河北獸鹿中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題含解析

PAGE24-河北省巨鹿中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考試題（含解析）考試范圍：必修二：第四章選修2-1：第三章必修三：其次章（不含系統(tǒng)抽樣、莖葉圖）一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則以線段為直徑的圓的方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)中點(diǎn)公式計(jì)算出圓心坐標(biāo)，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算出圓的半徑，從而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】的中點(diǎn)坐標(biāo)為，圓的半徑為，所以圓的方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算實(shí)力.屬于基礎(chǔ)題.2.向量，，若且，則的值為（）A. B.1 C. D.4【答案】C【解析】分析】利用的模求得的值，利用得到，求得的值，由此求得的值.【詳解】依題意，解得，由于，所以，解得，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量模的運(yùn)算，考查兩個(gè)空間向量垂直的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.3.用分層抽樣的方法從某校學(xué)生中抽取容量為60的樣本，其中高二年級(jí)抽取15人，高三年級(jí)抽取25人，已知該校高一年級(jí)共有800人，則該校學(xué)生總?cè)藬?shù)是（）A.4800 B.2400 C.1600 D.3200【答案】B【解析】【分析】求出高一年級(jí)抽取的人數(shù)，然后可求抽樣比，用抽取的樣本容量除以抽樣比即可求得學(xué)生總?cè)藬?shù).【詳解】由題意知高一年級(jí)抽取人，而高一年級(jí)共有800人，所以抽樣比為，則該校學(xué)生總?cè)藬?shù)為人.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，屬于基礎(chǔ)題.4.在正方體中，若點(diǎn)是側(cè)面的中心，且，則的值分別為（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】D【解析】【分析】依據(jù)空間向量基本定理，以及向量加法法則表示向量，再比較.【詳解】如圖，在正方體中，，，，所以,所以，，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查空間向量基本定理，以及加法法則，屬于基礎(chǔ)題型.5.直線與圓交于兩點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心為，依據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可知，當(dāng)時(shí)弦最短，依據(jù)求出的值，即可求出直線的方程.【詳解】解：由題得，，，解得：，所以直線過(guò)定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為2，當(dāng)時(shí)，弦最短，此時(shí)，由題得，，所以，，所以直線的方程為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，考查直線方程的求法，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查分析推理和化簡(jiǎn)運(yùn)算實(shí)力.6.直三棱柱的側(cè)棱，底面中，，，則點(diǎn)到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用即可求解.【詳解】因?yàn)槿庵侵比忮F，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以平面，所以，因?yàn)椋?，，所以平面，所以，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，即，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用三棱錐體積相等求點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題.7.突如其來(lái)的疫情打亂了我們的學(xué)習(xí)節(jié)奏，鄭老師為檢查網(wǎng)課學(xué)習(xí)狀況，組織了一次網(wǎng)絡(luò)在線考試，并計(jì)算出本次考試中全體學(xué)生的平均分為90，方差為65；后來(lái)有兩位學(xué)生反應(yīng)，自己的成果被登記錯(cuò)誤，一位學(xué)生的成果為88分，記錄成78分，另一位學(xué)生的成果為80分，記錄成90分，更正后，得到的平均分為，方差為，則（）A.， B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)平均數(shù)與方差的計(jì)算方法即可得解．【詳解】由于，因此更正前后樣本的平均數(shù)不發(fā)生變更，即；由于，因此更正后樣本的方差變小，即；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)與方差的計(jì)算方法，考查學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的分析與處理實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．8.阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿意，當(dāng)不共線時(shí)，面積的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的軌跡方程，即可得解.【詳解】以經(jīng)過(guò)的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，，，整理得，點(diǎn)P到AB（x軸）的距離最大值為，所以面積的最大值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求解，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分.9.2020年3月6日，在新加坡實(shí)行的世界高校生辯論賽中，中國(guó)選手以總分230.51分獲得冠軍.辯論賽有7位評(píng)委進(jìn)行評(píng)分，首先這7位評(píng)委給出某對(duì)選手的原始分?jǐn)?shù)，評(píng)定該隊(duì)選手的成果時(shí)從7個(gè)原始成果中去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，得到5個(gè)有效評(píng)分，則5A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差 D.極差【答案】BCD【解析】【分析】由中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的概念逐項(xiàng)推斷即可得解.【詳解】因?yàn)?個(gè)有效評(píng)分是7個(gè)原始評(píng)分中去掉一個(gè)最高分、一個(gè)最低分，所以中位數(shù)不變，平均數(shù)、方差、極差可能發(fā)生變更，所以可能變更的數(shù)字特征是平均數(shù)、方差、極差.故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題考查了樣本數(shù)字特征的辨析，牢記學(xué)問(wèn)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.10.已知圓和圓交于、兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.