第2章 實(shí)數(shù)及二次根式化簡求值 北師大版八年級數(shù)學(xué)提升講義

第11講解題技巧專題：實(shí)數(shù)易錯與二次根式化簡求值【題型一對無理數(shù)的概念理解不透徹或?qū)?shí)數(shù)的分類不清楚致錯】例1．（2023春·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期末）在，，，，，3.14，，0.1515515551…（兩個1之間依次多1個5）中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．3個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】A【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義進(jìn)行判定即可．【詳解】解：在，，，，，3.14，，0.1515515551…（兩個1之間依次多1個5）中，無理數(shù)有，，0.1515515551…（兩個1之間依次多1個5）中，共3個，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·河南信陽·七年級統(tǒng)考期末）下列各數(shù)：，，，，，（每兩個之間依次增加個），其中無理數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)對每個數(shù)字逐一分析判斷即可．【詳解】解：，，，，，（每兩個之間依次增加個），其中無理數(shù)有：，，（每兩個之間依次增加個）共個，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)的定義，掌握實(shí)數(shù)的分類，無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·江西贛州·七年級校考期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中．，，π，，，0，，．（1）有理數(shù)集合：{

}；（2）無理數(shù)集合：{

}；（3）正實(shí)數(shù)集合：{

}．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的定義即可得；（2）根據(jù)無理數(shù)的定義即可得；（3）根據(jù)正實(shí)數(shù)的定義即可得．【詳解】解：，，（1）有理數(shù)集合：（2）無理數(shù)集合：（3）正實(shí)數(shù)集合：故答案為：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)、無理數(shù)、正實(shí)數(shù)的定義，掌握實(shí)數(shù)的概念與分類是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·云南昭通·七年級校聯(lián)考期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：．有理數(shù)集合：{

，…}；無理數(shù)集合：{

，…}；正實(shí)數(shù)集合：{

，…}；負(fù)實(shí)數(shù)集合：{

，…}．【答案】：；；；【分析】直接利用有理數(shù)、無理數(shù)，正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)的定義得出答案．【詳解】有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：；正實(shí)數(shù)集合：；負(fù)實(shí)數(shù)集合：．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)、無理數(shù)，正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．【題型二易混淆a與的平方根】例2.（2023春·甘肅武威·七年級統(tǒng)考期中）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A，81的平方根為，，因此該選項(xiàng)正確；B，16的算術(shù)平方根為4，，因此該選項(xiàng)錯誤；C，，因此該選項(xiàng)錯誤；D，被開方數(shù)應(yīng)大于等于0，因此該選項(xiàng)錯誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根，注意兩者的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·廣東東莞·七年級?？计谥校┫铝姓f法中正確的是（）A．的算術(shù)平方根是 B．是的平方根C．的平方根是 D．的算術(shù)平方根是【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義分別分析得出答案．【詳解】A、，4的算術(shù)平方根是2，故該選項(xiàng)錯誤．B、12是144的平方根，故該選項(xiàng)正確．C、，5的平方根是，故該選項(xiàng)錯誤．D、的算術(shù)平方根是，故該選項(xiàng)錯誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和平方根的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·遼寧鞍山·七年級?？茧A段練習(xí)）的平方根是，的算術(shù)平方根是．【答案】【分析】根據(jù)平方根的定義以及算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，的平方根是，的算術(shù)平方根是故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個數(shù)的平方根、算術(shù)平方根，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)就叫的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．【變式2-3】（2023春·四川瀘州·七年級瀘縣五中校考期中）的算術(shù)平方根是；的平方根是．【答案】3【分析】先求出，再求9的算術(shù)平方根即可；求出，再求4的平方根即可．【詳解】解：，9的算術(shù)平方根為：，，4的平方根為：，故答案為：3，．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，平方根，掌握算術(shù)平方根和平方根的求法是解題的關(guān)鍵．【題型三求二次根式有意義時未考慮清楚致錯】例3.（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)中自變量x的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，有意義的條件是，列出不等式求解即可．【詳解】∵函數(shù)有意義，∴且，解得且，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪有意義的條件，熟練掌握有意義的條件時解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·北京·九年級專題練習(xí)）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，由題意得：，∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）二次根式中字母的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可知即可．【詳解】解：∵要使二次根式有意義，則∴，故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·安徽六安·八年級?？计谥校┤舸鷶?shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義和分式有意義的條件得到，解不等式即可得到答案．【詳解】解：∵代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得，即的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式和分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【題型四忽略二次根式有意義的隱含條件或?qū)斫獠煌笍刂洛e】例4.化簡二次根式的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再利用二次根式的性質(zhì)化簡即可得．【詳解】解：，，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式4-1】化簡二次根式的結(jié)果是（

