq\f(1,an－1)＝1－eq\f(1,\f(1,1－an－2))＝1－(1－an－2)＝an－2，所以周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.所以a8＝a3×2＋2＝a2＝2.而a2＝eq\f(1,1－a1)，所以a1＝eq\f(1,2).15．給定81個(gè)數(shù)排成如圖所示的數(shù)表，若每行9個(gè)數(shù)與每列的9個(gè)數(shù)按表中依次構(gòu)成等差數(shù)列，且表中正中間一個(gè)數(shù)a55＝5，則表中全部數(shù)之和為405.a11a12…aa21a22…a…………a91a92…a解析：S＝(a11＋…＋a19)＋…＋(a91＋…＋a99)＝9(a15＋a25＋…＋a95)＝9×9×a55＝405.三、解答題(本大題共6個(gè)小題，滿分75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)16．(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列{an}(n∈N＋)滿意a1＝2，a3＝6.(1)求該數(shù)列的公差d和通項(xiàng)公式an；(2)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn≥2n＋12，求n的取值范圍．解：(1)由題意得d＝eq\f(a3－a1,2)＝2，所以an＝a1＋(n－1)d＝2n，n∈N＋.(2)Sn＝eq\f(a1＋an,2)×n＝n2＋n，由Sn≥2n＋12，解得n≥4或n≤－3.所以n≥4且n∈N＋.17．(本小題滿分12分)已知{an}為等差數(shù)列，且a3＝－6，a6＝0.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)若等比數(shù)列{bn}滿意b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n項(xiàng)和．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍3＝－6，a6＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝－6，,a1＋5d＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－10，,d＝2.))所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.(2)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q.因?yàn)閎2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，所以－8q＝－24，即q＝3.所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為eq\f(b11－qn,1－q)＝4(1－3n)．18．(本小題滿分12分)數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3).前n項(xiàng)和Sn滿意Sn＋1－Sn＝(eq\f(1,3))n＋1(n∈N＋)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an以及前n項(xiàng)和Sn；(2)若S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)t的值．解：(1)由Sn＋1－Sn＝(eq\f(1,3))n＋1得an＋1＝(eq\f(1,3))n＋1(n∈N＋)，又a1＝eq\f(1,3)，故an＝(eq\f(1,3))n(n∈N＋)，從而Sn＝eq\f(\f(1,3)×[1－\f(1,3)n],1－\f(1,3))＝eq\f(1,2)[1－(eq\f(1,3))n](n∈N＋)．(2)由(1)可得S1＝eq\f(1,3)，S2＝eq\f(4,9)，S3＝eq\f(13,27)，由S1，t(S1＋S2)，3(S2＋S3)成等差數(shù)列可得，eq\f(1,3)＋3×(eq\f(4,9)＋eq\f(13,27))＝2×(eq\f(1,3)＋eq\f(4,9))t，解得t＝2.19．(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)cn＝eq\f(an,bn)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2，a1＝2符合上式，故{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－2，設(shè){bn}的公比為q，則b1＝2，b2＝eq\f(1,2)，∴q＝eq\f(1,4)，∴bn＝b1qn－1＝2×eq\f(1,4n－1)，即bn＝eq\f(2,4n－1).(2)∵cn＝eq\f(an,bn)＝eq\f(4n－2,\f(2,4n－1))＝(2n－1)4n－1，∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n－1)·4n－1，4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n－3)4n－1＋(2n－1)·4n，兩式相減，得3Tn＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n－1)＋(2n－1)4n＝eq\f(1,3)[(6n－5)4n＋5]，∴Tn＝eq\f(1,9)[(6n－5)4n＋5]．20．(本小題滿分13分)某企業(yè)去年的純利潤(rùn)為500萬(wàn)元，因設(shè)備老化等緣由，企業(yè)的生產(chǎn)實(shí)力將逐年下降，若不進(jìn)行技術(shù)改造，預(yù)料從今年起每年比上一年純利潤(rùn)削減20萬(wàn)元．今年初該企業(yè)一次性投入資金600萬(wàn)元進(jìn)行技術(shù)改造．預(yù)料在未扣除技術(shù)改造資金的狀況下，第n年(今年記為第一年)的利潤(rùn)為500eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))萬(wàn)元(n為正整數(shù))．(1)設(shè)從今年起的前n年，若該企業(yè)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)為An萬(wàn)元，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)為Bn萬(wàn)元(需扣除技術(shù)改造資金)，求An、Bn的表達(dá)式；(2)依上述預(yù)料，從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過(guò)多少年，進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)？解：(1)依題意，設(shè)An＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n－10n2；Bn＝500[(1＋eq\f(1,2))＋(1＋eq\f(1,22))＋…(1＋eq\f(1,2n))]－600＝500n－eq\f(500,2n)－100.(2)Bn－An＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(500n－\f(500,2n)－100))－(490n－10n2)＝10n2＋10n－eq\f(500,2n)－100＝10eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(nn＋1－\f(50,2n)－10)).∵函數(shù)y＝x(x＋1)－eq\f(50,2x)－10在(0，＋∞)上為增函數(shù)，當(dāng)1≤n≤3時(shí)，n(n＋1)－eq\f(50,2n)－10≤12－eq\f(50,8)－10<0，即Bn<An；當(dāng)n≥4時(shí)，n(n＋1)－eq\f(50,2n)－10≥20－eq\f(50,16)－10>0，即Bn>An.∴當(dāng)n≥4時(shí)，Bn>An.故至少經(jīng)過(guò)4年，該企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造后的累計(jì)純利潤(rùn)超過(guò)不進(jìn)行技術(shù)改造的累計(jì)純利潤(rùn)．21．(本小題滿分14分)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝eq\f(1,2)nan＋an－c(c是常數(shù)，n∈N＋)，a2＝6.(1)求c的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(an－2,2n＋1)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，若2Tn>m－2對(duì)隨意n∈N＋恒成立，求正整數(shù)m的