導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(考點(diǎn)串講課件)-2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心題型講與練 易錯(cuò)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破（新高考版）

2025年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)核心題型講與練+易錯(cuò)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破（新高考版）第16講

導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算目錄易混易錯(cuò)練3常用結(jié)論2知識(shí)梳理1考點(diǎn)分類練4最新模擬練5【知識(shí)梳理】

1.函數(shù)的平均變化率一般地,若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),則(1)稱Δx=

為自變量的改變量;

(2)稱Δy=

(或Δf=f(x2)-f(x1))為相應(yīng)的因變量的改變量;

(3)稱

=

(或

=

)為函數(shù)y=f(x)在以x1,x2為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的平均變化率,其中“以x1,x2為端點(diǎn)的閉區(qū)間”,在x1<x2時(shí)指的是[x1,x2],而x1>x2時(shí)指的是[x2,x1].x2-x1y2-y1溫馨提示函數(shù)平均變化率的幾何意義如圖所示,函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率,就是直線AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),事實(shí)上2.平均速度與平均變化率如果物體運(yùn)動(dòng)的位移xm與時(shí)間ts的關(guān)系為x=h(t),則物體[t1,t2](t1<t2時(shí))或[t2,t1](t2<t1時(shí))這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為

(m/s).這就是說(shuō),物體在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度等于x=h(t)在該段時(shí)間內(nèi)的平均變化率.3.瞬時(shí)變化率與導(dǎo)數(shù)(1)瞬時(shí)變化率常數(shù)k(2)導(dǎo)數(shù)①f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)記作f'(x0);②f'(x0)=

.

(3)導(dǎo)函數(shù)一般地,如果函數(shù)y=f(x)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)x都

,則稱f(x)可導(dǎo).此時(shí),對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值x,都對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f'(x).于是,在f(x)的定義域內(nèi),

是一個(gè)函數(shù),這個(gè)函數(shù)通常稱為函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù).記作f'(x)(或y',yx'),即f'(x)=y'=yx'=

.導(dǎo)函數(shù)通常也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)

f'(x)4.導(dǎo)數(shù)的幾何意義f'(x0)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處(也稱在x=x0處)的切線的斜率,從而根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程可知,切線的方程是

.

5.常用函數(shù)的求導(dǎo)公式C'=

,

(xα)'=

,

(ax)'=

,

(logax)'=

,

(sinx)'=

,

(cosx)'=

.

y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)0αxα-1axlnacosx

-sinx6.求導(dǎo)法則(1)函數(shù)和與差的求導(dǎo)法則[f(x)±g(x)]'=

.

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則[f(x)g(x)]'=

;特別地,[Cf(x)]'=

.

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則f'(x)±g'(x)

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)Cf'(x)

7.簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(1)復(fù)合函數(shù)的概念一般地,已知函數(shù)y=f(u)與u=g(x),給定x的任意一個(gè)值,就能確定u的值.如果此時(shí)還能確定y的值,則y可以看成x的函數(shù),此時(shí)稱f(g(x))有意義,且稱y=h(x)=f(g(x))為函數(shù)

與

的復(fù)合函數(shù),其中

稱為中間變量.

(2)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地,如果函數(shù)y=f(u)與u=g(x)的復(fù)合函數(shù)為y=h(x)=f(g(x)),則可以證明,復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h'(x)與f'(u),g'(x)之間的關(guān)系為h'(x)=[f(g(x))]'=

=

.這一結(jié)論也可以表示為yx'=

.

f(u)g(x)u

f'(u)g'(x)f'(g(x))g'(x)yu'ux‘【常用結(jié)論】

1.①[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).②[af(x)+bg(x)]'=af'(x)+bg'(x)(a,b為常數(shù)).2.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).3.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時(shí)變化趨勢(shì),其正負(fù)號(hào)反映了變化的方向,其大小|f'(x)|反映了變化的快慢,|f'(x)|越大,曲線在這點(diǎn)處的切線越“陡”.【考點(diǎn)分類練】

命題點(diǎn)1

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(1)求導(dǎo)之前，先把函數(shù)簡(jiǎn)化成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.注意

(1)牢記導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；(2)若函數(shù)解析式中含有待定系數(shù)(如f

'(x0)，a，b等)，則求導(dǎo)時(shí)把待定系數(shù)看成常數(shù)，再根據(jù)題意求解即可.

1命題點(diǎn)2

導(dǎo)數(shù)的幾何意義角度1

求切線方程求切線方程的方法(1)已知切點(diǎn)A(x0，f(x0))，則切線方程為y－f(x0)＝f

'(x0)(x－x0).

注意

曲線y＝f(x)“在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P(x0，y0)的切線”的區(qū)別：前者P(x0，y0)為切點(diǎn)，而后者P(x0，y0)不一定為切點(diǎn).

A.y＝xB.y＝xC.y＝x＋D.y＝x＋

C(2)[2022新高考卷Ⅱ]曲線

y

＝ln｜

x

｜過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線的方程為

，

?.

角度2

求參數(shù)的值或取值范圍利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的方法利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率、切點(diǎn)在切線上、切點(diǎn)在曲線上列方程(組)求解例3

(1)[全國(guó)卷Ⅲ]已知曲線

y

＝

a

e

x

＋

x

lnx

在點(diǎn)(1，

a

e)處的切線方程為

y

＝2

x

＋

b

，則(

D

)A.a＝e，b＝－1B.a＝e，b＝1C.a＝e－1，b＝1D.a＝e－1，b＝－1D

(2)[2022新高考卷Ⅰ]若曲線

y

＝(

x

＋

a

)e

x

有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則

a

的取值范圍

是

?.

(－∞，－4)∪(0，＋∞)命題點(diǎn)3

與公切線有關(guān)的問(wèn)題曲線的公切線問(wèn)題的求解方法(1)求出兩曲線各自的切線方程，利用兩曲線的切線重合列方程組求解

－2(2)[全國(guó)卷Ⅱ]若直線

y

＝

kx

＋

b

是曲線

y

＝lnx

＋2的切線，也是曲線

y

＝ln(

x

＋1)的

切線，則

b

＝

?.

1－ln2【最新模擬練】1.[2024福建泉州模擬]若直線

x

＋

y

＋

a

＝0與曲線

y

＝

x

－2lnx

相切，則實(shí)數(shù)

a

的值

為(

C

)A.0B.－1C.－2D.－3

C2.[2024福建省寧德市模擬]曲線

y

＝－

x

3＋

x

2＋8

x

＋3在某點(diǎn)處的切線的傾斜角為銳

角，且該點(diǎn)坐標(biāo)為整數(shù)，則該曲線上這樣的切點(diǎn)個(gè)數(shù)為(

C

)A.1B.2C.3D.4

C

A.(－1，0]B.(－1，－]C.(－∞，0]D.(－∞，－]B

4.[2024河南省名校調(diào)考]已知冪函數(shù)

f

(

x

)＝(

m

2－6

m

＋9)

xm

滿足

f

'(1)＝2，則

f

(2)

＝

?.[解析]由冪函數(shù)的定義可得

m

2－6

m

＋9＝1，解得

m

＝2或

m

＝4，當(dāng)

m