）A． B． C．－ D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：∵，，∴b<0，∴=－，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡，正確掌握二次根式有意義的條件及化簡方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】若成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的位置判斷出的正負(fù)，然后把原式利用二次根式及立方根性質(zhì)化簡，最后去括號合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．【詳解】∵由數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：∴∴原式．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸，以及絕對值的概念及其各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【題型五利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算】例5.（2023春·寧夏吳忠·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】先計(jì)算平方差和完全平方差，再計(jì)算減法，化簡即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解題關(guān)鍵是牢記公式．【變式5-1】（2023春·青海果洛·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)完全平方公式展開，再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·安徽滁州·八年級校考期中）計(jì)算：．【答案】2【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算法則，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：【答案】【分析】原式根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的除法，熟練掌握除法法則是解答本題的關(guān)鍵．【題型六與二次根式有關(guān)的整體代入求值】例6.（2023春·山東臨沂·八年級校考階段練習(xí)）已知，求．【答案】【分析】將進(jìn)行平方，再將整體代入求值即可．【詳解】解：將代入得：∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是整體代入法求值．【變式6-1】（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）如果，，那么．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再合并同類二次根式，最后將式子的值代入即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，那么的值等于．【答案】【分析】通過完全平方公式求出，把待求式的被開方數(shù)都用的代數(shù)式表示，然后再進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：∵，∴，∴∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，難度不大，關(guān)鍵是把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用的代數(shù)式表示．【變式6-3】（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┮阎蟠鷶?shù)式的值．【答案】2【分析】根據(jù)完全平方公式把原式變形，把的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．【題型七與二次根式有關(guān)的新定義型運(yùn)算】例7.（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）對于任意的正數(shù)m，n，定義一種新的運(yùn)算“*”：，則計(jì)算的結(jié)果為．【答案】/【分析】根據(jù)新定義把所求的式子化為二次根式運(yùn)算，再進(jìn)行二次根式的運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算，理解新定義，將式子轉(zhuǎn)化為二次根式的計(jì)算，并正確進(jìn)行二次根式計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·廣西南寧·七年級校聯(lián)考期中）對于兩個不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，，如：，那么．【答案】3【分析】根據(jù)定義的新運(yùn)輸，將，代入化簡即可得出答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在解題時要先明確新的運(yùn)算表示的含義是本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）定義一種對正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如，取，第三次“F運(yùn)算”的結(jié)果是11．

若，（1）第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；（2）照這樣運(yùn)算下去，第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果為．【答案】1【分析】（1）若，根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）由（1）得，若，第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為，再算出第三次運(yùn)算結(jié)果，第四次運(yùn)算結(jié)果，第五次運(yùn)算結(jié)果，第六次運(yùn)算結(jié)果，根據(jù)所得規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：（1）若，第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為：，第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為：，故答案為：，；（2）由（1）得，若，第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為，第三次運(yùn)算結(jié)果為：，第四次運(yùn)算結(jié)果為：，第五次運(yùn)算結(jié)果為：，第六次運(yùn)算結(jié)果為：，∵∴第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解題意，發(fā)現(xiàn)結(jié)果的變化規(guī)律．【變式7-3】（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）對于任意的正實(shí)數(shù)和，我們定義新運(yùn)算：，如：，求：的值．【答案】【分析】原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴根據(jù)題中的新定義得：，即：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【題型八二次根式的分母有理化】例8.（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學(xué)校考期中）閱讀材料，并解決問題．定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式．運(yùn)用以上方法解決問題：(1)將分母有理化；(2)觀察上面的解題過程，請直接寫出結(jié)果：______．(3)計(jì)算的值．【答案】(1)(2)(3)2022【分析】（1）根據(jù)平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；（2）根據(jù)平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；（3）先分母有理化，最后合并即可．