第8章 線性離散時間控制系統(tǒng)

第8章線性離散時間控制系統(tǒng)8.1信號采樣與采樣定理8.2信號保持器8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型8.4離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析8.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

8.6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能

8.7離散系統(tǒng)的校正

8.1信號采樣與采樣定理8.1.1概述離散時間系統(tǒng)(簡稱離散系統(tǒng))是指系統(tǒng)中全部或一部分的環(huán)節(jié)或變量具有離散信號形式的系統(tǒng)。系統(tǒng)中的信號不全部為連續(xù)信號,在系統(tǒng)中必須有一處或多處信號是脈沖序列。如圖8-1所示,利用采樣開關(guān),可以將連續(xù)的輸入信號r(t)和反饋信號b(t)采樣成為離散信號(脈沖信號)r*(t)和b*(t)。星號表示將連續(xù)信號離散化。因此,偏差信號也是離散型的時間函數(shù),即圖8-1離散系統(tǒng)框圖

這里的采樣開關(guān)不一定是實際的開關(guān),也可以是控制程序。一般情況下,圖8-1中兩個采樣開關(guān)的動作是同步的,所以圖8-1所示的離散系統(tǒng)框圖可以等效為圖8-2。圖8-2離散系統(tǒng)等效框圖

一般情況下,采樣開關(guān)每經(jīng)過一定時間T就會重復(fù)閉合,每次閉合時間為τ,且τ<T,如圖8-3(a)所示。由于數(shù)值τ遠遠小于T,所以大多數(shù)情況下可以忽略不計。經(jīng)過周期為T的采樣之后,就由連續(xù)信號e(t)得到了如圖8-3(b)所示的離散信號e*(t)。圖8-3連續(xù)信號與離散信號

在離散系統(tǒng)中,采樣開關(guān)重復(fù)閉合的時間間隔T稱為采樣周期,且有

分別稱為采樣頻率及采樣角頻率。

圖8-4是一種典型離散控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。一方面,因為計算機控制器需要輸入的信號是離散信號,所以需要把連續(xù)誤差信號e(t)變換為離散信號e*(t),這就是采樣過程,因此在控制器之前使用采樣開關(guān);另一方面,為了控制連續(xù)式的被控對象,需要在控制器之后使用保持器將脈沖控制信號u*(t)變換為連續(xù)信號uh(t)(時間和幅值均為連續(xù)的信號稱為連續(xù)信號)。圖8-4典型離散控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

8.1.2采樣過程

實現(xiàn)離散控制首先需要將連續(xù)信號變換為脈沖序列信號。把連續(xù)信號變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器(或采樣開關(guān))。按一定的時間間隔對連續(xù)信號進行采樣,將其轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的脈沖序列的過程就是采樣過程。

采樣器用一個周期為T的開關(guān)來表示,每閉合一次就是采樣一次,每次閉合持續(xù)的時間為τ。τ遠小于采樣周期T,也遠小于系統(tǒng)連續(xù)部分的時間常數(shù)。因此,可近似認為τ趨近于0,即認為是瞬間采樣完畢。

8.1.3采樣定理

采樣的目的是將連續(xù)信號轉(zhuǎn)換為周期為T的脈沖信號,進而輸入給計算機控制器。也就是說,采樣后的離散信號必須能夠保留有原連續(xù)信號的完整或近似完整的信息。因此,

周期T的設(shè)定非常重要。

采樣定理(也叫Shannon定理)從理論上給出了必須以多快的采樣周期(或多高的采樣頻率)對連續(xù)信號進行采樣,才能保證采樣后離散信號可以不失真地保留原連續(xù)信號的信息。換句話說,采樣定理給出了對采樣周期的限定條件,即采樣周期要在多短時間之內(nèi),才能保證采樣后的離散信號保留有采樣之前的連續(xù)信號的盡量多的信息。圖8-5連續(xù)信號及采樣后離散信號的頻譜

