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第二十二章二次函數(shù)22.2

二次函數(shù)與一元二次方程目錄頁(yè)講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié)新課導(dǎo)入新課導(dǎo)入教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)探索,理解二次函數(shù)與一元二次方程(不等式)之間的聯(lián)系.(難點(diǎn))2.能運(yùn)用二次函數(shù)及其圖象、性質(zhì)確定方程的解或不等式的解集.(重點(diǎn))3.了解用圖象法求一元二次方程的近似根.新課導(dǎo)入問(wèn)題

如圖,以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí),球的飛行路線將是一條拋物線,如果不考慮空氣的阻力,球的飛行高度h(單位:m)與飛行時(shí)間t(單位:s)之間具有關(guān)系:

h=20t-5t2,考慮以下問(wèn)題:新課導(dǎo)入(1)球的飛行高度能否達(dá)到15m?如果能,需要多少飛行時(shí)間?(2)球的飛行高度能否達(dá)到20m?如果能,需要多少飛行時(shí)間?(3)球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?如果能,需要多少飛行時(shí)間?(4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間?講授新課典例精講歸納總結(jié)講授新課(1)球的飛行高度能否達(dá)到15m?如果能,需要多少飛行時(shí)間?Oht1513∴當(dāng)球飛行1s或3s時(shí),它的高度為15m.解:解方程15=20t-5t2,

t2-4t+3=0,

t1=1,t2=3.你能結(jié)合上圖,指出為什么在兩個(gè)時(shí)間求的高度為15m嗎?h=20t-5t2二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系1講授新課(2)球的飛行高度能否達(dá)到20m?如果能,需要多少飛行時(shí)間?你能結(jié)合圖形指出為什么只在一個(gè)時(shí)間球的高度為20m?Oht204解方程:20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.當(dāng)球飛行2秒時(shí),它的高度為20米.h=20t-5t2講授新課(3)球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?如果能,需要多少飛行時(shí)間?Oht你能結(jié)合圖形指出為什么球不能達(dá)到20.5m的高度?20.5解方程:20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因?yàn)?-4)2-4×4.1<0,所以方程無(wú)解.即球的飛行高度達(dá)不到20.5米.h=20t-5t2講授新課(4)球從飛出到落地要用多少時(shí)間?Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0,t2=4.當(dāng)球飛行0秒和4秒時(shí),它的高度為0米.即0秒時(shí)球地面飛出,4秒時(shí)球落回地面.h=20t-5t2從以上問(wèn)題的解法中,可以發(fā)現(xiàn):(1)求y=ax2+bx+c的值為k時(shí)的自變量x的值的問(wèn)題,可以通過(guò)解一元二次方程

解決;(2)求y=ax2+bx+c的值為0時(shí)的自變量x的值的問(wèn)題,可以通過(guò)解一元二次方程

解決.ax2+bx+c=kax2+bx+c=0講授新課講授新課

從上面發(fā)現(xiàn),二次函數(shù)y=ax2+bx+c何時(shí)為一元二次方程?

一般地,當(dāng)y取定值且a≠0時(shí),二次函數(shù)為一元二次方程.如:y=5時(shí),則5=ax2+bx+c就是一個(gè)一元二次方程.為一個(gè)常數(shù)(定值)所以二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切.例如,已知二次函數(shù)y=-x2+4x的值為3,求自變量x的值,可以解一元二次方程-x2+4x=3(即x2-4x+3=0).反過(guò)來(lái),解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2-4x+3的值為0,求自變量x的值.觀察思考下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎?如果有,公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少?當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí),函數(shù)的值是多少?由此你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎?(1)y=x2+x-2;(2)y=x2-6x+9;(3)y=x2-x+1.利用二次函數(shù)深入討論一元二次方程2思考二次函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少?無(wú)公共點(diǎn)先畫出函數(shù)圖象:公共點(diǎn)的函數(shù)值為

。0對(duì)應(yīng)一元二次方程的根是多少?x1

=-2,x2

=1.x1

=x2

=3.方程無(wú)解有兩個(gè)不等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根由上述問(wèn)題,你可以得到什么結(jié)論呢?方程ax2+bx+c=0的解就是拋物線y=ax2+bx+c與x軸公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)。當(dāng)拋物線與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)的方程無(wú)實(shí)數(shù)根.

