新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第14講 數(shù)列的概念與簡單表示法（講）（解析版）

第01講數(shù)列的概念與簡單表示法本講為高考命題熱點，分值12-17分，題型多變，選擇題，填空題，解答題都會出現(xiàn)，選擇填空題?？嫉炔畹缺葦?shù)列的性質(zhì)，大題題型多變，但對于文科來講常考察基本量的計算與數(shù)列求和，對于理科考點相對難度較大，比如新定義，奇偶列等，考察邏輯推理能力與運算求解能力.考點一數(shù)列的定義與分類1.數(shù)列的定義按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.2.數(shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列考點二數(shù)列的表示法數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法.考點三數(shù)列的通項公式與遞推公式1.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.2.數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列的第一項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an－1(n≥2)(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.考點四常用結(jié)論1.若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，則an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2.數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān).3.易混項與項數(shù)的概念，數(shù)列的項是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應(yīng)的位置序號.高頻考點一由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項角度1累加法——形如an＋1－an＝f(n)，求an【例1】在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）．A．659 B．661 C．663 D．665【答案】D【分析】由累加法和等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和可求出SKIPIF1<0，代入化簡即可求出SKIPIF1<0.【詳解】因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．故選：D.角度2累乘法——形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)，求an【例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的n的最大值為（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，運用累乘法計算出數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，再根據(jù)不等式求解n的最大值.【詳解】根據(jù)題意，SKIPIF1<0化簡得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0運用累乘法計算得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0符合該式，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0所以滿足條件的n的最大值為5.故選：B.角度3構(gòu)造法——形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0)，求an【例3】已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)SKIPIF1<0的值求出SKIPIF1<0可得答案.【詳解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0矛盾，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A.【方法技巧】1.由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且eq\f(an,an－1)＝f(n)，可用“累乘法”求an.2.已知a1且an＋1＝pan＋q(其中p，q均為常數(shù)，pq(p－1)≠0).把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an＋1－t＝p(an－t)，其中t＝eq\f(q,1－p)，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.【跟蹤訓(xùn)練】1．已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項公式為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】先由題設(shè)求出SKIPIF1<0，再通過構(gòu)造得SKIPIF1<0，由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：B.2．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用累加法可求得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0即可求得SKIPIF1<0.【詳解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，各式作和得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故選：C.3．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．504 B．1008 C．2016 D．4032【答案】D【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推式，變形為SKIPIF1<0，采用累乘法，求得答案.【詳解】由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：D.4．某校為推廣籃球運動，成立了籃球社團(tuán)，社團(tuán)中的甲、乙、丙三名成員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，從甲開始隨機(jī)地傳球給其他兩人中的任意一人，接球者再隨機(jī)地將球傳給其他兩人中的任意一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】要想第n次觸球者是甲，則第（n-1）次觸球的人不能是甲，且第（n-1）次觸球的人有SKIPIF1<0的概率將球傳給甲，有SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可求得SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項公式求得SKIPIF1<0，代入可求得SKIPIF1<0.【詳解】解：要想第n次觸球者是甲，則第（n-1）次觸球的人不能是甲，且第（n-1）次觸球的人有SKIPIF1<0的概率將球傳給甲，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選：C.5．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】分析可知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，可求得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，然后分析數(shù)列SKIPIF1<0的單調(diào)性，可得結(jié)果.【詳解】因為SKIPIF1<0，等式兩邊同時乘以SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，且首項和公差都為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0從第二項開始單調(diào)遞減，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：B.高頻考點二由an與Sn的關(guān)系求通項【例4】(1)已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)遞推公式，結(jié)合前n項和與通項的關(guān)系可得SKIPIF1<0，再求解SKIPIF1<0即可【詳解】由題意SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0為常數(shù)列，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0也成立，故SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故選：C(2)已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1023 B．1535 C．1538 D．2047【答案】B【分析】根據(jù)SKIPIF1<0的關(guān)系可得SKIPIF1<0，進(jìn)而可得SKIPIF1<0從第二項起，成等比數(shù)列，公比為2，根據(jù)等比數(shù)列公式即可求解.【詳解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，進(jìn)而可得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0從第二項起，成等比數(shù)列，公比為2，故SKIPIF1<0，故選：B【方法技巧】1.由Sn求an的步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時an的表達(dá)式.(3)注意檢驗n＝1時的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并.2.Sn與an關(guān)系問題的解題思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉(zhuǎn)化，(1)由an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式求解；(2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1(n≥2)的關(guān)系式.【變式訓(xùn)練】1．在等比數(shù)列SKIPIF1<0中，已知前n項和SKIPIF1<0，則a的值為（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【分析】利用SKIPIF1<0成等比數(shù)列列方程，化簡求得SKIPIF1<0的值.【詳解】SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：B2．若數(shù)列{SKIPIF1<0}的前n項和為SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根據(jù)已知條件，利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系求得數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式，利用等比數(shù)列前SKIPIF1<0項和公式求解即可.【詳解】解：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是首項為1，公比為-2的等比數(shù)列，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.高頻考點三數(shù)列的性質(zhì)【例5】(1)(2022·成都診斷)設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*).則數(shù)列{an}前2021項的乘積a1a2a3a4…a2021＝________.(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，則nSn的最小值為()A.－3 B.－5C.－6 D.－9【答案】(1)2(2)D【解析】(1)由a1＝2得a2＝－3，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,3)，a5＝2，…，顯然該數(shù)列中的數(shù)從a5開始循環(huán)，周期是4.因此a1a2a3a4＝1，且a2021＝a1＝2.故a1a2a3a4…a2020a2021＝(a1a2a3a4)505·a2021＝2.(2)由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)可知am＝2，am＋1＝3，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝1，因為Sm＝0，所以a1＝－am＝－2，則an＝n－3，Sn＝eq\f(n（n－5）,2)，nSn＝eq\f(n2（n－5）,2).設(shè)f(x)＝eq\f(x2（x－5）,2)，x>0，f′(x)＝eq\f(3,2)x2－5x，x>0，所以f(x)的極小值點為x＝eq\f(10,3)，因為n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，所以f(n)min＝－9.即nSn的最小值為－9.【方法技巧】1.在數(shù)學(xué)命題中，以數(shù)列為載體，?？疾橹芷谛浴握{(diào)性.2.(1)研究數(shù)列的周期性，常由條件求出數(shù)列的前幾項，確定周期性，進(jìn)而利用周期性求值.(2)數(shù)列的單調(diào)性只需判定an與an＋1的大小，常用作差或作商法進(jìn)行判斷.【變式訓(xùn)練】1．已知數(shù)列SKIPIF1<0是嚴(yán)格增數(shù)列，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.則n的最大值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】欲使得n盡可能大，則SKIPIF1<0的各項應(yīng)盡可能小，據(jù)此即可求出n的最大值.【詳解】∵SKIPIF1<0，并且SKIPIF1<0是嚴(yán)格增數(shù)列，SKIPIF1<0，∵