【詳解】（1）解：==；（2）解：；故答案為：；（3）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化，平方差公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確進(jìn)行分母有理化．【變式8-1】（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）像，，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進(jìn)行二次根式計(jì)算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)化簡：；(2)計(jì)算：；(3)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）利用有理化因式，化去分母中的根號即可；（2）利用有理化因式，化去分母中的根號，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（3）利用有理化因式，化去分母中的根號，再進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵∴，【點(diǎn)睛】本題考查分母有理化，掌握二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面解題過程．例：化簡．解：．請回答下列問題．(1)歸納：請直接寫出下列各式的結(jié)果：①__________；②__________．(2)應(yīng)用：化簡．(3)拓展：__________．含的式子表示，為正整數(shù)）【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】（1）①分子分母都乘以可得答案；②分子分母都乘以可得答案；（2）把分母中的二次根號去掉，再合并同類二次根式即可；（3）把分母中的二次根號去掉，再結(jié)合分配律，合并同類二次根式即可；【詳解】（1）解：①；②；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算中的規(guī)律探究，熟練的分母有理化是解本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小誠和他的同學(xué)遇到一道題：已知，求的值他是這樣解答的：，．，．．．請你根據(jù)小誠的解題過程，解決如下問題：(1)______；(2)化簡；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)小誠的解答過程計(jì)算即可．（2）結(jié)合（1）進(jìn)行分母有理化，再合并即可的結(jié)果．（3）根據(jù)平方差公式，可分母有理化，根據(jù)整體代入，可得答案．【詳解】（1）；（2）原式；（3），，，即．．．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減，分母有理化，平方差公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知進(jìn)行解答．【題型九復(fù)合二次根式的化簡】例9.（2023春·湖南郴州·八年級?？奸_學(xué)考試）先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡經(jīng)過思考，小張解決這個問題的過程如下：①②③④在上述化簡過程中，第________步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為________；（2）化簡；（3）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：．【答案】（1）④，；（2）；（3）【分析】（1）第④步出現(xiàn)了錯誤，；（2）類比例題，將9分別拆為兩個二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計(jì)算求值即可；（3）類比例題，將8分別拆為兩個二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計(jì)算求值即可．【詳解】解：（1）第④步出現(xiàn)了錯誤，正確解答如下：；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡和完全平方公式的運(yùn)用，能夠?qū)?shù)據(jù)拆為正確的完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡，若能找到兩個數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例題，根據(jù)，即可求解；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：∵，；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，將被開方數(shù)化為平方的形式是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·全國·八年級期中）像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：①______；②______．(2)若，且，，為正整數(shù)，求的值．【答案】(1)①；②(2)46或14【分析】（1）將被開方數(shù)寫成完全平方式，再化簡．（2）變形已知等式，建立，，的方程組求解．【詳解】（1）解：①；；②；故答案為：①；②；（2）解：，，，，均為正整數(shù)．或，或．或14．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡，將二次根式的被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒绞绞乔蠼獗绢}的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）像這樣的根式叫做復(fù)合二次根式有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡．例1：；例2：請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：；(2)化簡：；(3)若，且為正整數(shù)，求a的值．【答案】(1)(2)(3)a的值為或【分析】（1）根據(jù)題目提供的方法將，化簡為，進(jìn)而得到答案；（2）根據(jù)題目提供的方法將，化簡為，進(jìn)而得到答案；（3）將化簡為，繼而得到，，再根據(jù)為正整數(shù)，即可求出其值，代入即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，，又為正整數(shù)，，或者，當(dāng)時，；當(dāng)，，綜上所述，a的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．一、單選題1．（2023春·河北廊坊·七年級校考期中）在、、、、、、、、、中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】先將能化簡的數(shù)化簡，再根據(jù)無理數(shù)的定義逐個進(jìn)行判斷即．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，∴無理數(shù)有：，，，、，共5個，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，常見的無理數(shù)有：開不盡方的數(shù)，含的數(shù)，有規(guī)律但是不循環(huán)的數(shù)．2．（23-24八年級下·遼寧大連·期中）下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)逐項(xiàng)計(jì)算再進(jìn)行判斷即可【詳解】解：A.，故選項(xiàng)A計(jì)算錯誤，不符合題意；B.，故選項(xiàng)B計(jì)算錯誤，不符合題意；C.，故選項(xiàng)C計(jì)算錯誤，不符合題意；D.，計(jì)算正確，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D3．（23-24八年級下·湖南湘西·期中）二次根式中的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件為被開方數(shù)大于等于零即可．【詳解】解：若有意義，則且，即：且，解得，故選：D．4．實(shí)數(shù)a，b表示的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖，則將化簡的結(jié)果是（