反過(guò)來(lái),由一元二次方程的根的情況,也可以確定相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系。二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac>0有兩個(gè)重合的交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=0沒(méi)有交點(diǎn)沒(méi)有實(shí)數(shù)根b2-4ac<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)

如圖,丁丁在扔鉛球時(shí),鉛球沿拋物線

運(yùn)行,其中x是鉛球離初始位置的水平距離,y是鉛球離地面的高度.(1)當(dāng)鉛球離地面的高度為2.1m時(shí),它離初始位置的水平距離是多少?(2)鉛球離地面的高度能否達(dá)到2.5m,它離初始位置的水平距離是多少?(3)鉛球離地面的高度能否達(dá)到3m?為什么?例1解

(1)由拋物線的表達(dá)式得即解得即當(dāng)鉛球離地面的高度為2.1m時(shí),它離初始位置的水平距離是1m或5m.如圖,丁丁在扔鉛球時(shí),鉛球沿拋物線運(yùn)行,其中x是鉛球離初始位置的水平距離,y是鉛球離地面的高度.(1)當(dāng)鉛球離地面的高度為2.1m時(shí),它離初始位置的水平距離是多少?例1如圖,丁丁在扔鉛球時(shí),鉛球沿拋物線運(yùn)行,其中x是鉛球離初始位置的水平距離,y是鉛球離地面的高度.(2)鉛球離地面的高度能否達(dá)到2.5m,它離初始位置的水平距離是多少?(2)由拋物線的表達(dá)式得

即解得即當(dāng)鉛球離地面的高度為2.5m時(shí),它離初始位置的水平距離是3m.例1(3)由拋物線的表達(dá)式得即因?yàn)樗苑匠虩o(wú)實(shí)根.所以鉛球離地面的高度不能達(dá)到3m.如圖,丁丁在扔鉛球時(shí),鉛球沿拋物線運(yùn)行,其中x是鉛球離初始位置的水平距離,y是鉛球離地面的高度.(3)鉛球離地面的高度能否達(dá)到3m?為什么?例1

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).(1)求證:此拋物線與x軸總有交點(diǎn);(2)若此拋物線與x軸總有交點(diǎn),且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù),求正整數(shù)m的值.(1)證明:∵m≠0,∴Δ=(m+2)2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.∵(m-2)2≥0,∴Δ≥0,∴此拋物線與x軸總有交點(diǎn);例2(2)解:令y=0,則(x-1)(mx-2)=0,所以x-1=0或mx-2=0,解得x1=1,x2=.當(dāng)m為正整數(shù)1或2時(shí),x2為整數(shù),即拋物線與x軸總有

交點(diǎn),且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù).所以正整數(shù)m的值為1或2.

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2-(m+2)x+2(m≠0).(1)求證:此拋物線與x軸總有交點(diǎn);(2)若此拋物線與x軸總有交點(diǎn),且它們的橫坐標(biāo)都是整數(shù),求正整數(shù)m的值.例2求一元二次方程的根的近似值(精確到0.1).分析:一元二次方程x2-2x-1=0

的根就是拋物線y=x2-2x-1

與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),因此我們可以先畫出這條拋物線,然后從圖上找出它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),這種解一元二次方程的方法叫作圖象法.例3利用二次函數(shù)求一元二次方程的近似解3解:畫出函數(shù)y=x2-2x-1

的圖象(如下圖),由圖象可知,方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,一個(gè)在-1與0之間,另一個(gè)在2與3之間.

先求位于-1到0之間的根,由圖象可估計(jì)這個(gè)根是-0.4或-0.5,利用計(jì)算器進(jìn)行探索,見(jiàn)下表:x…-0.4-0.5…y…-0.040.25…觀察上表可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)x分別取-0.4和-0.5時(shí),對(duì)應(yīng)的y由負(fù)變正,可見(jiàn)在-0.5與-0.4之間肯定有一個(gè)x使y=0,即有y=x2-2x-1的一個(gè)根,題目只要求精確到0.1,這時(shí)取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但當(dāng)x=-0.4時(shí)更為接近0.故x1≈-0.4.同理可得另一近似值為x2≈2.4.一元二次方程的圖象解法利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.(1)用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=2x2+x-15的圖象;(2)觀察估計(jì)二次函數(shù)

y=2x2+x-15的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo);由圖象可知,圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),其橫坐標(biāo)一個(gè)是-3,另一個(gè)在2與3之間,分別約為-3和2.5(可將單位長(zhǎng)再十等分,借助計(jì)算器確定其近似值);(3)確定方程2x2+x-15=0的解;由此可知,方程2x2+x-15=0的近似根為:x1≈-3,x2≈2.5.方法歸納