由圖8-5(b)可知,離散信號相鄰兩頻譜互不重疊的條件為

即采樣開關(guān)的采樣角頻率必須要大于原連續(xù)信號最高角頻率的2倍。

8.2信號保持器

8.2.1零階保持器零階保持器是一種按常值外推的保持器。它把前一時刻nT的脈沖值e(nT)一直保持到下一時刻(n+1)T到來之前。因為在一個采樣區(qū)間內(nèi)的值不變,其導(dǎo)數(shù)為零,因此稱為零階保持器。零階保持器的輸入信號e(nT)和輸出信號eh(t)的關(guān)系如圖8-6所示。

圖8-6中,原連續(xù)信號為e(t),經(jīng)過采樣周期為T的采樣后,得到離散的信號e(0)、e(T)、e(2T)等值(圖8-6中帶有箭頭的有向線段)。離散信號經(jīng)過零階保持器處理后的連續(xù)信號為階梯狀的eh(t)?？梢?零階保持器的輸出eh(t)與原信號e(t)是存在較大誤差的。圖8-6零階保持器輸入信號與輸出信號的關(guān)系

下面推導(dǎo)零階保持器的表達式。利用泰勒級數(shù)展開公式,可以得到

如果略去含Δt、(Δt)2等項,可得

這就是零階保持器的公式。由式(8-11)可得零階保持器輸出信號的完整表達式為

事實上,如果在式(8-10)中還保留Δt項,就成為了一階保持器。

1.零階保持器的傳遞函數(shù)

對式(8-12)取拉普拉斯變換,得

則

所以,零階保持器的傳遞函數(shù)為

令s=jω,可以得到零階保持器的頻率特性為

根據(jù)上式,可畫出零階保持器的幅頻特性和相頻特性∠Gh(jω),如圖8-7所示。圖8-7零階保持器的頻率特性

2.零階保持器的特性

零階保持器具有如下特性:

(1)由圖8-7可知,零階保持器幅頻特性中,幅值隨頻率值的增大而迅速衰減,說明零階保持器基本上是一個低通濾波器。圖8-8為理想的低通濾波器頻率特性。零階保持器與理想低通濾波器相比,在ω=ωs/2時,其幅值只有初值的63.7%。而且雖然零階保持器是低通濾波器,但它除了允許主頻譜分量通過外,還允許部分高頻分量通過,這會在數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出中產(chǎn)生紋波。圖8-8-理想濾波器的頻率特性

(2)零階保持器的輸出信號是階梯信號。由圖8-9可見,如果把階梯信號的各中點連接成曲線,可以得到與連續(xù)信號形狀基本一致但在時間上落后T/2的響應(yīng)曲線。這反映了零階保持器的相位滯后特性。圖8-9零階保持器的相位滯后特性

(3)圖8-9表明,零階保持器的輸出為階梯信號eh(t),其平均響應(yīng)為e(t-T/2),表明輸出比輸入在時間上要滯后T/2,相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了一個時間為T/2的延遲環(huán)節(jié),對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利。

8.2.2一階保持器

與零階保持器按照常值外推不同,一階保持器是按線性外推的,其外推公式為

一階保持器復(fù)現(xiàn)原信號的準(zhǔn)確度與零階保持器相比有所提高。但由于在式(8-16)中仍然忽略了高階微分,一階保持器的輸出信號與原連續(xù)信號之間仍有不同。

由式(8-16)可知,一階保持器的響應(yīng)可以分解為階躍響應(yīng)和斜坡輸入響應(yīng)之和。將式(8-16)的微分形式變換成式(8-17)的差分形式,對應(yīng)的傳遞函數(shù)為式(8-18)。

一階保持器的頻率特性如圖8-10中實線所示。作為對比,圖中的虛線為零階保持器的頻率特性。圖8-10一階保持器與零階保持器的頻率特性對比

8.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

如果離散系統(tǒng)滿足疊加原理,則稱為線性離散系統(tǒng),并且有如下關(guān)系式:

8.3.1差分方程

對于一般的線性定常離散系統(tǒng),輸出c(k)與輸入r(k)的關(guān)系可以用下列差分方程描述:

上式也可表示為

線性定常離散系統(tǒng)也可以用如下n階前向差分方程描述:

