2021高中數(shù)學第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù) 教案北師大版必修第一冊

第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)

笫1節(jié)指數(shù)塞的擴充

3.1.1指數(shù)轅的擴充

教材分析

初中學習了整數(shù)指數(shù)品的運算，本節(jié)將整數(shù)指數(shù)擴充到有理數(shù)指數(shù)和實數(shù)指數(shù)，著重是

有理數(shù)指數(shù)(分數(shù)指數(shù))的運算，完成了指數(shù)幕運算的擴充，一方面使指數(shù)運算知識更加完

整，揭示了開方(根式)運算與乘方(指數(shù)式)運算的內在聯(lián)系，另一方面為學習指數(shù)的運

算性質和指數(shù)函數(shù)的性質奠定了基礎。

教學目標與核心素養(yǎng)

(D知識目標：

掌握有理數(shù)指數(shù)事的含義和運算；掌握根式運算與指數(shù)運算的內在聯(lián)系；正確進行有理

數(shù)指數(shù)幕的運算；理解實數(shù)指數(shù)凝的含義。

⑵核心素養(yǎng)目標：

通過實數(shù)指數(shù)鼎的擴充和相關運算，使學生了解指數(shù)運算的發(fā)展過程，提高學生數(shù)學運

算的核心素養(yǎng)。

教學重難點

(1)正分數(shù)指數(shù)累的含義和運算；

(2)有理數(shù)指數(shù)累的運算；

(3)根式與分數(shù)指數(shù)幕的相互轉化。

課前準備

多媒體課件

教學過程

一、知識引入

在初中，學習了整數(shù)指數(shù)塞的運算及性質

a=a-a-a.....a

n個a

am-an=a^,(am)n=(a-b)n=an-bn

思考討論:

C

（1）薇甘菊是熱帶、亞熱帶地區(qū)危害最嚴重的雜草之一，它侵害田地的面積（單位hm）

與年數(shù)（年）的關系式為

S=S（）?1.057’

其中s。為侵害面積的初始值

c=c.1ncylO

如果求10年后侵害的面積，則一°.；如果求：5.5年后侵害的面積,

cc.1ncylS.S

就需要計算=°,這個指數(shù)運算與初中所學的指數(shù)運算有什么差

異呢？

提示：指數(shù)是分數(shù).

32=

（2）對于分數(shù)指數(shù)幕，該如何運算呢？如

x2

（332=3l=3（百）2=3,可見37=百

提示:?

二、新知識

1、給定正數(shù)Q和正整數(shù)科"（〃>1,且叫"互素），若存在唯一的正數(shù)?使得那=°m,則稱'為

m

。的八次哥.

m

b=an

記作這就是正分數(shù)指數(shù)累.

13

I.則b=2M￡6=513￡=57

/列如:,則

?注意:

mmkm

“是正整數(shù)時，分數(shù)指數(shù)幕anan=Q石I

①當滿足:

32=V3時,an=府讀

②與類似，當?shù)讛?shù)0>°,其中

作“"次根號下也叫根式運算.

85=V8=2V227i=^272=9

例如:

m

ana>0

③根據(jù)分數(shù)指數(shù)晶的定義，分數(shù)指數(shù)轅的條件是：底數(shù)

近為=-3,但不能寫成(-27)1=-3

雖然

例1.把下列各式中的正數(shù)”寫成正分數(shù)指數(shù)幕的形式:

⑴按=20b4=2s

(2)

bn=3m(rn,n6N)b3T1=TT9m(科？1cN+)

(3)+；(4)

5

A,、b=20sb=24

解：⑴(2)

m9m3m

b=3?b=6=n~

(3)(4)

2、類似負整數(shù)指數(shù)轅的定義，給定正整數(shù)犯,">1'且犯'互素），定義

至此，指數(shù)運算的指數(shù)已經擴充到有理數(shù)了.

那么，指數(shù)是無理數(shù)的情況呢？以1°&為例說明如下

卬出夜=1.414213…由z

因為，所以

1.4<1.41<1.414<???<V2<?-?<1.415<1.42<1.5

上式.左邊的數(shù)稱為近的不足近似值，右邊的數(shù)稱為

的過剩近似值

io1-4<101-41<101414<???<10^<...<101-415<10142<10LS

借助計算器，可算出10°越來越趨近于同一個數(shù)，即

1072=25.954-

一般的，給定正數(shù)°,對任意無理數(shù)°,心都是一個確定的實數(shù).

fj-a—1

同理“

這樣，指數(shù)運算的指數(shù)已經擴充到全體實數(shù)了.

