新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講與練第02講 等式性質(zhì)與不等式（講）（原卷版）

第2講等式性質(zhì)與不等式本講為高考重要知識(shí)點(diǎn)，題型主要和其他知識(shí)結(jié)合考察，屬于工具型知識(shí)點(diǎn)，梳理等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)類比，研究不等式的性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)研究一類重要的不等式-基本不等式。體會(huì)函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)一方程和不等式的數(shù)學(xué)思想?？键c(diǎn)一等式性質(zhì)與不等式的性質(zhì)1．實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)的關(guān)系(1)a>b?a－b>0；(2)a＝b?a－b＝0；(3)a<b?a－b<0.2.不等式的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a>b，c<0?ac<bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可開(kāi)方：a＞b＞0?SKIPIF1<0＞SKIPIF1<0(n∈N，n≥2).考點(diǎn)二基本不等式1.基本不等式：SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0(1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(3)其中SKIPIF1<0稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，SKIPIF1<0稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.兩個(gè)重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).(2)ab≤SKIPIF1<0(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).3.利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2SKIPIF1<0(簡(jiǎn)記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是SKIPIF1<0(簡(jiǎn)記：和定積最大).注意：1.SKIPIF1<0≥2(a，b同號(hào))，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào).2.ab≤SKIPIF1<0≤SKIPIF1<0.3.SKIPIF1<0(a>0，b>0).高頻考點(diǎn)一等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)例1、已知，則下列結(jié)論正確的是

A. B. C. D.【變式訓(xùn)練】1．若SKIPIF1<0，則下列不等式正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0高頻考點(diǎn)二“1”的代換型例2、已知x，y均為正實(shí)數(shù)，且SKIPIF1<0，則x+3y的最小值為_(kāi)_________【變式訓(xùn)練】1.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．20 B．24 C．25 D．282.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．13 B．19 C．21 D．273.已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，b滿足SKIPIF1<0＋b＝1，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)____【做題技巧】1.基本公式SKIPIF1<02.一正二定三相等。是均值成立的前提條件。高頻考點(diǎn)三“和”與“積”互消型例3、已知x、y都是正數(shù)，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)________．【變式訓(xùn)練】1.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)__________．【基本規(guī)律】1.有“和”、“積”無(wú)常數(shù)，可以同除，化回到“1”的代換型。如變式1；2.有“和”、“積”有常數(shù)求積型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如典例分析；3..有“和”、“積”有常數(shù)求和型，可以借助基本不等式構(gòu)造不等式求解，如變式2。高頻考點(diǎn)四以分母為主元構(gòu)造型例4、已知非負(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．3 B．4 C．10 D．16【變式訓(xùn)練】1.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．9 B．10 C．11 D．SKIPIF1<02.已知正數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【基本規(guī)律】構(gòu)造分母型：1.以分母為主元構(gòu)造，可以直接分母換元，變化后為“1”的代換，如典例分析2.構(gòu)造過(guò)程中，分子會(huì)有分母參數(shù)的變化，可以分離常數(shù)后再構(gòu)造分母，如變式23.變式3是三項(xiàng)構(gòu)造，且無(wú)條件等式。高頻考點(diǎn)五構(gòu)造分母：待定系數(shù)例5、已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式訓(xùn)練】1.知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0取到最小值為．【基本規(guī)律】特征：條件等式和所求式子之間變量系數(shù)“不一致”方法：直觀湊配或者分母換元高頻考點(diǎn)六分子含參型：分離分子型例6、若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)__________.【變式訓(xùn)練】1.已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)________3.若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=2，則SKIPIF1<0的最小值是_____．【方法總結(jié)】1.分離分子原理題，如典例分析2.分子二次型換元分離，如變式23.分子二次型湊配構(gòu)造分離，如變式3高頻考點(diǎn)七反解代入型:消元法例7、已知正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為_(kāi)_____．【變式訓(xùn)練】1.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.若正數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是______，此時(shí)SKIPIF1<0______.3.若正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)__________.【方法總結(jié)】條件等式和所求等式之間互化難以實(shí)現(xiàn)，可以借助反解代入消元，再重新構(gòu)造。高頻考點(diǎn)八反解代入型:消元法例8、非負(fù)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_(kāi)__________.【變式訓(xùn)練】1.已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是___．2.已知a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，則3a+4b的最小值等于【方法總結(jié)】特征：條件式子復(fù)雜，一般有一次和二次（因式分解展開(kāi)就是一次和二次），可能就符合因式分解原理高頻考點(diǎn)九均值用兩次例9、SKIPIF1<0是不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式訓(xùn)練】1.設(shè)正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0