兩圓有兩條公切線B.直線的方程為C.線段的長(zhǎng)為D.全部過(guò)點(diǎn)、的圓的方程可以記為【答案】AB【解析】【分析】A．依據(jù)兩圓的位置關(guān)系確定出兩圓的公切線條數(shù)；B．將兩圓的方程相減即可得到公切線方程；C．利用圓心到直線的距離，結(jié)合圓的半徑，利用勾股定理可求解出弦長(zhǎng)；D．分析圓的方程的合理性，留意分析無(wú)法表示的圓.【詳解】A.因?yàn)閳A：和圓：相交于、兩點(diǎn)，所以兩圓有兩條公切線，故正確；B.圓：和圓：的方程相減得：，所以直線的方程為，故正確；C.圓心到直線的距離為：，所以線段的長(zhǎng)為，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)椋钥芍?，該圓方程恒過(guò)兩點(diǎn)，方程可化為而所以方程表示圓，但不包括圓M，故不正確.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查圓與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，其中涉及到圓與圓位置關(guān)系的推斷、相交圓的公共弦方程的求法、弦長(zhǎng)以及圓系方程問(wèn)題，對(duì)學(xué)生的綜合理解與運(yùn)用實(shí)力要求較高，難度一般.11.流行性傳染疾病是全人類(lèi)的公敵.某數(shù)學(xué)小組記錄了某月日至日某流行性疾病在全國(guó)的數(shù)據(jù)變更狀況，依據(jù)該折線圖，下列結(jié)論正確的是（）A.日至日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診數(shù)量B.天中每日新增確診病例數(shù)量均下降且日的降幅最大C.天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例數(shù)量的極差均大于D.日至日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例數(shù)量之和【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)新增確診和新增治愈折線圖的凹凸可推斷A選項(xiàng)的正誤；由日至日新增確診病例數(shù)量變更可推斷B選項(xiàng)的正誤；依據(jù)折線圖得出天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例數(shù)量的極差，可推斷C選項(xiàng)的正誤；依據(jù)折線圖視察新增治愈病例數(shù)量以及新增確診與新增疑似病例數(shù)量之和，由此可推斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)A，日至日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診數(shù)量，故A正確.對(duì)B，日至日新增確診病例數(shù)量上升，故B錯(cuò)；對(duì)C，天中新增確診、新增疑似、新增治愈病例數(shù)量的極差分別約為：、、，均大于，故C正確；對(duì)D，由圖可知日至日每日新增治愈病例數(shù)量均大于新增確診與新增疑似病例數(shù)量之和，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)分析實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知圓和圓分別是圓和圓上的動(dòng)點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則關(guān)于的最值，下列正確的是（）A.無(wú)最大值 B.既有最大值又有最小值C.無(wú)最小值 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】由圖可知，，再利用對(duì)稱(chēng)性轉(zhuǎn)化為的最值.【詳解】如圖，圓心關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，，所以的最小值是，結(jié)合圖形可得無(wú)最大值故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程，幾何法求距離和的最小值，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的實(shí)力，屬于中檔題型.三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.某校高二年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班各選出10名學(xué)生參與數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)〉玫某晒麖牡偷礁吲帕腥缦录装啵阂野啵浩渲屑装鄬W(xué)生成果的平均分是，乙班學(xué)生成果的中位數(shù)是，則的值為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】依據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義可求得、的值，由此可求得的值.【詳解】由題意可得甲班學(xué)生成果的平均分是，解得，乙班學(xué)生成果的中位數(shù)是，解得.因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用平均數(shù)與中位數(shù)求參數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.邢臺(tái)市物價(jià)部門(mén)對(duì)市區(qū)的天一城、北國(guó)商城、恒大城、家樂(lè)園、中北世紀(jì)城5家商場(chǎng)的某件商品在7月15號(hào)一天銷(xiāo)售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)元和銷(xiāo)售量件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格8.591111.5銷(xiāo)售量12675已知銷(xiāo)售量與價(jià)格之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回來(lái)方程是，且，則其中的______.【答案】10【解析】【分析】先求樣本平均值，，再依據(jù)樣本中心點(diǎn)在回來(lái)直線上列方程求解即可得答案.【詳解】解：依題意，，代入回來(lái)直線方程得①，依據(jù)題意②，解①②組成的方程組得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查已知回來(lái)方程求原始數(shù)據(jù)，考查運(yùn)算實(shí)力，解題的關(guān)鍵是樣本中心點(diǎn)在回來(lái)直線上，是基礎(chǔ)題.15.若過(guò)點(diǎn)可作圓的兩條切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】由題意可知點(diǎn)在圓外，結(jié)合方程表示圓可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】方程表示圓，則，解得；由于過(guò)點(diǎn)可作圓的兩條切線，則點(diǎn)在圓外，可得，解得或.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及方程表示圓求參數(shù)，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.16.已知結(jié)論：在平行四邊形中，有，且此結(jié)論可以推廣到空間，即：在平行六面體中，有.某結(jié)晶體的形態(tài)為平行六面體，其中以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為2，且它們彼此的夾角都是，則其體對(duì)角線的長(zhǎng)度是__________【答案】【解析】【分析】依據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，得到，再結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，求得則，即可求解.