人教版數(shù)學九年級下冊教案-28.2.2-第2課時-利用仰俯角解直角三角形

28.２.2應用舉例第２課時利用仰俯角解直角三角形１.使學生掌握仰角、俯角的意義，并學會正確地判斷；(重點)2.初步掌握將實際問題轉化為解直角三角形問題的能力.(難點）一、情境導入在實際生活中，解直角三角形有著廣泛的應用，例如我們通常遇到的視線、水平線、鉛垂線就構成了直角三角形．當我們測量時，在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角.今天我們就學習和仰角、俯角有關的應用性問題.二、合作探究探究點：利用仰（俯)角解決實際問題【類型一】利用仰角求高度星期天,身高均為1.6米的小紅、小濤來到一個公園，用他們所學的知識測算一座塔的高度．如圖,小紅站在A處測得她看塔頂C的仰角α為4５°,小濤站在B處測得塔頂Ｃ的仰角β為30°，他們又測出A、B兩點的距離為４1.5m,假設他們的眼睛離頭頂都是10cｍ,求塔高（結果保留根號）．解析：設塔高為ｘｍ，利用銳角三角函數(shù)關系得出ＰM的長,再利用ｅq＼f(ＣＰ,PN)=tａn３0°,求出x的值即可．解：設塔底面中心為O，塔高xm,MN∥AB與塔中軸線相交于點P,得到△CPＭ、△CPN是直角三角形，則eq＼f(x-(１.6-0．１）,PM)＝tan4５°，∵ｔaｎ４5°=1,∴PM=CP=x－1．5.在Rｔ△ＣPN中,eq\ｆ(CP,PN）=ｔaｎ30°,即ｅq\f(x-1.5,x－1.５+41.5)=ｅq\f(\r(3),３),解得x=eq\f（8３＼ｒ(３）+８9，４).答:塔高為ｅq\f(83\r(3）＋８9,4）m.方法總結：解決此類問題要了解角與角之間的關系,找到與已知和未知相關聯(lián)的直角三角形.當圖形中沒有直角三角形時,要通過作高或垂線構造直角三角形.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第7題【類型二】利用俯角求高度如圖，在兩建筑物之間有一旗桿EＧ,高15米，從A點經(jīng)過旗桿頂部E點恰好看到矮建筑物的墻角C點,且俯角α為6０°,又從A點測得D點的俯角β為３0°.若旗桿底部G點為BC的中點,求矮建筑物的高ＣＤ.解析:根據(jù)點G是BC的中點,可判斷ＥG是△ABC的中位線，求出AB.在Ｒt△ＡBＣ和Rt△AFＤ中,利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出BC、DF，繼而可求出CＤ的長度.解：過點D作DF⊥AF于點F,∵點G是BC的中點，EG∥AB,∴EG是△ABＣ的中位線，∴AＢ=2EＧ＝3０m．在Rｔ△ABＣ中,∵∠CＡB＝3０°,∴BＣ＝ABtan∠BAＣ＝３0×eq＼f（\r(3）,3)=10eｑ\r(3）m.在Rt△AFＤ中，∵AF＝BC=10eq\r(3)m,∴FD=AF·tanβ=10ｅq\r(3)×ｅq\ｆ(\ｒ(3),３)=1０m,∴CD＝AB-FD＝30－10＝20m.答:矮建筑物的高為20m.方法總結：本題考查了利用俯角求高度,解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解相關線段的長度．變式訓練:見《學練優(yōu)》本課時練習“課堂達標訓練”第６題【類型三】利用俯角求不可到達的兩點之間的距離如圖,為了測量河的寬度AB，測量人員在高21ｍ的建筑物CＤ的頂端D處測得河岸B處的俯角為４5°,測得河對岸A處的俯角為30°(A、B、C在同一條直線上),則河的寬度AB約是多少ｍ（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：ｅq\ｒ(2）≈1.41，eq\r（3）≈1．73）?解析:在Ｒt△AＣＤ中，根據(jù)已知條件求出AC的值，再在Ｒt△BＣＤ中，根據(jù)∠EDB＝45°,求出ＢC＝ＣD=2１m,最后根據(jù)AB＝AＣ－BC，代值計算即可.解:∵在Rt△ＡCD中,CＤ＝２1ｍ，∠ＤＡC＝30°，∴ＡC=eq\f(CD，tａn30°)＝eｑ\f（２１，＼ｆ(＼r（3)，3））=２１ｅq\r(３)m.∵在Ｒｔ△ＢＣD中,∠EDB=45°,∴∠DBC＝4５°，∴ＢC=CＤ＝21m,∴ＡB＝AC－ＢC＝21eｑ＼r(3）－21≈１5．3(ｍ).則河的寬度ＡB約是1５.3m.方法總結：解決此類問題要了解角之間的關系,找到與已知和未知相關聯(lián)的直角三角形,把實際問題化歸為直角三角形中邊角關系問題加以解決.變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第3題【類型四】仰角和俯角的綜合某數(shù)學興趣小組的同學在一次數(shù)學活動中,為了測量某建筑物AB的高,他們來到與建筑物AB在同一平地且相距12m的建筑物ＣD上的C處觀察，測得此建筑物頂部A的仰角為30°、底部B的俯角為4５°.求建筑物AＢ的高(精確到1m,可供選用的數(shù)據(jù):eq\r(2）≈1.4,ｅq\ｒ(3)≈1.7)．解析：過點C作AB的垂線CE，垂足為E,根據(jù)題意可得出四邊形CＤBE是正方形,再由ＢD＝１2m可知BＥ＝CE=1２m，由AE＝CＥ·tａn3０°得出AE的長，進而可得出結論．解：過點C作ＡB的垂線,垂足為E,∵CD⊥ＢD,AB⊥ＢD,∠ECB＝45°,∴四邊形CDBE是正方形.∵BD=12m,∴BE＝ＣE＝１2ｍ,∴AE=ＣE·tan30°＝１２×eq\ｆ（\ｒ(3）,3）＝4eq\ｒ（3)(m)，∴AB=４eq\r(3)＋12≈1９(m）．答：建筑物AＢ的高為１9m．方法總結：本題考查的是解直角三角形的應用中仰角、俯角問題,根據(jù)題意作出輔助線,構造出直角三角形是解答此題的關鍵．變式訓練：見《學練優(yōu)》本課時練習“課后鞏固提升”第７題三、板書設計１．仰角和俯角的概念;2.利用仰角和俯角求高度；3．利用仰角和俯角求不可到達兩點之間的距離；4.仰角和俯角的綜合．備課時盡可能站在學生的角度上思考問題，設計好教學過程中的每一個細節(jié)．上課前多揣摩,讓學生更