四川省瀘州市瀘縣第四中學(xué)高三下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)（文）試題

20232024學(xué)年四川省瀘州市瀘縣四中高三（下）開(kāi)學(xué)數(shù)學(xué)試卷（文科）一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得集合和，結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合交集的概念及運(yùn)算，以及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得集合是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.2.若復(fù)數(shù)滿足，，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先從中表示出，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所以，得，虛部?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知橢圓分別過(guò)點(diǎn)和，則該橢圓的焦距為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用已知條件和橢圓中，，的幾何意義以及，即可求出橢圓的焦距．【詳解】由題意可得，，所以，所以，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力．4.設(shè)，，則是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】首先求解不等式確定p,q所表示的范圍，然后考查充分性和必要性是否成立即可.【詳解】求解絕對(duì)值不等式可得：，求解指數(shù)不等式可得，據(jù)此可知是成立的充分不必要條件.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，指數(shù)不等式的解法，充分條件與必要條件的判定等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5.已知為銳角，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由可得，再利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值公式的靈活運(yùn)用的能力，屬于基礎(chǔ)題.6.中醫(yī)藥，是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國(guó)各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，反映了中華民族對(duì)生命、健康和疾病的認(rèn)識(shí)，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系．是中華民族的瑰寶．某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含最x（單位：克）與藥物功效y（單位：藥物單位）之間滿足y＝15x﹣2x2．檢測(cè)這種藥品一個(gè)批次的6個(gè)樣本，得到成分甲的含量的平均值為5克．標(biāo)準(zhǔn)差為克．則估計(jì)這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為（）A.14藥物單位 B.15.5藥物單位C.15藥物單位 D.16藥物單位【答案】C【解析】【分析】設(shè)6個(gè)樣本中藥物成份甲的含量分別為，根據(jù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差列出方程，再代入平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】設(shè)6個(gè)樣本中藥物成份甲的含量分別為，因?yàn)槌煞旨椎暮康钠骄禐?克，所以，標(biāo)準(zhǔn)差為克，所以，可得，又由，所以，所以這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了統(tǒng)計(jì)知識(shí)的應(yīng)用，其中解答中熟記平均數(shù)和方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.7.在新冠肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，某居委會(huì)從轄區(qū)內(nèi)A，B，C三個(gè)小區(qū)志愿者中各選取1人，隨機(jī)安排到這三個(gè)小區(qū)，協(xié)助小區(qū)保安做好封閉管理和防控宣傳工作．若每個(gè)小區(qū)安排1人，則每位志愿者不安排在自己居住小區(qū)的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】基本事件總數(shù)，每位志愿者不安排在自己居住小區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小區(qū)的概率.【詳解】由題意，基本事件總數(shù)，每位志愿者不安排在自己居住小區(qū)包含的基本事件個(gè)數(shù)，每位志愿者不安排在自己居住小區(qū)的概率為,故選：B【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.8.函數(shù)的圖象在點(diǎn)T(0,f(0))處的切線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程，進(jìn)而求得切線在坐標(biāo)軸上的截距，利用三角形的面積公式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，則，可得，所以切線方程為，令，可得切線在軸上的截距，令解得切線在軸上的截距，所以直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，以及三角形的面積的計(jì)算，其中解答中熟練利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力.9.已知是函數(shù)（）的兩個(gè)零點(diǎn)，且的最小值為，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零點(diǎn)關(guān)系求出周期，根據(jù)周期求得，求出平移后的解析式，根據(jù)對(duì)稱軸關(guān)系求解.