注意：

①給定一個正數(shù)”，對任意實數(shù)°,指數(shù)累心都大于0；

②0的任意正實數(shù)鼎都等于0；

③0的0指數(shù)幕和負實數(shù)指數(shù)事都沒有意義。

例2.計算：

3113

4227-3弓尸

(1)；(2)；(3)16.

27v=(33)V=3-1=；

⑵3;

G)T=(2-4)+=26=64

⑶

思考討論(綜合練習)

(1)計算下列各式:

e后+弓)-2(2打5-0.廠2+(2氯，loom

(2)用分數(shù)指數(shù)基表示下列各式(字母均表示正實數(shù)).

①標②一―

提示：⑴/+5=。承+*3]

②

(2>_0.1-2+(2冬產+loom=[(|)2]i-Q)-2+嗎>「-100=1+1=2

3/-------------11311

⑸介yja-4a=(a-02)3={02)3=02

\^)\JLz?

/-----------,1S13111311

②vab3y/ab5=(ab3?a訪。彳=(京=加力彳

三、課堂練習

教材P76,練習1、2.

四、課后作業(yè)

教材P77,習題3T：A組第1、2、3,B組第1題.

教學反思

(1)負數(shù)的分數(shù)指數(shù)累，在某些情況下是沒有意義的，如(-2>=口，但

(-2)1=V(-2)2

''V'"卻是有意義的，避免情況過于復雜，所以對分數(shù)指數(shù)幕的底數(shù)統(tǒng)一要

求為正數(shù)，這也是后面指數(shù)函數(shù)底數(shù)要求為正數(shù)的原因。

(2)為了便于指數(shù)暴的運算，一般都將根式化成分數(shù)指數(shù)進行運算，這樣便于利用指

數(shù)運算律進行指數(shù)累的運算。

第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)

第2節(jié)指數(shù)騫的運算性質

3.2.1指數(shù)易的運算性質

教材分析

指數(shù)寤的指數(shù)由整數(shù)擴充到了實數(shù)，其指數(shù)運算的運算性質照樣適用。本節(jié)內容是實數(shù)

指數(shù)基的運算性質及利用性質進行綜合運算，使學生能夠熟練、準確地進行指數(shù)式、根式等

的相互轉化，能夠熟練地利用性質進行數(shù)式的化簡、求值等綜合運算。

教學目標與核心素養(yǎng)

(1)知識目標：

實數(shù)指數(shù)哥的運算性質及利用性質進行綜合運算，使學生能夠熟練、準確地進行指數(shù)式、

根式等的相互轉化，能夠熟練地利用性質進行數(shù)式的化簡、求值等綜合運算。

⑵核心素養(yǎng)目標：

通過實數(shù)指數(shù)基的綜合運算，提高學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

教學重難點

(1)實數(shù)指數(shù)寡的運算性質；

(2)根式、指數(shù)式等的化簡、求值以及綜合運算。

課前準備

多媒體課件

教學過程

一、復習引入

0

n個aa=l（a工0）

-n

巴1

an=Va^*(a>0),a"=-m白（。〉。）

tin

在初中，學習了整數(shù)指數(shù)基的運算性質

nnn

am.an=am+n>=flmn(a.b)=a.b

二、新知識

類似的，當指數(shù)是實數(shù)時，指數(shù)運算性質如下:

°,為正實數(shù),“為實數(shù)

=（心*=。如，（Q?b）a=Qa?外

例1.計算:

(2-3)lx(V2)-28'^X(V4)3(與十4一；-1

(1);；\o)

(2-3)lx(V2)-2=2-3XIX2?X(-2)=2Tx2T=2-2=；

解：⑴I

333

8一亨X(V4)=(2)-lX2=2%3=2

⑵

(1)2+4_?-l_l=3_2XI+22X(~2)-1=3T+2-1—1=一T

⑶

例2.計算：

（i）一無⑵-形;

⑶（2企產；（4）［（歷產.