上式可表示為

圖8-11所示離散系統(tǒng),描述它的一階微分方程為

即

將微分變換成差分,有

得到一階差分方程為圖8-11離散系統(tǒng)方框圖

8.3.2差分方程求解

差分方程求解常用迭代法和Z變換法。迭代法是已知差分方程式,并給出輸入和輸出序列初值,則可以利用遞推關(guān)系,一步步迭代推算出輸出序列。

Z變換法是對差分方程兩端取Z變換,將差分方程轉(zhuǎn)化為以z為變量的代數(shù)方程,然后再進行Z反變換,求出各采樣時刻的響應(yīng)。

8.3.3脈沖傳遞函數(shù)

1.脈沖傳遞函數(shù)的定義

在線性離散系統(tǒng)中,零初始條件下系統(tǒng)的輸出采樣信號Z變換與輸入采樣信號Z變換之比,稱為該系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù),也稱為Z傳遞函數(shù)。即

實際上,多數(shù)離散系統(tǒng)的最終輸出往往是連續(xù)信號,而不是離散信號。此時,可以在輸出端虛設(shè)一個理想采樣開關(guān),如圖8-12所示,并使它與輸入采樣開關(guān)以相同的采樣周期T同步工作。圖8-12離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

2.脈沖傳遞函數(shù)的求法

(1)若已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s),則脈沖傳遞函數(shù)G(z)為

(2)若已知系統(tǒng)的差分方程,就可以在零初始條件下,對差分方程兩端進行Z變換,并整理成

例8-3求如下離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

解對該差分方程在零初始條件下進行Z變換,有

則

3.開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

若離散函數(shù)的拉氏變換E*(s)與連續(xù)函數(shù)的拉氏變換G(s)相乘后再離散化,則E*(s)可以從離散符號中提出來,即

當(dāng)開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時,由于采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同,其脈沖傳遞函數(shù)也是不同的。

下面討論離散系統(tǒng)在開環(huán)狀態(tài)下的脈沖傳遞函數(shù)。當(dāng)有兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)時,存在圖8-13(a)和(b)所示的兩種不同結(jié)構(gòu)。

(1)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時,脈沖傳遞函數(shù)為

在這種情況下,必須將兩個環(huán)節(jié)G1(s)與G2(s)串聯(lián)之后作為一個整體,再求Z變換。

(2)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時,脈沖傳遞函數(shù)為

上式表明,由理想采樣開關(guān)隔開的兩個環(huán)節(jié)串聯(lián)時的脈沖傳遞函數(shù),等于這兩個環(huán)節(jié)各自的脈沖傳遞函數(shù)之積。圖8-13環(huán)節(jié)串聯(lián)的結(jié)構(gòu)

(3)帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

因為零階保持器是常用的保持器,在此我們給出帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。設(shè)有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)如圖8-14(a)所示,可以變換為如圖8-14(b)所示的等效開環(huán)系統(tǒng)。圖8-14帶有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

由圖8-14(b)可得

則

于是,當(dāng)有零階保持器時,開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

例8-4設(shè)離散系統(tǒng)為具有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng),

求系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)G(z)。

4.閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

在離散系統(tǒng)中,由于設(shè)置采樣開關(guān)的位置不同,閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)也是不一樣的。圖8-15是比較常見的系統(tǒng)框圖。圖中,在系統(tǒng)的輸入端和輸出端都虛設(shè)了采樣開關(guān)。圖8-15閉環(huán)系統(tǒng)方框圖

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

閉環(huán)誤差脈沖傳遞函數(shù)為

式中,GH(z)為開環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。因為兩個串聯(lián)的線性環(huán)節(jié)G(s)和H(s)之間有一邊沒有采樣開關(guān),因此它們必須相乘后再求Z變換,記作GH(z)。

類似于連續(xù)系統(tǒng),令Φ(z)或Φe(z)的分母多項式為零,可以得到離散系統(tǒng)的特征方程為

采樣開關(guān)在閉環(huán)系統(tǒng)中的位置不同時,離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其輸出信號Z變換C(z)可參見表8-1

需要注意的是,閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)和誤差脈沖傳遞函數(shù)不能直接從Φ(s)或Φe(s)求Z變換而得,即