）A．4 B．2a C．2b D．【答案】A【解析】【分析】由在數(shù)軸上的位置可得：再根據(jù)化簡計(jì)算即可．【詳解】解：故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡，掌握“”是解本題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級下·河南許昌·階段練習(xí)）對于任意的正數(shù)x、y定義運(yùn)算為：，計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是定義新運(yùn)算，根據(jù)定義新運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算是解決此題的關(guān)鍵．先根據(jù)定義新運(yùn)算的公式分別計(jì)算，，然后再代入計(jì)算即可．【詳解】，，故選A．二、填空題6．（2023春·廣東惠州·七年級?？计谥校┑乃阈g(shù)平方根是；的算術(shù)平方根是．【答案】/3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根概念即可解決問題．【詳解】解：，的算術(shù)平方根是；，9的算術(shù)平方根是3，的算術(shù)平方根是3．答案：；3【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根概念的運(yùn)用．此類問題要先計(jì)算再求算術(shù)平方根．7．（23-24七年級下·重慶·期中）在實(shí)數(shù)0，，，，1.020020002，，中，無理數(shù)有個．【答案】4【分析】此題主要考查了無理數(shù)的定義，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此即可求得答案．解題的關(guān)鍵是明確初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．【詳解】解：，，，是無限不循環(huán)小數(shù)，它們是無理數(shù)，共4個；0是整數(shù)，是分?jǐn)?shù)，1.02002002是有限小數(shù)，它們不是無理數(shù)；故答案為：4．8．（2024·江蘇宿遷·三模）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次根式以及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識．根據(jù)分母不為零，被開方數(shù)大于等于零，列式，解答即可．【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：，故答案為：．9．（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）已知，化簡：．【答案】【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡、不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵在于認(rèn)真觀察題意得出，的符號．根據(jù)題意可知，，然后對二次根式進(jìn)行化簡，根據(jù)，去絕對值號．【詳解】解：二次根式，，，，，故答案為：．10．（23-24七年級上·湖北·期中）在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“”：當(dāng)時，；當(dāng)時，．則方程的解是．【答案】81或1/1或81【分析】此題主要考查了新定義運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．直接利用當(dāng)時，當(dāng)時，分別得出等式，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：，當(dāng)時，，故，解得：，當(dāng)時，，，故，解得：，綜上所述：或．故答案為：81或1．三、解答題11．（22-23七年級上·全國·單元測試）把下列各數(shù)按有理數(shù)、無理數(shù)、正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：0，，，4，，，，，，，，．有理數(shù)集合：無理數(shù)集合：正實(shí)數(shù)集合：負(fù)實(shí)數(shù)集合：【答案】0，，4，，，，，，，，，4，，，，，，，，【分析】根據(jù)有理數(shù)與無理數(shù)的定義以及正實(shí)數(shù)與負(fù)實(shí)數(shù)的定義進(jìn)行分類即可，【詳解】解：有理數(shù)集合：0，，4，，，，，，；無理數(shù)集合：，，；正實(shí)數(shù)集合：，4，，，，，；負(fù)實(shí)數(shù)集合：，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是有理數(shù)與無理數(shù)的定義以及正實(shí)數(shù)與負(fù)實(shí)數(shù)的定義等知識內(nèi)容，注意0既不是正實(shí)數(shù)也不是負(fù)實(shí)數(shù)．12．（2023春·廣東東莞·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：，求的值．【答案】【分析】根據(jù)進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式的變形求值，正確根據(jù)完全平方公式得到是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）已知，求下列式子的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件式得出，然后根據(jù)完全平方公式變形求值即可求解；（2）將，代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴；（2）解：∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式與二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14．（23-24八年級下·河南許昌·期中）定義：若兩個二次根式a，b滿足，且c是有理數(shù)，則稱a與b是關(guān)于c的因子二次根式．(1)若a與是關(guān)于4的因子二次根式，則________________；(2)若與是關(guān)于2的因子二次根式，求m的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查二次根式的計(jì)算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意即可解答；（2）根據(jù)題意列出式子，解方程即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，解得，故答案為：；（2）解：根據(jù)題意得，所以解得即m的值為．15．如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個點(diǎn)A、B、C所對應(yīng)的實(shí)數(shù)．其中a是4的一個平方根，b是的立方根，c是的相反數(shù)．(1)填空：a=_______，b=_______，c=______；(2)先化簡，再求值：．【答案】(1)-2，-3，(2)，【解析】【分析】(1)根據(jù)平方根，立方根，相反數(shù)的意義，即可解答；(2)根據(jù)題意可得c>0，a-b>0，a-c<0，然后先化簡各式，再進(jìn)行計(jì)算即可解答．(1)由題意得：，，，故答案是：-2，-3，；(2)由數(shù)軸可得：c＞0，a﹣b＞0，a﹣c＜0，原式=．當(dāng)，時原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，平方根，立方根，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．16．（23-24八年級下·江蘇泰州·期中）數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學(xué)問題，改變它的形式，變換它的結(jié)構(gòu)，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學(xué)解題的一個重要原則”．材料一：平方運(yùn)算和開方運(yùn)算是互逆運(yùn)算．如，那么．如何將雙重二次根式化簡？我們可以把轉(zhuǎn)化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標(biāo)系中，對于點(diǎn)和給出如下定義：若，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”．例如：點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為．請選擇合適的材料解決下面的問題：(1)點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為______________________，點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為______________________；(2)化簡：；(3)已知a為常數(shù)，點(diǎn)且，點(diǎn)是點(diǎn)M的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是_________________________．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)“橫負(fù)縱變點(diǎn)”的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題干提供的信息，進(jìn)行變形求解即可；（3）先根據(jù)，得出，求出，，再求出m的值，得出，根據(jù)“橫負(fù)縱變點(diǎn)”的定義寫出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：，∴點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；，∴點(diǎn)的“橫負(fù)縱變點(diǎn)”為；故答案為：；．（2）解：；（3）解：∵，∴，，．，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，二次根式化簡求值，化簡復(fù)合型二次根式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式性質(zhì)，理解新定義．17．（2023春·河北邢臺·八年級校考期中）【閱讀材料】在二次根式中，如：，，它們的積不含根號，我們稱這樣的兩個二次根式互為有理化因式．于是我們可以利用這樣的兩個二次根式，進(jìn)行分母有理化（通過分子、分母同乘一個式子，把分母中的根號轉(zhuǎn)化為有理數(shù)的過程），例如：，．【解決問題】(1)化簡的結(jié)果為______；(2)已知，．①化簡______，______；②求的值；(3)計(jì)算：．【答案】(1)(2)①；；②(3)【分析】（1）結(jié)合題意，利用分母有理化、平方差公式計(jì)算即可；（2）①利用分母有理化化簡即可②利用提公因式法把原式變形，代入計(jì)算即可；（3）根據(jù)（1）的結(jié)論計(jì)算即可．【詳解】（1），故答案為：．（2）①；②．（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡求值、分母有理化，掌握二次根式的乘法法則、減法法則是解題的關(guān)鍵．18．（2023春·廣東廣州·八年級廣州市第十六中學(xué)?？计谥校┒x：我們將與稱為一對“對偶式”．因?yàn)椋梢杂行У娜サ舾?，所以有一些題可以通過構(gòu)造“對偶式”來解決．例如：已知，求的值，可以這樣解答：因?yàn)椋裕?1)已知：，求：①________；②結(jié)合已知條件和第①問的結(jié)果，解方程：；(2)代數(shù)式中的取值范圍是________，最大值是________，最小值是_________；(3)計(jì)算：．【答案】(1)①2；②(2)，10，2(3)【分析】（1）仿照題意，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）根據(jù)二次根式有意義的條件列出不等式組，解不等式組即可得到答案；（3）利用原題的過程，對原式進(jìn)行變形后，即可得到答案．【詳解】（1）解：①∵，∴；故答案為：2②由①得，已知，兩式相加得到，，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意，即方程的解是；（2）解：由二根式有意義的條件得到，解得，即的取值范圍是，x的最大值是10，x的最小值是2；故答案為：，10，2（3）【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)和混合運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則和靈活變形是解題的關(guān)鍵．