城…［（注廠句一2=（近療（網=近

解：⑴：

(2-1嚴)2=(2-1)2=2-2=1

⑵4

(2夜)-0=2遮x(->/5)=2-21

⑶4

⑷[(g)&]&=(企)&日=(々)2=2

例3.化簡（式中的字母均為正實數(shù)）:

(J)T.(a-2)+=a4+(T)x(-1)=J

⑵

3x日,(2x~&yz)=6/~&yz=6”

⑶

?(4廠。)=-ya~a=4x

(4)

10?=3,10月=4q10"匕100rT10—2a,10號

例4.已知'，求

l()a+A=10ffx10^=3X4=12

解：；

IO2=10ax10-6=3xi=-

44

■*

10-2a=(10a)-2=3-2=

10T=(10小=4；

例5.已知實數(shù)區(qū)叫且。＞°力＞°,求證：5）一而

證明：根據(jù)指數(shù)轅的定義和運算性質,

《L=(QbT)。=aa-(b-1)01=aa-b-a=^

思考討論（綜合練習）

（1）計算下列各式（式中的字母為正數(shù)）：

7嶺-3舊-6#+我軻m+m-1+2

①5；②nt2+m-2

Y24y-"2—3

(2)若一，求/+廣2—2的值.

7V3-3V24-63E+V3V5

提示：（1）①79

=7-35-3-31-85-6-(3-2)5+35?(3葉

11_21_1_

=7,3?—6,33—2?3?3?+3，口

1111

=7,33—6,33—2?33+3§

=0

111_111

m+m~l+2_(m^)2+(m~^)2+2m^m~^_(m^+m-?)2

=m2+m-2

②mN+nTNm7+m-7

X2+x-2=3n，再平方

⑵由兩邊平方得

x2+x~2=47

又

X2+X~2—3=+(x~2)—3=fx2+x~^\(x+x-1-1)—3=15

x7+x_T-3_IS_1

所以X2+JT2-2~47-2-3

三、課堂練習

教材P79,練習1、2.

四、課后作業(yè)

教材P79,習題3-2：A組第1?6題，B組第1、2題.

教學反思

在指數(shù)寤的運算中，一般都將根式化成分數(shù)指數(shù)進行運算，這樣便于利用指數(shù)運算性質

進行運算，另外在運算過程中注意運算順序。

第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)

第3節(jié)指數(shù)函數(shù)

3.3.1指數(shù)函數(shù)的概念

3.3.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(1)

教材分析

指數(shù)函數(shù)是繼研究了函數(shù)的概念和性質之后在高中階段研究的又一個基本初等函數(shù)，通

過指數(shù)函數(shù)及圖象與性質的研究，可以進一步深化學生對函數(shù)概念的理解與認識，使學生得

到較系統(tǒng)的函數(shù)知識和研究函數(shù)的方法，凸顯了函數(shù)圖象在研究函數(shù)性質時的重要作用，同

時培養(yǎng)學生的函數(shù)應用意識，為今后學習其它的初等函數(shù)奠定了基礎。

教學目標與核心素養(yǎng)

(1)知識目標:

掌握指數(shù)函數(shù)的定義；通過指數(shù)函數(shù)的圖象，歸納出指數(shù)函數(shù)的性質；利用指數(shù)函數(shù)的

性質在不等式、方程問題中的應用。

(2)核心素養(yǎng)目標:

通過指數(shù)函數(shù)概念、圖象和性質的學習，使學生掌握研究函數(shù)的一般方法，提高學生的

數(shù)學抽象和邏輯推理能力。

教學重難點

(1)指數(shù)函數(shù)的概念；

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質；

(3)指數(shù)函數(shù)性質以及利用指數(shù)函數(shù)的單調性比較實數(shù)大小、解不等式等方面的應用。

課前準備

多媒體課件

教學過程

一、引入

曾經有人斷言，一張A4紙，不可能將其對折超過8次，是不是這樣呢？

讓我們來計算一下，一張標準A4紙，規(guī)格為長29.7cm,寬21cm,厚度大約0.01cm,

(1)4=1-8528=256

折疊8次,紙的長度變?yōu)?9.7X2cm,厚度變?yōu)?.01Xcm,

這時紙的長度己經小于厚度了，無法再折疊了。

Ii

■

?思考討論：

假設一張厚度0.01cm的A4紙可以無限折疊下去，那么折疊30次的高度大約是多少？

折疊50次呢？

提示：折疊30次，厚度為0.01X230*107X107cm=107km大約是葭個

珠穆朗瑪峰的高度了；折疊50次，厚度為

9501IQY=1X1。8

0.01X11,51Ucmkm,約為L13億km,地球與太陽的距離約

L5億km,已接近地球與太陽的距離了。

二、新知識

1、形如y=Q'(”>°且@#1)的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù).