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由，即，解得，所以，平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為，令，解得，也即.故選：D【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)圖象性質(zhì)，根據(jù)周期求解析式，根據(jù)平移方式求解平移后的解析式，利用整體代入的方式求函數(shù)的對(duì)稱軸.10.三棱錐S﹣ABC的各頂點(diǎn)均在球O的球面上，SC為該球的直徑，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，且三棱錐S﹣ABC的體積為2，則球O的半徑為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】作出示意圖，求得的面積，并計(jì)算出三棱錐的高，利用正弦定理計(jì)算圓的直徑，然后利用勾股定理求出，即可求解球的直徑，得到答案.【詳解】如圖所示，因?yàn)椋傻玫拿娣e為，設(shè)的外接圓為圓，連接，則平面，作圓的直徑，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則，所以平面，所以三棱錐體積為，解得，由正弦定理，可得，，設(shè)球半徑為，則，解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了球的體積的計(jì)算公式及應(yīng)用，其中解答中作出示意圖，根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，找出線面垂直關(guān)系，求得三棱錐的高是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.11.已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，若，該雙曲線的離心率為，則A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】以線段為直徑的圓方程為,雙曲線經(jīng)過(guò)第一象限的漸近線方程為,聯(lián)立方程,求得,因?yàn)?所以有,又,平方化簡(jiǎn)得,由求根公式有(負(fù)值舍去).選D.點(diǎn)睛:本題主要考查雙曲線的離心率,計(jì)算量比較大,屬于中檔題.本題思路:由已知條件求出圓的方程和直線方程,聯(lián)立求出在第一象限的交點(diǎn)M坐標(biāo),由兩點(diǎn)間距離公式,求出離心率的平方.涉及的公式有雙曲線中,兩點(diǎn)間距離公式,求根公式等.12.若存在使成立，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】把方程轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，得到，即可求解.【詳解】由題意，方程成立，轉(zhuǎn)化為，則且，令，則，則，所以單調(diào)遞減函數(shù)，又由，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，解得或.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根，其中解答中構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知命題“”是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】求得原命題的否定，根據(jù)其為真命題，即可結(jié)合二次不等式恒成求得參數(shù)范圍【詳解】若命題“”是假命題，則“”為真命題，顯然時(shí)，不滿足題意，故只需滿足，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)范圍的問(wèn)題，涉及二次不等式在上恒成立求參數(shù)的問(wèn)題，屬綜合基礎(chǔ)題.14.設(shè)等差數(shù)列前項(xiàng)和為，若，則_____．【答案】65【解析】【分析】由求出，再求即可.【詳解】解：設(shè)的公差為，，即；.故答案為：65.【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的性質(zhì)和求前項(xiàng)和，基礎(chǔ)題.15.若，滿足且的最小值為，則的值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】利用約束條件作出可行域，根據(jù)截距式計(jì)算即可.【詳解】由約束條件作出可行域如圖，結(jié)合圖象知，點(diǎn)，由,得，由圖可知，當(dāng)直線過(guò)A時(shí)，直線在軸上的截距最小，有最小值為．故答案為：．16.已知是奇函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，按照、討論成立情況；當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化條件為恒成立，令，求導(dǎo)求得的最大值，令即可得解.【詳解】由是奇函數(shù)可得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，可知此時(shí)單調(diào)遞減，所以，所以恒成立；當(dāng)時(shí)，，所以等價(jià)于，令，則，令，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，若要使恒成立，則恒成立，所以即；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以恒成立，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，若要使恒成立，則恒成立，所以即；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了奇函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，合理構(gòu)造新函數(shù)是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.三、解答題：本題共7小題，共82分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知內(nèi)接于單位圓，且，（1）求角（2）求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）變形已知條件可得，代入可得，可得值；（2）由正弦定理可得，由余弦定理和基本不等式可得的取值范圍，進(jìn)而可得面積的最值．