第11講解題技巧專題：實(shí)數(shù)易錯與二次根式化簡求值【題型一對無理數(shù)的概念理解不透徹或?qū)?shí)數(shù)的分類不清楚致錯】例1．（2023春·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期末）在，，，，，3.14，，0.1515515551…（兩個1之間依次多1個5）中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．3個 B．5個 C．6個 D．7個【答案】A【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義進(jìn)行判定即可．【詳解】解：在，，，，，3.14，，0.1515515551…（兩個1之間依次多1個5）中，無理數(shù)有，，0.1515515551…（兩個1之間依次多1個5）中，共3個，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023春·河南信陽·七年級統(tǒng)考期末）下列各數(shù)：，，，，，（每兩個之間依次增加個），其中無理數(shù)的個數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)對每個數(shù)字逐一分析判斷即可．【詳解】解：，，，，，（每兩個之間依次增加個），其中無理數(shù)有：，，（每兩個之間依次增加個）共個，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查無理數(shù)的定義，掌握實(shí)數(shù)的分類，無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是整數(shù)與分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·江西贛州·七年級校考期中）把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中．，，π，，，0，，．（1）有理數(shù)集合：{

}；（2）無理數(shù)集合：{

}；（3）正實(shí)數(shù)集合：{

}．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的定義即可得；（2）根據(jù)無理數(shù)的定義即可得；（3）根據(jù)正實(shí)數(shù)的定義即可得．【詳解】解：，，（1）有理數(shù)集合：（2）無理數(shù)集合：（3）正實(shí)數(shù)集合：故答案為：（1）；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)、無理數(shù)、正實(shí)數(shù)的定義，掌握實(shí)數(shù)的概念與分類是解題關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·云南昭通·七年級校聯(lián)考期中）把下列各數(shù)填在相應(yīng)的集合里：．有理數(shù)集合：{

，…}；無理數(shù)集合：{

，…}；正實(shí)數(shù)集合：{

，…}；負(fù)實(shí)數(shù)集合：{

，…}．【答案】：；；；【分析】直接利用有理數(shù)、無理數(shù)，正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)的定義得出答案．【詳解】有理數(shù)集合：；無理數(shù)集合：；正實(shí)數(shù)集合：；負(fù)實(shí)數(shù)集合：．【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)數(shù)的分類，熟練掌握有理數(shù)、無理數(shù)，正實(shí)數(shù)，負(fù)實(shí)數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵．【題型二易混淆a與的平方根】例2.（2023春·甘肅武威·七年級統(tǒng)考期中）下列各式正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A，81的平方根為，，因此該選項(xiàng)正確；B，16的算術(shù)平方根為4，，因此該選項(xiàng)錯誤；C，，因此該選項(xiàng)錯誤；D，被開方數(shù)應(yīng)大于等于0，因此該選項(xiàng)錯誤；故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平方根、算術(shù)平方根，注意兩者的區(qū)別是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023春·廣東東莞·七年級?？计谥校┫铝姓f法中正確的是（）A．的算術(shù)平方根是 B．是的平方根C．的平方根是 D．的算術(shù)平方根是【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根和平方根的定義分別分析得出答案．【詳解】A、，4的算術(shù)平方根是2，故該選項(xiàng)錯誤．B、12是144的平方根，故該選項(xiàng)正確．C、，5的平方根是，故該選項(xiàng)錯誤．D、的算術(shù)平方根是，故該選項(xiàng)錯誤．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和平方根的定義，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·遼寧鞍山·七年級校考階段練習(xí)）的平方根是，的算術(shù)平方根是．【答案】【分析】根據(jù)平方根的定義以及算術(shù)平方根的定義進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：，的平方根是，的算術(shù)平方根是故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個數(shù)的平方根、算術(shù)平方根，掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．平方根：如果一個數(shù)的平方等于，那么這個數(shù)就叫的平方根，其中屬于非負(fù)數(shù)的平方根稱之為算術(shù)平方根．【變式2-3】（2023春·四川瀘州·七年級瀘縣五中?？计谥校┑乃阈g(shù)平方根是；的平方根是．【答案】3【分析】先求出，再求9的算術(shù)平方根即可；求出，再求4的平方根即可．【詳解】解：，9的算術(shù)平方根為：，，4的平方根為：，故答案為：3，．【點(diǎn)睛】本題考查算術(shù)平方根，平方根，掌握算術(shù)平方根和平方根的求法是解題的關(guān)鍵．【題型三求二次根式有意義時未考慮清楚致錯】例3.（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)中自變量x的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，有意義的條件是，列出不等式求解即可．【詳解】∵函數(shù)有意義，∴且，解得且，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，零指數(shù)冪有意義的條件，熟練掌握有意義的條件時解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·北京·九年級專題練習(xí)）若在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件：被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，由題意得：，∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·浙江嘉興·八年級統(tǒng)考期末）二次根式中字母的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可知即可．【詳解】解：∵要使二次根式有意義，則∴，故答案為:．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，理解二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·安徽六安·八年級?？计谥校┤舸鷶?shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義和分式有意義的條件得到，解不等式即可得到答案．【詳解】解：∵代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得，即的取值范圍是，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式和分式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．【題型四忽略二次根式有意義的隱含條件或?qū)斫獠煌笍刂洛e】例4.化簡二次根式的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件可得，再利用二次根式的性質(zhì)化簡即可得．【詳解】解：，，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件、二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式4-1】化簡二次根式的結(jié)果是（