其中是自變量，且

y=2X

例如：y，：3等等

?注意：

①指數(shù)函數(shù)的定義域為R,值域為（°，+8）；

②當”=°時，=即指數(shù)函數(shù)的圖象過定點（叫；

③若Q=L指數(shù)函數(shù)y=Q'即為圖象為經過點（°'］）與

“軸平行的直線.

2、指數(shù)函數(shù)y=標的圖象和性質

1）作出指數(shù)函數(shù)y=2'的圖象.

列表、描點、連線得函數(shù)7v=2*的圖象如圖

X…-3-2-10123…

111

y=2X???1248???

842

同理可作出指數(shù)函數(shù)y=3、的圖象

①定義域為R，值域為(°，+8),圖象過定點(0，1)；

②函數(shù)在A上是增函數(shù)，當'T+8時yr+8,當“一一8時

yt0

*?

③對于指數(shù)函數(shù)>=嗪、”(八6>1］，當時

0<t?<bx<1*x=0.(f=bx=1x>0.

?3nj,3IrJ

爐>爐>1

例1.比較下列各題中兩個數(shù)的大小：

(1)5。?岑7-0-1S7-0.1

(2),

解：由指數(shù)函數(shù)，=上當時，D

0>i函數(shù)在上單增

小0.8>0.7.5°8>5°;

⑸-0.15<-0.1.7-015<7-0J

X

例2.(1)求使不等式4,>32成立的實數(shù)X的集合；

(2)已知方程"Z,求實數(shù)”的值；

解：⑴不等式">32,即22r>2：由函數(shù)丫=2"在R上單增，得及>5,所以實數(shù)”的集

/S、

合人d為（52'+8）

_7

(2)方程,0^-1=243,印3"=3：得女-2=5,所以

y=

2）作出指數(shù)函數(shù)2的圖象

y=G）x

列表、描點、連線得函數(shù)的圖象如圖

注意:

y=a*0<a<1,

?般的，指數(shù)函數(shù)，當時

RO'+8）,圖象過定點(0,1).

①定義域為值域為

②函數(shù)在R上是減函數(shù)，當"T+8時yT0,當"一8時

y->+8

③對于指數(shù)函數(shù)和y=b\ovavb<l),當

出>爐>1,當％=0時cf=bx=1當x>

0v出v爐v1

例3.比較下列各題中兩個數(shù)的大小：

6尸8")-28(1尸3*尸

(1)55(2)33.

解：由指數(shù)函數(shù)當時，函數(shù)在R上單調遞減

-1.8>-2fi.(1)-1-8<(1)-2€

\1/,??

⑵一0.3v1.3.(1)"°-3>(^)1,2

思考討論(綜合練習)

⑴解不等式23-入V0.5—；

⑵已知函數(shù)的=3("為常數(shù)且"1)的圖象經過點

4(0,1),5(3,8)

①求函數(shù)"外的解析式；

Q(x)=/㈤T

②若函數(shù)/w+i,求雙外的值域.

?3-2xvnex-1o3-2x々ol-x

提示：(1)不等式Ub，即'V/

???函數(shù)'=2”為增函數(shù)，...3-2"1-。解得x>2

不等式的解集為(2,+8)

品解得展

⑵①圖象經過點"。1），氏3,切，得

的解析式為fM=2"

2X>02X+1>1一赤€（_2,0）

g（?二6（—1，i）

二、課堂練習

教材P84,練習1、2、3.

四、課后作業(yè)

教材P89,習題3-3：A組第3、4、5、6,B組第1、2、3題.