這是因為連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)總是存在的。但是,離散化之后的離散系統(tǒng)卻有可能不存在脈沖傳遞函數(shù)。如表8-1中序號1的結(jié)構(gòu)圖所示,因為響應(yīng)

所以閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可以表示為

但是,表8-1中序號5的結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的響應(yīng)為

8.3.4一種求取閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的簡易方法

閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)是分析和設(shè)計離散控制系統(tǒng)的有力工具。然而,求取離散控制系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)要比求取連續(xù)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)難,這是因為采樣開關(guān)在離散控制

系統(tǒng)中的位置是多種多樣的。因此,離散控制系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求取不能像連續(xù)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)那樣有統(tǒng)一的求取方法。

一般情況下,求取閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)時,是根據(jù)系統(tǒng)中信號的傳遞關(guān)系逐步進行推導(dǎo),這種方法存在非常明顯的缺點,比較繁瑣、費時。并且對于同一結(jié)構(gòu)的系統(tǒng),若是采樣開關(guān)

的位置發(fā)生了變化,則必須從頭推導(dǎo)其閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。

(3)求取輸出的Z變換C(z)。即將C*(s)表達式中的*號去掉,把s換成z即可。

(4)若R(s)與前向通道的第一個環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)隔離,則R(z)能夠分離出來,這時可以寫出系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)。否則就不存在閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù),只能求出C(z)。

例8-6求圖8-16所示離散控制系統(tǒng)輸出的Z變換C(z)。圖8-16離散控制系統(tǒng)方框圖

8.4離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

8.4.1離散系統(tǒng)的穩(wěn)定條件根據(jù)線性連續(xù)系統(tǒng)特征方程的根在s平面的分布位置,可以判別線性連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時,系統(tǒng)的所有特征根都要在s平面的左半平面。線性離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是脈沖傳遞函數(shù),因此需要在z平面對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。為了從連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析過渡過來,首先需要弄清s平面與z平面之間的相互關(guān)系。

1.s平面到z平面的映射

在Z變換定義中,復(fù)變量s和z的相互關(guān)系為

其中T為采樣周期。

s域中的任意點可表示為s=σ+jω,映射到z域則為z=e

(σ+jω)T=eσTejωT。于是,s平面到z平面的映射關(guān)系為

由此可得如下結(jié)論:

(1)s平面虛軸(σ=0)對應(yīng)z平面上以原點為中心的單位圓周,即z=1。

(2)s左半平面(σ<0)對應(yīng)z平面上以原點為中心的單位圓內(nèi)部,即|z|<1。

(3)s右半平面(σ>0)對應(yīng)z平面上以原點為中心的單位圓外部,即|z|>1。

圖8-17給出了s平面與z平面之間的相互關(guān)系。即s平面的穩(wěn)定區(qū)域為左半平面,對應(yīng)z平面的單位圓內(nèi)部。圖8-17s平面與z平面的映射關(guān)系

2.線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件

在線性連續(xù)系統(tǒng)中,系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是以下幾點之一:①系統(tǒng)齊次微分方程的解是收斂的;②系統(tǒng)特征方程式的根均具有負實部;③系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點均位于s左半平面。

現(xiàn)在我們分析線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件。線性離散系統(tǒng)的特征方程為

8.4.2離散系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)

線性連續(xù)系統(tǒng)中的勞斯判據(jù)是通過系統(tǒng)特征方程的系數(shù)及其符號來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的,其實質(zhì)是判別系統(tǒng)特征根是否都在s左半平面。而離散系統(tǒng)中需要判斷的是系統(tǒng)特征根是否都存在于z平面的單位圓內(nèi)。

式(8-34)說明,z平面單位圓內(nèi)的部分對應(yīng)左半w平面,w平面的虛軸對應(yīng)z平面的單位圓上。如圖8-18所示,經(jīng)過這種變換后,就可以使用勞斯判據(jù)了。這種變換因為復(fù)變量z與w互為線性變換,所以叫作雙線性變換。圖8-18-雙線性變換(s平面,z平面,w平面的對應(yīng)關(guān)系)