）A． B． C．－ D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：∵，，∴b<0，∴=－，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的化簡，正確掌握二次根式有意義的條件及化簡方法是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】若成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】實(shí)數(shù)、在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)的位置判斷出的正負(fù)，然后把原式利用二次根式及立方根性質(zhì)化簡，最后去括號合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．【詳解】∵由數(shù)軸上點(diǎn)的位置得：∴∴原式．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)與數(shù)軸，以及絕對值的概念及其各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【題型五利用乘法公式進(jìn)行計(jì)算】例5.（2023春·寧夏吳忠·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】先計(jì)算平方差和完全平方差，再計(jì)算減法，化簡即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，涉及到了平方差公式和完全平方差公式，解題關(guān)鍵是牢記公式．【變式5-1】（2023春·青海果洛·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：．【答案】【分析】先根據(jù)完全平方公式展開，再根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·安徽滁州·八年級校考期中）計(jì)算：．【答案】2【分析】根據(jù)二次根式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算法則，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·遼寧葫蘆島·八年級統(tǒng)考期末）計(jì)算：【答案】【分析】原式根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的除法，熟練掌握除法法則是解答本題的關(guān)鍵．【題型六與二次根式有關(guān)的整體代入求值】例6.（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習(xí)）已知，求．【答案】【分析】將進(jìn)行平方，再將整體代入求值即可．【詳解】解：將代入得：∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解決本題的關(guān)鍵是整體代入法求值．【變式6-1】（2023春·吉林松原·八年級校聯(lián)考期中）如果，，那么．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，再合并同類二次根式，最后將式子的值代入即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）已知，那么的值等于．【答案】【分析】通過完全平方公式求出，把待求式的被開方數(shù)都用的代數(shù)式表示，然后再進(jìn)行計(jì)算．【詳解】解：∵，∴，∴∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡求值，難度不大，關(guān)鍵是把已知條件和待求式的被開方數(shù)都用的代數(shù)式表示．【變式6-3】（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┮阎蟠鷶?shù)式的值．【答案】2【分析】根據(jù)完全平方公式把原式變形，把的值代入計(jì)算即可．【詳解】解：，．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．【題型七與二次根式有關(guān)的新定義型運(yùn)算】例7.（2023春·江蘇泰州·八年級統(tǒng)考期末）對于任意的正數(shù)m，n，定義一種新的運(yùn)算“*”：，則計(jì)算的結(jié)果為．【答案】/【分析】根據(jù)新定義把所求的式子化為二次根式運(yùn)算，再進(jìn)行二次根式的運(yùn)算即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的計(jì)算，理解新定義，將式子轉(zhuǎn)化為二次根式的計(jì)算，并正確進(jìn)行二次根式計(jì)算是解題關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·廣西南寧·七年級校聯(lián)考期中）對于兩個不相等的實(shí)數(shù)a、b，定義一種新的運(yùn)算如下，，如：，那么．【答案】3【分析】根據(jù)定義的新運(yùn)輸，將，代入化簡即可得出答案．【詳解】解：，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，在解題時要先明確新的運(yùn)算表示的含義是本題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023秋·河北保定·七年級統(tǒng)考期末）定義一種對正整數(shù)n的“F運(yùn)算”：①當(dāng)n為奇數(shù)時，結(jié)果為；②當(dāng)n為偶數(shù)時，結(jié)果為（其中k是使為奇數(shù)的正整數(shù)），并且運(yùn)算重復(fù)進(jìn)行，例如，取，第三次“F運(yùn)算”的結(jié)果是11．