教學反思

利用函數(shù)的性質解決方程、不等式等問題，是函數(shù)思想的重要應用，指數(shù)函數(shù)的圖象有

別與初中學習的函數(shù)圖象，熟練掌握指數(shù)函數(shù)兩種情況的圖象和性質，是解決復合函數(shù)問題

的基礎。

第三章指數(shù)運算與指數(shù)函數(shù)

第3節(jié)指數(shù)函數(shù)

3.3.2指數(shù)函數(shù)的圖象和性質（2）

上一節(jié)學習了指數(shù)函數(shù)的圖象和基本性質，本節(jié)將進一步研究指數(shù)函數(shù)的性質及應用,

特別是函數(shù)圖象變換和簡單的復合函數(shù)問題，進一步深化學生對指數(shù)函數(shù)概念、圖象和性質

的理解與認識，使學生得到較系統(tǒng)的函數(shù)知識和研究函數(shù)的方法，提高分析和解決函數(shù)的綜

合性問題的能力。

教學目標與核心素養(yǎng)

(D知識目標：

進一步掌握指數(shù)函數(shù)的圖象和性質；掌握指數(shù)型函數(shù)的圖象變換方法；利用指數(shù)函數(shù)的

性質解決簡單的復合函數(shù)問題。

⑵核心素養(yǎng)目標：

通過指數(shù)函數(shù)圖象和性質的應用，使學生感悟函數(shù)思想方法在解決相關數(shù)學問題中的重

要作用，提高學生的數(shù)學抽象和邏輯推理能力。

教學重難點

(1)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質的綜合應用；

(2)指數(shù)型函數(shù)的圖象變換、簡單的復合函數(shù)問題。

課前準備

多媒體課件

教學過程

1、指數(shù)函數(shù)的性質:

XT+8gy7+8XT+8y70

當時當時，

“T-8yt0XT—8y7+8

當時當時

2、函數(shù)圖象的變換

_y=(-)x

指數(shù)函數(shù)與2的圖象間的關系

在同一坐標系中作出兩個函數(shù)的圖象，如圖：

y==2~x_2,

函數(shù)2與函數(shù)的圖象關于,軸對稱，即函數(shù)

y=f(-X)與函數(shù)y=f⑴的圖象關于，軸對稱。

f注意：

常見的幾種函數(shù)圖象變換：

向左(a>0)或向右(a<0)平移同個單鳥

①函數(shù)y=f(刈的圖象*函數(shù)

y=〃x+Q)的圖象

向上(b>0)或向下(b<0)平移|訓個單性

函數(shù)y=fw的圖象*函數(shù)

y=fa)+b的圖象；

②函數(shù)y="—x)與函數(shù)幻的圖象關于端對稱

函數(shù)、=一'(刈與函數(shù)、=，(")的圖象關于“軸對稱；

③函數(shù)圖象是函數(shù)的圖象原,軸上方的部分不

變，將“軸下方的部分對稱到“軸上方，

函數(shù)，="出）的圖象是函數(shù)的圖象原'軸右側的

部分不變，去掉原，軸左側的部分，再將原、軸右側的部分對稱

到、軸左側.

例4.求下列函數(shù)的值域：

y=6)ftE[T+8)

y=21

（1）(2)

解：（i）指數(shù)函數(shù)"乃=2、在“上單增，i一”cR,...函數(shù)y=21T的值域（o,+8）

D

3xe[-1,+oo)

⑵指數(shù)函數(shù)在上單減，V

2x—16[―3,+co)

工函數(shù)y（3）當女[-1,+8）時，值域（0,27]

例5,比較下列各題中兩個數(shù)的大小：

⑴二。眈⑵一步1,

解：⑴由指數(shù)函數(shù)y”的性質，底數(shù)1‘>1,-Id即1吵6>1

底數(shù)08<1,°-81-6<0-8°,即°森<】，

1.8°6>0.816

7<1(1)-1>1

（2）由指數(shù)函數(shù)y=Q的性質,底數(shù)7.7/

3123

3>13-5<16)書>3不

底數(shù)

P注意:

指數(shù)式的大小比較，一般先將底數(shù)（或指數(shù)）變成相同，再利用指數(shù)函數(shù)的單調性進行比較,

如果無法同底數(shù)或同指數(shù)，一般通過中間式或中間量（如0、1等）進行比較。

例6.己知比較和小的大小，并說明理由.

解.：設函數(shù)y=Q"（Q>o）

若a>1,則函數(shù)單增，Q<2,