例8-7設(shè)閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖8-19所示,其中采樣周期T=0.1s,試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的變化范圍。圖8-19閉環(huán)系統(tǒng)方框圖

8.4.3離散系統(tǒng)的朱利穩(wěn)定判據(jù)

朱利穩(wěn)定判據(jù)(July判據(jù))是直接在z平面內(nèi)應(yīng)用的穩(wěn)定判據(jù),類似于連續(xù)系統(tǒng)中的爾維茨判據(jù)。朱利判據(jù)是直接根據(jù)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程D(z)=1+GH(z)=0的系數(shù),判別其根是否位于z平面上的單位圓內(nèi),從而判斷該離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

特征方程的系數(shù)按照下述方法構(gòu)造2n-3行、n+1列朱利陣列,如表8-2所示。

從第3行起,陣列中各元素的定義如下:

朱利穩(wěn)定判據(jù):特征方程D(z)=0的根,全部位于z平面單位圓內(nèi)的充分必要條件是

及下列n-1個約束條件同時成立:

只有當(dāng)上述諸條件均滿足時,離散系統(tǒng)才是穩(wěn)定的,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。

列出如下朱利陣列:

因為n=4為偶數(shù),且

故由朱利穩(wěn)定判據(jù)知,該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

8.4.4采樣周期與開環(huán)增益對穩(wěn)定性的影響

我們知道,連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益K、系統(tǒng)的零極點分布和傳輸延遲等因素。但是,影響離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素,除了上述因素外,還與采樣周期T的取值有關(guān)。

顯而易見,開環(huán)增益K與采樣周期T對離散系統(tǒng)穩(wěn)定性有如下影響:

(1)當(dāng)采樣周期T一定時,開環(huán)增益K增大會使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差,甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。

(2)當(dāng)開環(huán)增益K一定時,采樣周期T越長,丟失的信息越多,對離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利,甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)失去穩(wěn)定。

8.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

線性連續(xù)系統(tǒng)計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法有兩種:一種是利用拉普拉斯變換終值定理計算穩(wěn)態(tài)誤差;另一種是從系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)出發(fā),求出系統(tǒng)動態(tài)誤差的穩(wěn)態(tài)分量。這兩種方法都可以推廣到離散系統(tǒng)中來。這里僅利用Z變換的終值定理求取離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

設(shè)單位負反饋離散系統(tǒng)如圖8-20所示,系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為G(z)。離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可以從輸出信號在各采樣時刻上的數(shù)值c(nT)(n=0,1,2,…,∞)和動態(tài)過程曲線c*(t)求取,也可以應(yīng)用Z變換的終值定理來計算。圖8-20單位負反饋系統(tǒng)框圖

為了更詳細地分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差,與線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析類似,我們引入系統(tǒng)型別這個概念。由于z=esT,原線性連續(xù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)在s=0處極點的個數(shù)v作為劃分系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn),可推廣為將離散系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)G(z)在z=1處極點的數(shù)目v作為離散系統(tǒng)的型別,稱v=0,1,2的系統(tǒng)分別為0型、Ⅰ型、Ⅱ型離散系統(tǒng),如式(8-37)所示。

下面考查幾種典型輸入作用下不同型別離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

1.單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

(2)若G(z)有一個或一個以上z=1的極點,這樣的系統(tǒng)相應(yīng)地稱為Ⅰ型或Ⅱ型及以上的離散系統(tǒng)。因為Kp=∞,所以e(∞)=0。

因此,在單位階躍函數(shù)作用下,0型離散系統(tǒng)在采樣瞬時存在位置誤差。Ⅰ型或Ⅱ型及以上的離散系統(tǒng),在采樣瞬時沒有位置誤差,這與連續(xù)系統(tǒng)十分相似?？梢?若需要系統(tǒng)對單位階躍信號輸入在采樣時刻無穩(wěn)態(tài)誤差,至少需要Ⅰ型系統(tǒng)。

這里我們強調(diào)的離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差是指在采樣時刻的瞬時穩(wěn)態(tài)誤差。而在采樣時刻之間,系統(tǒng)的輸出是否存在穩(wěn)態(tài)誤差,利用該方法還不可求得。