若，（1）第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；（2）照這樣運(yùn)算下去，第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果為．【答案】1【分析】（1）若，根據(jù)題意進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）由（1）得，若，第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為，再算出第三次運(yùn)算結(jié)果，第四次運(yùn)算結(jié)果，第五次運(yùn)算結(jié)果，第六次運(yùn)算結(jié)果，根據(jù)所得規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：（1）若，第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為：，第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為：，故答案為：，；（2）由（1）得，若，第一次“F運(yùn)算”的結(jié)果為；第二次“F運(yùn)算”的結(jié)果為，第三次運(yùn)算結(jié)果為：，第四次運(yùn)算結(jié)果為：，第五次運(yùn)算結(jié)果為：，第六次運(yùn)算結(jié)果為：，∵∴第2022次“F運(yùn)算”的結(jié)果為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解題意，發(fā)現(xiàn)結(jié)果的變化規(guī)律．【變式7-3】（2023秋·山西長治·九年級統(tǒng)考期末）對于任意的正實(shí)數(shù)和，我們定義新運(yùn)算：，如：，求：的值．【答案】【分析】原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】解：∵，∴根據(jù)題中的新定義得：，即：．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【題型八二次根式的分母有理化】例8.（2023春·安徽六安·七年級六安市第九中學(xué)校考期中）閱讀材料，并解決問題．定義：將分母中的根號化去的過程叫做分母有理化．如：將分母有理化，解：原式．運(yùn)用以上方法解決問題：(1)將分母有理化；(2)觀察上面的解題過程，請直接寫出結(jié)果：______．(3)計(jì)算的值．【答案】(1)(2)(3)2022【分析】（1）根據(jù)平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；（2）根據(jù)平方差公式先分子和分母都乘以，即可求出答案；（3）先分母有理化，最后合并即可．【詳解】（1）解：==；（2）解：；故答案為：；（3）解：原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化，平方差公式的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確進(jìn)行分母有理化．【變式8-1】（2023春·江蘇連云港·八年級統(tǒng)考期末）像，，兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式．進(jìn)行二次根式計(jì)算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．請完成下列問題：(1)化簡：；(2)計(jì)算：；(3)比較與的大小，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）利用有理化因式，化去分母中的根號即可；（2）利用有理化因式，化去分母中的根號，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（3）利用有理化因式，化去分母中的根號，再進(jìn)行比較即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：∵∴，【點(diǎn)睛】本題考查分母有理化，掌握二次根式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀下面解題過程．例：化簡．解：．請回答下列問題．(1)歸納：請直接寫出下列各式的結(jié)果：①__________；②__________．(2)應(yīng)用：化簡．(3)拓展：__________．含的式子表示，為正整數(shù)）【答案】(1)①；②(2)(3)【分析】（1）①分子分母都乘以可得答案；②分子分母都乘以可得答案；（2）把分母中的二次根號去掉，再合并同類二次根式即可；（3）把分母中的二次根號去掉，再結(jié)合分配律，合并同類二次根式即可；【詳解】（1）解：①；②；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，二次根式的運(yùn)算中的規(guī)律探究，熟練的分母有理化是解本題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·江西贛州·八年級統(tǒng)考期末）在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小誠和他的同學(xué)遇到一道題：已知，求的值他是這樣解答的：，．，．．．請你根據(jù)小誠的解題過程，解決如下問題：(1)______；(2)化簡；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)小誠的解答過程計(jì)算即可．（2）結(jié)合（1）進(jìn)行分母有理化，再合并即可的結(jié)果．（3）根據(jù)平方差公式，可分母有理化，根據(jù)整體代入，可得答案．【詳解】（1）；（2）原式；（3），，，即．．．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減，分母有理化，平方差公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知進(jìn)行解答．【題型九復(fù)合二次根式的化簡】例9.（2023春·湖南郴州·八年級?？奸_學(xué)考試）先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡經(jīng)過思考，小張解決這個問題的過程如下：①②③④在上述化簡過程中，第________步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為________；（2）化簡；（3）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡：．【答案】（1）④，；（2）；（3）【分析】（1）第④步出現(xiàn)了錯誤，；（2）類比例題，將9分別拆為兩個二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計(jì)算求值即可；（3）類比例題，將8分別拆為兩個二次根式的平方的和，再用完全平方公式變形，計(jì)算求值即可．【詳解】解：（1）第④步出現(xiàn)了錯誤，正確解答如下：；（2）；（3）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡和完全平方公式的運(yùn)用，能夠?qū)?shù)據(jù)拆為正確的完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【變式9-1】（2023春·河南信陽·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）閱讀材料：把根式進(jìn)行化簡，若能找到兩個數(shù)，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例題，根據(jù)，即可求解；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進(jìn)而得出答案．【詳解】（1）解：∵，；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，將被開方數(shù)化為平方的形式是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·全國·八年級期中）像，……這樣的根式叫做復(fù)合二次根式．有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡，如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：①______；②______．(2)若，且，，為正整數(shù)，求的值．【答案】(1)①；②(2)46或14【分析】（1）將被開方數(shù)寫成完全平方式，再化簡．（2）變形已知等式，建立，，的方程組求解．【詳解】（1）解：①；；②；故答案為：①；②；（2）解：，，，，均為正整數(shù)．或，或．或14．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡，將二次根式的被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒绞绞乔蠼獗绢}的關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）像這樣的根式叫做復(fù)合二次根式有一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進(jìn)行化簡．例1：；例2：請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：；(2)化簡：；(3)若，且為正整數(shù)，求a的值．【答案】(1)(2)(3)a的值為或【分析】（1）根據(jù)題目提供的方法將，化簡為，進(jìn)而得到答案；（2）根據(jù)題目提供的方法將，化簡為，進(jìn)而得到答案；（3）將化簡為，繼而得到，，再根據(jù)為正整數(shù)，即可求出其值，代入即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，，又為正整數(shù)，，或者，當(dāng)時，；當(dāng)，，綜上所述，a的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式，二次根式的性質(zhì)與化簡，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．一、單選題1．（2023春·河北廊坊·七年級?？计谥校┰凇?、、、、、、、、中，無理數(shù)的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】D【分析】先將能化簡的數(shù)化簡，再根據(jù)無理數(shù)的定義逐個進(jìn)行判斷即．【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，∴無理數(shù)有：，，，、，共5個，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，常見的無理數(shù)有：開不盡方的數(shù)，含的數(shù)，有規(guī)律但是不循環(huán)的數(shù)．2．（23-24八年級下·遼寧大連·期中）下列各式中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)，根據(jù)逐項(xiàng)計(jì)算再進(jìn)行判斷即可【詳解】解：A.，故選項(xiàng)A計(jì)算錯誤，不符合題意；B.，故選項(xiàng)B計(jì)算錯誤，不符合題意；C.，故選項(xiàng)C計(jì)算錯誤，不符合題意；D.，計(jì)算正確，故選項(xiàng)D符合題意；故選：D3．（23-24八年級下·湖南湘西·期中）二次根式中的x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式有意義的條件為被開方數(shù)大于等于零即可．【詳解】解：若有意義，則且，即：且，解得，故選：D．4．實(shí)數(shù)a，b表示的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖，則將化簡的結(jié)果是（

