第10講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)（解析版）

第10講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)一、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算1．對數(shù)的概念（1）對數(shù)：一般地，如果，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).（2）牢記兩個重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)lgN；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的對數(shù)lnN.（3）對數(shù)式與指數(shù)式的互化：.2．對數(shù)的性質(zhì)根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)具有以下性質(zhì)：（1）負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)，即；（2）1的對數(shù)等于0，即；（3）底數(shù)的對數(shù)等于1，即；（4）對數(shù)恒等式.3．對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果，那么：（1）；（2）；（3）.4．對數(shù)的換底公式對數(shù)的換底公式：.換底公式將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時究竟換成什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以e為底的自然對數(shù).換底公式的變形及推廣：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d>0).二、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1．對數(shù)函數(shù)的概念一般地，我們把函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是.2．對數(shù)函數(shù)的圖象一般地，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)如下表所示：圖象三、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)一般地，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)如下表所示：圖象定義域值域性質(zhì)過定點(diǎn)，即時，在上是減函數(shù)在上是增函數(shù)當(dāng)x＞1時，y＜0；當(dāng)0＜x＜1時，y＞0當(dāng)x＞1時，y＞0；當(dāng)0＜x＜1時，y＜0考點(diǎn)一對數(shù)概念與對數(shù)運(yùn)算1．（嘉興市第五高級中學(xué)高二期中）已知函數(shù)，則（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式可知.故選：C2．（上海高一專題練習(xí)）若log32=x，則3x+9x的值為（）A．6 B．3 C． D．【答案】A【詳解】由log32=x得3x=2，因此9x=(3x)2=4，所以3x+9x=2+4=6.故選：A.3．（廣東高一單元測試）已知，則的值為（）A．3 B．6 C．9 D．【答案】A【詳解】解：由，得，故選：A4．（湖南婁底一中高二期中）已知函數(shù)，若，則等于（）A． B． C．或 D．2【答案】A【詳解】解：當(dāng)時，，∴；當(dāng)時，，∴（舍去）．∴．故選：A．5．（全國）若3x＝2，則x等于（）A．log23 B．log32 C．32 D．23【答案】B【詳解】，.故選：B.6．（陜西省黃陵縣中學(xué)高一期末）已知，則x等于（）A． B．4 C．16 D．2【答案】C【詳解】由對數(shù)與指數(shù)式運(yùn)算可得.故選：C.7．（全國）以下對數(shù)式中，與指數(shù)式等價的是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】根據(jù)指數(shù)式和對數(shù)式的關(guān)系，等價于.故選：A.8．（全國）已知且，，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由指對數(shù)的互化公式，因?yàn)?，所?故選：B.9．（吉林延邊二中高二月考（文））已知函數(shù)，則（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】∵，∴.故選：B.10．（長豐縣鳳麟中學(xué)高二期中（文））等于（）A． B． C．4 D．5【答案】C【詳解】故選：C11．（太原市第五十六中學(xué)校高二月考（文））下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】對于A：，故A不正確；對于B：，故B不正確；對于C：∵,∴，故C正確，對于D：，故D不正確，故選：C.12．（普寧市第二中學(xué)高三月考）已知函數(shù)，則（）A． B．1 C． D．0【答案】C【詳解】．故選：C.13．（全國高一專題練習(xí)）（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】.故選：C.14．（長豐北城衡安學(xué)校高二月考（理））若函數(shù)．則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】，則，因此，.故選：A.15．（北京大興區(qū)·高一期末）等于（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】.故選：B.16．（定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校高一期末）式子的值為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】.故選：A.17．（鹽城市伍佑中學(xué)高三開學(xué)考試）已知，則等于（）A．1 B．2 C．5 D．10【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，，所?故選：A18．（黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中（文））的值為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】原式.故選：B19．（福建福州·高一期末）若，求（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，所以，所?故選：A.20．（全國高一單元測試）已知，則（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：若，可得，，則，故選：A．考點(diǎn)二對數(shù)函數(shù)與定義域1．（上海高一專題練習(xí)）對數(shù)函數(shù)的圖像過點(diǎn)M(125，3)，則此對數(shù)函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為y＝logax(a>0，且a≠1)．由于對數(shù)函數(shù)的圖像過點(diǎn)M(125，3)，所以3＝loga125，得a＝5.所以對數(shù)函數(shù)的解析式為y＝log5x.故選：A.2．