2.單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

3.單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

8.6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能

離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點在z平面上單位圓內(nèi)的分布,對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為為分析簡便,設(shè)式(8-41)無重極點,p1,p2,…,pn為n個互不相等的閉環(huán)極點。若閉環(huán)極點均位于z平面的單位圓內(nèi),則離散系統(tǒng)穩(wěn)定。

對于單位階躍輸入,已知C(z)=Φ(z)R(z),其中

通過Z反變換導(dǎo)出輸出信號的脈沖序列c*(t),得

式中,第一項為系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量,若其值為1,則單位反饋離散系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為零;第二項為系統(tǒng)輸出的動態(tài)分量。

容易看出,隨著極點pi在z平面上位置的變化,它所對應(yīng)的動態(tài)分量也就不同。下面分幾種情況來討論。

1.實軸上的閉環(huán)單極點

設(shè)pi為正實數(shù),pi對應(yīng)的動態(tài)分量為

(1)若閉環(huán)實數(shù)極點位于右半z平面,則輸出動態(tài)響應(yīng)形式為單向正脈沖序列。實數(shù)極點位于單位圓內(nèi),脈沖序列收斂,且實數(shù)極點越接近原點,收斂越快;實數(shù)極點位于單位圓上,脈沖序列等幅變化;實數(shù)極點位于單位圓外,脈沖序列發(fā)散。

(2)若閉環(huán)實數(shù)極點位于左半z平面,則輸出動態(tài)響應(yīng)形式為雙向交替脈沖序列。實數(shù)極點位于單位圓內(nèi),雙向脈沖序列收斂;實數(shù)極點位于單位圓上,雙向脈沖序列等幅變化;實數(shù)極點位于單位圓外,雙向脈沖序列發(fā)散。

2.閉環(huán)共軛復(fù)數(shù)極點

設(shè)pk,pk+1=|pk|e±jθk為一對共軛復(fù)數(shù)極點,pk和pk+1對應(yīng)的動態(tài)分量為

(1)若|pk|>1,閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位圓外,動態(tài)響應(yīng)為振蕩脈沖序列。

(2)若|pk|=1,閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位圓上,動態(tài)響應(yīng)為等幅振蕩脈沖序列。

(3)若|pk|<1,閉環(huán)復(fù)數(shù)極點位于z平面上的單位圓內(nèi),動態(tài)響應(yīng)為振蕩收斂脈沖序列,且|pk|越小,即復(fù)極點越靠近原點,振蕩收斂得越快。

例8-9已知單位負反饋離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

求其單位階躍響應(yīng)的離散值,并分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。采樣周期T=0.2s。

8.7離散系統(tǒng)的校正

8.7.1數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)圖8-21為線性離散系統(tǒng),數(shù)字控制器D(s)串聯(lián)引入后,輸出新的脈沖序列u*(t)。因為D(s)前后都有采樣開關(guān),所以輸入脈沖序列e*(t)與輸出脈沖序列u*(t)的脈沖傳遞函數(shù)D(z)是可以分離出來的。在確定數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)時,假設(shè)其前后兩個采樣開關(guān)的動作是同步的,即認為計算過程很快,輸出對輸入沒有明顯的滯后。

在圖8-21所示的線性離散系統(tǒng)中,設(shè)反饋通道的傳遞函數(shù)H(s)=1,則單位負反饋線性離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為

可以得到

誤差脈沖傳遞函數(shù)為

可以得到圖8-21加入數(shù)字控制器的離散系統(tǒng)

因此,數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)可以表示為式(8-45)和式(8-47)。也就是說,可以根據(jù)線性離散系統(tǒng)連續(xù)部分的脈沖傳遞函數(shù)G(z)及系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)或Φe(z)確定。而數(shù)字控制器的一般形式為

式中,ai(i=1,2,…,n)及bi(i=1,2,…,m)為常系數(shù),且n≥m。

8.7.2最少拍系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)

在離散控制過程中,通常把一個采樣周期稱為一拍。所謂最少拍系統(tǒng),是指在典型輸入作用下,能以有限的最少周期結(jié)束響