）A．4 B．2a C．2b D．【答案】A【解析】【分析】由在數(shù)軸上的位置可得：再根據(jù)化簡計(jì)算即可．【詳解】解：故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡，掌握“”是解本題的關(guān)鍵．5．（23-24八年級下·河南許昌·階段練習(xí)）對于任意的正數(shù)x、y定義運(yùn)算為：，計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是定義新運(yùn)算，根據(jù)定義新運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算是解決此題的關(guān)鍵．先根據(jù)定義新運(yùn)算的公式分別計(jì)算，，然后再代入計(jì)算即可．【詳解】，，故選A．二、填空題6．（2023春·廣東惠州·七年級校考期中）的算術(shù)平方根是；的算術(shù)平方根是．【答案】/3【分析】根據(jù)算術(shù)平方根概念即可解決問題．【詳解】解：，的算術(shù)平方根是；，9的算術(shù)平方根是3，的算術(shù)平方根是3．答案：；3【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根概念的運(yùn)用．此類問題要先計(jì)算再求算術(shù)平方根．7．（23-24七年級下·重慶·期中）在實(shí)數(shù)0，，，，1.020020002，，中，無理數(shù)有個．【答案】4【分析】此題主要考查了無理數(shù)的定義，無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，據(jù)此即可求得答案．解題的關(guān)鍵是明確初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：，等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．【詳解】解：，，，是無限不循環(huán)小數(shù)，它們是無理數(shù)，共4個；0是整數(shù)，是分?jǐn)?shù)，1.02002002是有限小數(shù)，它們不是無理數(shù)；故答案為：4．8．（2024·江蘇宿遷·三模）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】本題考查了二次根式以及分式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識．根據(jù)分母不為零，被開方數(shù)大于等于零，列式，解答即可．【詳解】解：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，∴，解得：，故答案為：．9．（2024八年級下·浙江·專題練習(xí)）已知，化簡：．【答案】【分析】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡、不等式的性質(zhì)，關(guān)鍵在于認(rèn)真觀察題意得出，的符號．根據(jù)題意可知，，然后對二次根式進(jìn)行化簡，根據(jù)，去絕對值號．【詳解】解：二次根式，，，，，故答案為：．10．（23-24七年級上·湖北·期中）在正實(shí)數(shù)范圍內(nèi)定義一種運(yùn)算“”：當(dāng)時，；當(dāng)時，．則方程的解是．【答案】81或1/1或81【分析】此題主要考查了新定義運(yùn)算，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，正確分情況討論是解題關(guān)鍵．直接利用當(dāng)時，當(dāng)時，分別得出等式，進(jìn)而得出答案．【詳解】解：，當(dāng)時，，故，解得：，當(dāng)時，，，故，解得：，綜上所述：或．故答案為：81或1．三、解答題11．（22-23七年級上·全國·單元測試）把下列各數(shù)按有理數(shù)、無理數(shù)、正實(shí)數(shù)、負(fù)實(shí)數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：0，，，4，，，，，，，，．有理數(shù)集合：無理數(shù)集合：正實(shí)數(shù)集合：負(fù)實(shí)數(shù)集合：【答案】0，，4，，，，，，，，，4，，，，，，，，【分析】根據(jù)有理數(shù)與無理數(shù)的定義以及正實(shí)數(shù)與負(fù)實(shí)數(shù)的定義進(jìn)行分類即可，【詳解】