經(jīng)濟(jì)學(xué)債務(wù)償還

1債務(wù)償還的三種方式滿期償還，是指借款者在貸款期滿時(shí)一次性償還貸款的本金和利息。分期償還，是指借款者在貸款期間，按照一定的時(shí)間間隔，分期償還貸款的本金和利息。償債基金，是指借款者每期向貸款者支付貸款利息，并且另存一筆款項(xiàng)，建立一個(gè)基金，在貸款期滿時(shí)這一基金恰好等于貸款本金，一次性償還給貸款者。2第一節(jié)分期償還計(jì)劃

貸款余額分析形式：年金計(jì)算貸款余額的方法：過(guò)去法&未來(lái)法過(guò)去法:基于已經(jīng)歷時(shí)間的貸款和還款的積累值而計(jì)算貸款余額未來(lái)法:根據(jù)未來(lái)要償還款項(xiàng)的折現(xiàn)值計(jì)算貸款余額假設(shè)在0時(shí)刻貸款額為L(zhǎng)，分n期償還，每期期末還款額為P，每期貸款利率為i?，F(xiàn)在考慮在時(shí)刻k（剛剛償還P后）的貸款余額。3過(guò)去法在時(shí)刻0，有，即各期還款的現(xiàn)值等于貸款額。在時(shí)刻k，，此時(shí)已還款積累值為，貸款余額為4未來(lái)法按照未來(lái)法，借款者將來(lái)還需要還款n-k次，每次還款額仍為P，在k時(shí)刻的貸款余額現(xiàn)值為。事實(shí)上，這兩種方法是等價(jià)的。5證明：6過(guò)去法和未來(lái)法的選擇在實(shí)務(wù)中，可以根據(jù)不同條件，選擇利用過(guò)去法或者未來(lái)法進(jìn)行計(jì)算，使得計(jì)算更為簡(jiǎn)單。若已知每次還款額和尚未還款次數(shù)，則未來(lái)法較為簡(jiǎn)單，若不知尚需還款次數(shù)或者不知最后一次不規(guī)則還款額，則過(guò)去法較為簡(jiǎn)單。7例4.1.1已知某住房貸款100000元，分10年還清，每月末還款一次，每年計(jì)息12次的年名義利率為6%，分別利用過(guò)去法和未來(lái)法計(jì)算在還款50次后的貸款余額。8例4.1.2若某借款人每年末還款1000元，共20次。在第5次還款時(shí)，他決定將手頭多余的2000元也作為償還款，然后將剩余貸款余額期調(diào)整為12年，若利率為9%，計(jì)算調(diào)整后每年的還款額。9例4.1.3某年輕借款人預(yù)計(jì)其10年后工資會(huì)大幅上漲，他決定在前10年每年末還款8000元，而后5年每年末還款20000元，年利率為8%，計(jì)算B5.5。10分期償還表假設(shè)分析償還款按照標(biāo)準(zhǔn)年金進(jìn)行，年利率為i，還款期限為n，每期期末還款額為1，則在時(shí)刻k有還款額1還款中的利息還款中的本金貸款余額11可見，表中的貸款余額是通過(guò)未來(lái)法計(jì)算而得的；第k次償還款中利息部分，本金部分，本金部分成等比級(jí)數(shù)遞增；若每期還款額為P，則表中各列同比例增長(zhǎng)為P倍；由于計(jì)算誤差，往往最后貸款余額不是0，因此一般對(duì)最后一次償還款進(jìn)行調(diào)整，使得調(diào)整后的償還額恰好等于前一年末的貸款本金余額和其所生利息之和。12例4.1.4某借款人每季度末償還貸款一次，每次1000元，共5年，每年計(jì)息4次的年名義利率為12%，計(jì)算第6次還礦中本金部分和利息部分。13例4.1.5甲從乙處借款1000元，每季度末還款一次，共6年，每年計(jì)息4次的年名義利率為8%。第2年末，乙將這一收回債務(wù)的權(quán)利轉(zhuǎn)賣給丙，丙的收益率為每年計(jì)息4次的年名義利率10%，計(jì)算乙、丙所得的利息收入。14例4.1.6某人投資一筆款項(xiàng)，以獲得n年的年末付年金，每次付1，預(yù)定年利率為i。