【詳解】依據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，可得則.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的運(yùn)算法則，以及空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算及應(yīng)用，其中解答中熟記空間向量的運(yùn)算法則，以及空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，精確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算實(shí)力.四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.某同學(xué)暑期做社會(huì)實(shí)踐活動(dòng).對(duì)氣溫與某飲料銷(xiāo)量之間的關(guān)系進(jìn)行調(diào)研，記錄連續(xù)5天的數(shù)據(jù)如下：氣溫x（）91012118銷(xiāo)量y（杯）2225292620（1）在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；（2）求出關(guān)于的線性回來(lái)方程，試預(yù)料氣溫是15度時(shí)大約可銷(xiāo)售多少杯（取整數(shù)）？（注：，）【答案】（1）作圖見(jiàn)解析；（2），預(yù)料氣溫是15度時(shí)大約可銷(xiāo)售35杯.【解析】【分析】（1）依據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)，干脆描散點(diǎn)圖；（2）依據(jù)題中所給的公式，計(jì)算，和回來(lái)直線方程，并計(jì)算當(dāng)時(shí)的銷(xiāo)售量.【詳解】（1）散點(diǎn)圖（2），，，.∴，，∴回來(lái)直線方程：，令，得，∴預(yù)料氣溫是15度時(shí)大約可銷(xiāo)售35杯.【點(diǎn)睛】本題考查散點(diǎn)圖，回來(lái)直線方程，重點(diǎn)考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.18.正四棱錐中，底面正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是底面中心..且的中點(diǎn).（1）求；（2）若求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依據(jù)正四棱錐的特點(diǎn)，以及點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求，（2）依據(jù)條件，求，再代入（1）的結(jié)果求的值.【詳解】（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，，，，，，，，.（2），則得，由（1）可知.【點(diǎn)睛】本題考查空間坐標(biāo)法求向量所成角，重點(diǎn)考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型.19.已知直線平分圓的圓周，且該圓被軸截得的弦長(zhǎng)是圓的一條最長(zhǎng)的弦.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，記四邊形的面積為，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出圓的圓心，由題意知圓心在直線上，圓心在軸上即可求出和的值，即可求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）依據(jù)切線性質(zhì)和切線長(zhǎng)可知：，，，從而可得所以當(dāng)最小時(shí)，即可求四邊形的面積的最小值.【詳解】（1）由題意知，圓心在直線上，即，又因?yàn)閳A心在軸上，所以，由以上兩式得：，，所以故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）如圖，圓的圓心為，半徑，因?yàn)槭菆A的兩條切線，所以，，故又因?yàn)?，依?jù)平面幾何學(xué)問(wèn)，要使最小，只要最小即可.易知，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，.此時(shí)..【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.20.如圖，在正三棱柱中，邊長(zhǎng)為4，，分別為的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知條件可證，，可得平面，即可求證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）證明：連接在三棱柱中，因?yàn)榈酌妫矫?，所?又為等邊三角形，E為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所以平?所以平面平面.（2）取中點(diǎn)F，連結(jié)，則因?yàn)镈，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，所以.由（1）知，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，，，則，令則.同理可得平面法向量，令，則.所以故所求銳二面角的余弦值是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了證明面面垂直，考查了二面角的求法，屬于中檔題.21.“中華好詩(shī)詞”河北賽區(qū)有40名選手參與初選，測(cè)試成果（單位：分）分組如下：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）求直方圖中的值，若90分（含90分）為晉級(jí)線，有多少同學(xué)晉級(jí)？（2）依據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)成果的眾數(shù)和平均值；（3）用分層抽樣的方法從成果在第3組到第5組的選手中抽取6名同學(xué)組成一個(gè)小組，每組中應(yīng)抽取多少人？【答案】（1），人；（2）眾數(shù)82.5（分）；平均值為（分）；（3）第3組的人數(shù)為3人，第4組學(xué)生人數(shù)2人，第5組的人數(shù)為1人.【解析】【分析】（1）依據(jù)在頻率分布直方圖中，全部小矩形的面積之和為1，進(jìn)行計(jì)算求解即可；（2）依據(jù)頻率的大小求出眾數(shù)，再依據(jù)在頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)的方法進(jìn)行計(jì)算即可（3）計(jì)算第3組到第5組的學(xué)生人數(shù)，再依據(jù)人數(shù)比進(jìn)行分層抽樣即可.【詳解】（1）因?yàn)椋?，成果大于等?0人數(shù)為人.（2）依據(jù)頻率分布直方圖可知眾數(shù)在第2組中取組中值為82.5（分）所以成果的平均值為（分）（3）第3組學(xué)生人數(shù)為，第4組學(xué)生人數(shù)為，第5組學(xué)生人數(shù)為，人數(shù)之比為所以各組的抽取認(rèn)數(shù)：第3組的人數(shù)為3人，第4組學(xué)生人數(shù)2人，第5組的人數(shù)為1人.【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率直方圖求眾數(shù)和平均數(shù)，考查了補(bǔ)全頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，考查了分層抽樣的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.22.如圖所示在