（全國高一課時練習(xí)）給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是對數(shù)函數(shù)的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【詳解】①②不是對數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?shù)的真數(shù)不是僅有自變量x；③不是對數(shù)函數(shù)，因?yàn)閷?shù)的底數(shù)不是常數(shù)；④是對數(shù)函數(shù)．故選:A.3．（全國高一課時練習(xí)）若某對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則該對數(shù)函數(shù)的解析式為（）A． B．C．或 D．不確定【答案】A【詳解】設(shè)函數(shù)為，依題可知，，解得，所以該對數(shù)函數(shù)的解析式為．故選：A．4．（浙江高三專題練習(xí)）設(shè)a與b均為實(shí)數(shù)，且，已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【詳解】解：令，由圖可知：，，即，解得：，故，故選：C.5．（莆田錦江中學(xué)高一期末）已知函數(shù)，若圖象過點(diǎn)，則的值為（）A． B．2 C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，則，所以，，故選：B.6．（全國高一課時練習(xí)）下列函數(shù)表達(dá)式中，是對數(shù)函數(shù)的有（）①；②；③；④；⑤；⑥．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】形如（且）的函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，故③④為對數(shù)函數(shù)，所以共有個.故選：B7．（全國高一課前預(yù)習(xí)）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由對數(shù)函數(shù)的定義：形如且的形式，則函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，只有D符合.故選D8．（全國高一）函數(shù)為對數(shù)函數(shù)，則等于A．3 B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為對數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)系數(shù)為1，即即或，因?yàn)閷?shù)函數(shù)底數(shù)大于0，所以，，所以．9．（全國（文））函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意，有，解得.∴函數(shù)定義域?yàn)?故選：B.10．（奉新縣第一中學(xué)高一月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【詳解】對于函數(shù)，有，解得.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.11．（廈門市松柏中學(xué)高二開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：，解得：，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：B.12．（威海市第一中學(xué)高二月考）函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】B解：的定義域?yàn)?，?故選：B13．（天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，，解得，所以所求定義域?yàn)?故選：B14．（大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期末（文））函數(shù)的定義域是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由題意得解得或.所以原函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.15．（貴溪市實(shí)驗(yàn)中學(xué)）函數(shù)的定義域是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C16．（安徽省泗縣第一中學(xué)（理））已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)椋?，則，，因此故選：C.17．（全國高一單元測試）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】D【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，即或，所以定義域?yàn)椋?故選：D.18．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】B【詳解】由函數(shù)的定義域滿足：解得：或故的定義域?yàn)楣蔬x：B19．（射陽縣第二中學(xué)高一開學(xué)考試）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可得，解得，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.20．（全國高一課時練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】A【詳解】由解得.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A考點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的圖象1．（河北）函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，排除C、D.當(dāng)時，，排除B.故選:A.2．（鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高一月考）函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】對于函數(shù)，令，可得，則，因此，函數(shù)的圖象過定點(diǎn).故選：C.3．（全國高一專題練習(xí)）函數(shù)的圖象必過的點(diǎn)是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，則當(dāng)，即時，是與的值無關(guān)的定值，故函數(shù)的圖形必過的點(diǎn)是.故選：D.4．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，，則函數(shù)的圖象為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由f(x)是R上的奇函數(shù)，即函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除A、B．又x＞0時f(x)＝ln(x＋1)，排除C.故選：D．5．（貴州）函數(shù)的圖象經(jīng)過（）A．（0，1） B．（1，0） C．（0，0） D．（2，0）【答案】C【詳解】解方程，得.所以函數(shù)的圖象過定點(diǎn).故選：C.6．