第1年，這筆投資實(shí)際收益率為i，年末獲得額度為1的付款。而在第2年，利率增至j，j>i，若：（1）第3年開始直到第n年，年利率又降至i；（2）直至n年末，利率保持j，計(jì)算變化后這兩種情形下的年付款額。15償還頻率與計(jì)息頻率不同計(jì)息頻率高于償還頻率假設(shè)每個(gè)償還期計(jì)息k次，計(jì)息期共有n，償還次數(shù)n/k為整數(shù)，每個(gè)計(jì)息期利率為i，每次償還款為1，則貸款額為，在時(shí)刻tk有還款額1還款中的利息還款中的本金貸款余額16例4.1.7某人貸款1000元，每年計(jì)息4次的年名義利率為12%，貸款償還時(shí)間及數(shù)額為第1年末400元，第5年末800元，第10年末償還剩余部分，計(jì)算第10年末的償還額及其共包含的本金和利息。17計(jì)息頻率低于償還頻率假設(shè)每個(gè)計(jì)息期償還m次，計(jì)息期共有n，償還次數(shù)nm為整數(shù)，每個(gè)計(jì)息期利率為i，每次償還款為1/m，則貸款額為，在時(shí)刻k/m還款額1/m還款中的利息還款中的本金貸款余額18例4.1.8一種貸款要在每半年末償還1元，共5年，每年的利率為i，計(jì)算第8次還款中的貸款本金部分。19例4.1.9甲購(gòu)買住房，貸款2000000元，分3次領(lǐng)取。辦理貸款后，首次領(lǐng)取1000000元，半年后又領(lǐng)取500000元，1年末又領(lǐng)取500000元。貸款按每年計(jì)息2次的年名義利率15%，積累到第2年末，然后甲按照每月計(jì)息1次的年名義利率12%進(jìn)行分期償還，為期30年。前5年每月償還額是其后各年每月償還額的一半。首期償還額發(fā)生在第3年初，計(jì)算第12次償還額的數(shù)量。20變動(dòng)償還系列假設(shè)計(jì)息頻率與還款頻率一致，第k次還款額為，貸款利率為i，則有貸款額為，一般情況下，。若呈現(xiàn)某種規(guī)律，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，可以利用第二章變動(dòng)年金中的相關(guān)公式計(jì)算貸款本金，然后根據(jù)每次還款額計(jì)算各期還款中的本金部分、利息部分和各期末貸款余額，從而構(gòu)造出相應(yīng)的分期償還表。21例4.1.10某借款人年初貸款，利率為5%貸款期限為10年，首年末還款額為2000元，第2年末為1900元，依次類推，第10年末還款額為1100元，計(jì)算（1）貸款本金；（2）第5次還款中的本金部分和利息部分。22例4.1.11某銀行發(fā)放10年期貸款，利率為9.9%。某借款人計(jì)劃分期還款，首年末還款4000元，以后每年比上一年減少10%。計(jì)算貸款本金及第8次還款中的本金部分和利息部分。23例4.1.12某人從銀行貸款20000元，本金部分按20年期等額年金形式償還，每次還本金的同時(shí)，償還貸款的當(dāng)期利息，年利率為3%。10年后，銀行將這種收款權(quán)賣給另一家公司，賣出價(jià)格為P，使得買入公司在前5年可獲得5%的年收益，而后5年可獲得4%的年收益。計(jì)算P。24例4.1.13甲年初從乙銀行貸款10000元，分10年償還，年利率為10%，每年末的還款額是前一年的1.2倍。計(jì)算前4年各期償還款中的本金部分、利息部分和貸款余額。25連續(xù)償還的分期償還表假設(shè)每個(gè)計(jì)息期償還額相等，貸款額為，貸款期限為n年，按照每計(jì)息期償還額為1的連續(xù)償還形式償還貸款，則t時(shí)刻的貸款余額為（或者記作），在t時(shí)刻的償還款中，利息部分為，本金部分為