【詳解】解：（1），，（2）得外接圓為單位圓，其半徑由正弦定理可得，由余弦定理可得，代入數(shù)據(jù)可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，得面積，面積的最大值為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面積公式，基本不等式的應(yīng)用，熟記定理，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，屬于中檔題．18.如圖，邊長(zhǎng)為的等邊所在平面與菱形所在平面互相垂直，且，，.（1）求證：平面；（2）求多面體的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）.【解析】【分析】（1）先利用已知條件得到線面平行，再證面面，即可得出結(jié)論；（2）利用已知條件分別求出三棱錐和四棱錐的體積，相加即為多面體的體積.【詳解】（1）四邊形是菱形，，又面，面，面，同理得，面，，面，且，面面，又面，平面；（2），，，，，，，在菱形中，，，，面面，取的中點(diǎn)，連接，，面，面，由（1）知，面面，點(diǎn)到面的距離為，又點(diǎn)到面的距離為，連接，則.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定，考查幾何體體積的求法，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，考查空間想象能力，屬于?？碱}.19.某城市9年前分別同時(shí)開(kāi)始建設(shè)物流城和濕地公園，物流城3年建設(shè)完成，建成后若年投入x億元，該年產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)凈效益為億元；濕地公園4年建設(shè)完成，建成后的5年每年投入見(jiàn)散點(diǎn)圖．公園建成后若年投入x億元，該年產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)凈效益為億元．（1）對(duì)濕地公園，請(qǐng)?jiān)谥羞x擇一個(gè)合適模型，求投入額x與投入年份n的回歸方程；（2）從建設(shè)開(kāi)始的第10年，若對(duì)物流城投入0.25億元，預(yù)測(cè)這一年物流城和濕地公園哪個(gè)產(chǎn)生的年經(jīng)濟(jì)凈效益高？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)及公式：，；當(dāng)時(shí)，，，回歸方程中的；回歸方程斜率與截距，．【答案】（1）；（2）該年濕地公園產(chǎn)生的年經(jīng)濟(jì)凈效益高，理由見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由散點(diǎn)圖可得應(yīng)該選擇模型，令，代入公式可得、，即可得投入額x與投入年份n的回歸方程；（2）由題意將代入即可得物流城第10年的年經(jīng)濟(jì)凈效益；由回歸方程可預(yù)測(cè)濕地公園第10年的投入，進(jìn)而可得濕地公園第10年的經(jīng)濟(jì)凈效益；比較大小即可得解.【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，應(yīng)該選擇模型，令，則，，故所求回歸方程是即；（2）由題意，物流城第10年的年經(jīng)濟(jì)凈效益為（億元）；濕地公園第10年的投入約為（億元），該年的經(jīng)濟(jì)凈效益為（億元）；因?yàn)?，所以該年濕地公園產(chǎn)生的年經(jīng)濟(jì)凈效益高．【點(diǎn)睛】本題考查了非線性回歸方程的求解與應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，熟練使用公式、細(xì)心計(jì)算是解題關(guān)鍵，屬于中檔題.20.已知橢圓與拋物線共焦點(diǎn)，拋物線上的點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離等于，且橢圓與拋物線的交點(diǎn)Q滿足．（1）求拋物線的方程和橢圓的方程；（2）過(guò)拋物線上的點(diǎn)作拋物線的切線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于，通過(guò)拋物線的定義，可得是拋物線的準(zhǔn)線，即可求出，從而得到拋物線的方程，通過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，由，解得，利用橢圓的定義求出，，即可求解橢圓的方程．（2）顯然，，由消去，推出，由消去，推出，求出，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理求解的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線上的點(diǎn)到軸的距離等于，∴點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，所以是拋物線的準(zhǔn)線，即，解得，∴拋物線的方程為；所以橢圓的右焦點(diǎn)，左焦點(diǎn)，由得，又，解得，由橢圓的定義得，∴，又，得，∴橢圓方程為．【小問(wèn)2詳解】解：顯然，，由，消去整理得，由題意知，即，由，消去整理得，其中，化簡(jiǎn)得，又，得，解得，設(shè)，，則，由，得，∴的取值范圍是．21.已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中a∈R.（1）試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）證明：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，對(duì)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)在上為增函數(shù)，可得當(dāng)且時(shí)，，再利用裂項(xiàng)求和可證不等式.【詳解】（1）因，且，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由，得，所以，所以，所以或，所以或，所以或，由，得，解得，所以在上遞減，在和上遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，所以當(dāng)且時(shí)，，即，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題