已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則一元二次方程ax2+bx+c=0的近似根為(

)A.x1≈-2.1,x2≈0.1

B.x1≈-2.5,x2≈0.5C.x1≈-2.9,x2≈0.9D.x1≈-3,x2≈1解析:由圖象可得二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對(duì)稱軸為x=-1,而對(duì)稱軸右側(cè)圖象與x軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離約為0.5,∴x2≈0.5;又∵對(duì)稱軸為x=-1,則

=-1,∴x1=2×(-1)-0.5=-2.5.故x1≈-2.5,x2≈0.5.故選B.B例4

解答本題首先需要根據(jù)圖象估計(jì)出一個(gè)根,再根據(jù)對(duì)稱性計(jì)算出另一個(gè)根,估計(jì)值的精確程度,直接關(guān)系到計(jì)算的準(zhǔn)確性,故估計(jì)盡量要準(zhǔn)確.方法總結(jié)問(wèn)題1函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,那么方程ax2+bx+c=0的根是_____________;不等式ax2+bx+c>0的解集是___________;不等式ax2+bx+c<0的解集是_________.

3-1Oxyx1=-1,x2=3x<-1或x>3-1<x<3合作探究二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系(拓展)4拓廣探索:函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,那么方程ax2+bx+c=2的根是______________;不等式ax2+bx+c>2的解集是___________;不等式ax2+bx+c<2的解集是_________.

3-1Ox2(4,2)(-2,2)x1=-2,x2=4x<-2或x>4-2<x<4y問(wèn)題2:如果不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是x≠2的一切實(shí)數(shù),那么函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有____個(gè)交點(diǎn),坐標(biāo)是______.方程ax2+bx+c=0的根是______.1(2,0)x=2問(wèn)題3:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根,那么函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有______個(gè)交點(diǎn);不等式ax2+bx+c<0的解集是多少?0解:(1)當(dāng)a>0時(shí),ax2+bx+c<0無(wú)解;(2)當(dāng)a<0時(shí),ax2+bx+c<0的解集是一切實(shí)數(shù).3-1Ox二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)a>0a<0

有兩個(gè)交點(diǎn)x1,x2(x1<x2)有一個(gè)交點(diǎn)x0沒(méi)有交點(diǎn)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次不等式的關(guān)系y<0,x1<x<x2.y>0,x2<x或x<x1.y>0,x1<x<x2.y<0,x2<x或x<x1.y>0.x0之外的所有實(shí)數(shù);y<0,無(wú)解y<0.x0之外的所有實(shí)數(shù);y>0,無(wú)解.y>0,所有實(shí)數(shù);y<0,無(wú)解y<0,所有實(shí)數(shù);y>0,無(wú)解知識(shí)要點(diǎn)當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂反饋即學(xué)即用當(dāng)堂練習(xí)1、已知二次函數(shù)y=x2-3x+m(m為常數(shù))的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(1,0),則關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0的兩實(shí)數(shù)根是(

)A.x1=1,x2=-1B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=0D.x1=1,x2=32、拋物線y=ax2+bx+c與x軸的公共點(diǎn)是(-1,0),(3,0),則這條拋物線的對(duì)稱軸是(

)A.直線x=-1B.直線x=0C.直線x=1D.直線x=3BC當(dāng)堂練習(xí)3、若一元二次方程無(wú)實(shí)根,則拋物線

圖象位于()A.x軸上方B.第一、二、三象限C.x軸下方D.第二、三、四象限A4、二次函數(shù)y=kx2-6x+3的圖象與x軸有交點(diǎn),則k的取值范圍是(

)A.k<3B.k<3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠0D當(dāng)堂練習(xí)

判斷方程

ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c為常數(shù))一個(gè)解x的范圍是()

A.3<x<3.23B.3.23<x<3.24C.3.24<x<3.25D.3.25<x<3.26

x3.233.243.253.26y=ax2+bx+c-0.06-0.020.030.09C5、根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值:當(dāng)堂練習(xí)6、在圖中畫出函數(shù)y=x2-2x-3的圖象,利用圖象回答:(1)方程x2-2x-3=0的解是多少;(2)x取什么值時(shí),函數(shù)值大于0;

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