26例4.1.14證明：例4.1.15某貸款年利率為10%，期限為10年，采取分期方式連續(xù)償還。前5年每年償還1000元，后5年每年還款2000元，計(jì)算第5年償還的貸款的本金部分和利息部分。27第二節(jié)償債基金

償債基金表債務(wù)償還的另一種方式就是通過(guò)建立償債基金來(lái)進(jìn)行。借款人在每個(gè)還款期將貸款在該期內(nèi)產(chǎn)生的利息支付給貸款人，同事也在專門建立的一個(gè)基金中存入一筆款項(xiàng)，是的這些款項(xiàng)建立的基金在貸款期末積累至貸款本金的額度，正好用于償還貸款本金。這一基金就成為償債基金，每期支付的利息有時(shí)稱為使用費(fèi)或手續(xù)費(fèi)。28我們先考慮每次存入基金相同的款項(xiàng)D。假設(shè)貸款額為1，年利率為i，貸款期限為n年，按照償債基金法償還貸款，則每期支付利息i，另外存入基金D，假設(shè)償債基金的存款利率也為i，則有，即借款人每期末支付的款項(xiàng)為而根據(jù)分期償還法，每期的償還款為因此有?？梢姡瑑煞N方法在貸款利率與償債基金的利率相等時(shí)是等價(jià)的。29假設(shè)貸款額為，期限為n，貸款利率與償債基金的存款利率都是i的償債基金在時(shí)刻k有支出額1利息部分存入基金部分基金利息收入償債基金總額凈貸款余額30在實(shí)務(wù)中，更多的情形是貸款利率與存款利率不同，并且一般都是貸款利率高于償債基金的存款利率。接下來(lái)我們考慮兩者不同時(shí)的貸款償還。首先假設(shè)：L：貸款額n：貸款期限i：貸款利率j：償債基金存款利率D：每期存入償債基金的款項(xiàng)P：每期借款人的總支出額31根據(jù)償債基金的定義，有即因此32定義則有

并有33第k次利息支付及向基金存款后的貸款凈余額為

第k期內(nèi)的凈利息支出為第k期支出的貸款利息與償債基金所得利息之差，即

第k期內(nèi)的凈本金支付為第k期末償債基金與第k期初償債基金金額之差，即易見，，即各期凈本金支付成等比數(shù)列。

34此外有這與貸款利率為j的分期償還中第k期還款后的貸款余額相同，也就是說(shuō)，貸款利率為i，基金存款利率為j的償債基金中第k期還款后的凈貸款余額，與貸款利率為j的分期償還法第k期還款后的貸款余額相等。同樣的，償債基金法中第k期支付款中凈本金支付與以j為貸款利率的分期償還法中的第k期償還款中的本金部分相等。35例4.2.1甲需要10000元貸款，分4年償還，乙、丙都可以提供這筆貸款，乙要求甲每年末支付利息并建立償債基金，償債基金存款利率為8%，貸款利率為10%。丙要求甲按分期償還法償還貸款，求使這兩會(huì)總貸款等價(jià)的丙的貸款利率。36例4.2.2某貸款為1000元，10年期，年利率為5%，采取償債基金法償還，每年末借款人支付等額的利息，同時(shí)在長(zhǎng)活在即進(jìn)中存入償債基金，每年額度相同，償債基金年利率為4%，在第10年末償債基金積累值恰好等于1000元，計(jì)算第5年末借款人支付的利息額與償債基金所得利息額的差。37償債頻率與計(jì)息頻率不同償債基金法中也可能出現(xiàn)不同頻率的問(wèn)題，具體會(huì)涉及到四個(gè)頻率：（1）貸款利息支付頻率；（2）貸款計(jì)息頻率；（3）償債基金存款頻率；（4）償債基金計(jì)息頻率。（1）與（2）不同時(shí)，可將貸款利率轉(zhuǎn)換為與（1）相同頻率的利率，使得（1）與（2）頻率一致。同理，（3）與（4）不同時(shí)，可將存款利率轉(zhuǎn)換為與（3）相同頻率的利率，使得（3）與（4）頻率一致。當(dāng)（1）和（3）不一致時(shí)，若存在一個(gè)單位時(shí)間，使得貸款利息支付間隔時(shí)間與償債基金存款間隔時(shí)間都是該單位時(shí)間的整數(shù)倍，則將所有頻率都轉(zhuǎn)換成與該單位時(shí)間相應(yīng)的頻率來(lái)計(jì)，否則，只能將支付貸款利息和償債基金存款兩部分分開計(jì)算。38例4.2.3甲借款2000元，為期2年，貸款利率10%，借款人建立償債基金并每半年末在償債基金中存款一次，償債基金利率為每年計(jì)息4次的年名義利率8%。試緝拿里這一筆貸款的償債基金表。39例4.2.4甲借款2000元，為期2年，貸款利率為每年計(jì)息2次的年名義利率為10%，借款人建立償債基金并每半年末在償債基金中存款一次，償債基金利率為每年計(jì)息4次的年名義利率8%。試緝拿里這一筆貸款的償債基金表。40變動(dòng)償還系列

假設(shè)利率不變，借款人第k次還款總支出為，并且，其中利息部分為iL，存入償債基金部分為，因此有根據(jù)前面的內(nèi)容，又有41例4.2.5甲借款100000元，貸款期限為