（吉林長春·高三（理））如圖，①②③④中不屬于函數(shù)，，的一個是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】B【詳解】解：由對數(shù)函數(shù)圖象特征及與的圖象關(guān)于軸對稱，可確定②不是已知函數(shù)圖象.故選：B.7．（全國高一專題練習(xí)）函數(shù)的大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：因?yàn)?，所以函?shù)的定義域?yàn)?，即圖象在時無值，排除B、D選項(xiàng)；當(dāng)時，，所以A選項(xiàng)正確．故選：A8．（蚌埠田家炳中學(xué)高二月考（文））已知函數(shù)，則其大致圖象為（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)椋赃x項(xiàng)D錯誤；當(dāng)時，，所以選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A,C錯誤.故選：B9．（浙江高一單元測試）已知函數(shù)，其圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由，知：關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除B、D；當(dāng)時，，排除C.故選：A10．（全國高一專題練習(xí)）已知函數(shù)（且）的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令，解得，所以，因此函數(shù)的圖象過定點(diǎn)．故選：C．11．（河南漯河·高一期末）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，我們要學(xué)會以形助數(shù)．則在同一直角坐標(biāo)系中，與的圖像可能是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】是定義域?yàn)镽的增函數(shù)，：-x>0，則x<0.結(jié)合選項(xiàng)只有B符合.故選：B12．（浙江高一期末）冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)是生活中三類常見基本的初等函數(shù)，可以刻畫客觀世界不同的變化規(guī)律．已知函數(shù)，，的圖象如圖所示，則（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由圖象可得曲線①為對數(shù)函數(shù)，在定義域?yàn)闉樵龊瘮?shù)，則，曲線②為指數(shù)函數(shù)，為減函數(shù)，則曲線③為冪函數(shù)，在上為減函數(shù)，則所以故選：A13．（上海普陀·曹楊二中高一期末）函數(shù)與在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B．C．D．【答案】B【詳解】由對數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得且，當(dāng)時，過點(diǎn)在上單調(diào)遞減，過點(diǎn)在單調(diào)遞減，所以排除選項(xiàng)C，當(dāng)時，過點(diǎn)在上單調(diào)遞增，過點(diǎn)在單調(diào)遞增，所以排除選項(xiàng)AD，故選：B.14．（安徽宿州·高一期末）已知函數(shù)是冪函數(shù)，則函數(shù)(，且)的圖象所過定點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，所以，因此，所以，由可得，，所以函數(shù)(，且)的圖象所過定點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A.考點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性1．（廣東高三月考）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，∴.故選：B2．（河南高一月考）已知，則（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】，所以.故選：B.3．（浮梁縣第一中學(xué)高一月考）已知設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：∵，，，∴，，的大小關(guān)系為．故選：D．4．（河南高三月考（文））設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由，得，，，所以.故選：D.5．（天津河?xùn)|·高二學(xué)業(yè)考試）已知，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，∴.故選：D6．（湖北荊州·高一期中）已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，得，，則；故選：C7．（江西省銅鼓中學(xué)高二開學(xué)考試（文））設(shè)，，，則，，的大小是（）A． B．C． D．【答案】D【詳解】，，.所以.故選：D8．（正陽縣高級中學(xué)高三（理））已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，由，故．故選：C．9．（九龍坡·重慶市育才中學(xué)高三月考）已知，則的單調(diào)增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)在上是增函數(shù)，反比例函數(shù)在上也是增函數(shù)，所以在定義域上單調(diào)遞增；又是由向左平移兩個單位得到，所以的單調(diào)增區(qū)間為.故選：A.10．（內(nèi)蒙古赤峰·高一月考（文））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題得，所以或.函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：C11．（福建福州四中高一期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由解得或，所以的定義域?yàn)?函數(shù)的開口向上，對稱軸為，函數(shù)在上遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知函數(shù)的減區(qū)間是.故選：C12．（四川省南充市白塔中學(xué)高三月考（理））函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由解得，二次函數(shù)的開口向下，對稱軸為，在上遞減.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知的單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：D13．（寧夏吳忠市·吳忠中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)在單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A．(－∞，－1] B．(－∞，2] C．[5，＋∞) D．[3，＋∞)【答案】D【詳解】由題意，函數(shù)滿足，解得或，設(shè)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.14．（貴州貴陽市·貴陽一中高三月考（理））函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】在