高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破1知識(shí)資料集合與筒易邏輯73

千里之行，始于足下朽木易折，金石可鏤Word-可編輯高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破1（集合與簡(jiǎn)易邏輯）余家露編高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破2（重要不等式）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破3（函數(shù)的性質(zhì)）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破4（基本初等函數(shù)）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破5（異常函數(shù)）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破6（三角函數(shù)）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破7（解三角形）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破8（向量與復(fù)數(shù)）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破9（點(diǎn)線面位置關(guān)系）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破10（空間角與空間距離）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破11（異常空間幾何體）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破12（直線與圓）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破13（圓錐曲線的定義與性質(zhì)）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破14（圓錐曲線的弦長(zhǎng)與面積）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破15（圓錐曲線的定點(diǎn)定值問(wèn)題）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破16（數(shù)列與通項(xiàng)）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破17（數(shù)列求和）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破18（導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破19（導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破20（函數(shù)的零點(diǎn)）金爾鑫?編著高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破21（計(jì)數(shù)原理）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破22（概率）高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破23（統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析）集合與簡(jiǎn)易邏輯高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破1集合與簡(jiǎn)易邏輯金爾鑫編著施小斌審定浙江大學(xué)出版社圖書(shū)在版編目(CIP)數(shù)據(jù)高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破.1,集合與簡(jiǎn)易邏輯/金爾鑫編著.-杭州:浙江大學(xué)出版社,2024.5ISBN978-7-308-24907-2I.①高...II.①金...III.①中學(xué)數(shù)學(xué)課一高中一教學(xué)參考資料IV.①G634.603中國(guó)國(guó)家版本館CIP數(shù)據(jù)核字(2024)第086999號(hào)高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破1集合與簡(jiǎn)易邏輯金爾鑫編著策劃陳海權(quán)(:)責(zé)任編輯閆亮責(zé)任校對(duì)陳海權(quán)封面設(shè)計(jì)林智廣告出版發(fā)行浙江大學(xué)出版社(杭州市天目山路148號(hào)郵政編碼310007)(:http://www.zjupress.com)排版杭州朝曦圖文設(shè)計(jì)有限公司印刷杭州宏雅印刷有限公司開(kāi)本889印張4.5字?jǐn)?shù)107千版印次2024年5月第1版2024年5月第1次印刷書(shū)號(hào)ISBN978-7-308-24907-2定價(jià)16.60元版權(quán)所有侵權(quán)必究印裝差錯(cuò)負(fù)責(zé)調(diào)換浙江大學(xué)出版社市場(chǎng)運(yùn)營(yíng)中央聯(lián)系方式:0571-1;http://zjdxcbs.tmall.com新課程、新評(píng)價(jià)對(duì)學(xué)生的要求從“知識(shí)、能力立意”轉(zhuǎn)向“價(jià)值引領(lǐng)、素質(zhì)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”;新課標(biāo)把高中數(shù)學(xué)分成五個(gè)主題,并強(qiáng)化單元整體教學(xué).由此不難發(fā)現(xiàn),這一輪課改的目標(biāo)是在價(jià)值引領(lǐng)前提下,在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中體現(xiàn)素質(zhì)導(dǎo)向.實(shí)現(xiàn)這個(gè)目標(biāo)的途徑是多樣的、展開(kāi)的,興許主題化和單元化就是核心路徑.而“高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破”系列圖書(shū)(以下簡(jiǎn)稱“各個(gè)擊破”)正是編者對(duì)主題化和單元化的有效融合的追求.“各個(gè)擊破”實(shí)現(xiàn)化整為零.“各個(gè)擊破”把高中數(shù)學(xué)必修五大主題和挑選性必修四大主題整合成了23個(gè)大單元,每個(gè)大單元自立成冊(cè),每?jī)?cè)又按照教學(xué)內(nèi)容及順序設(shè)置了58個(gè)小單元,每個(gè)小單元設(shè)計(jì)了6～10道例題,同時(shí)配套包含“基礎(chǔ)過(guò)關(guān)”“綜合練習(xí)”和“拓廣提升”三個(gè)層次的達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題10～16道,每個(gè)分冊(cè)最后設(shè)置一個(gè)進(jìn)階特訓(xùn),是對(duì)大單元整體的回顧與檢測(cè).“各個(gè)擊破”在對(duì)高中數(shù)學(xué)所有知識(shí)點(diǎn)各個(gè)擊破的同時(shí),通過(guò)滲透與提煉對(duì)高中數(shù)學(xué)思想“各個(gè)擊破”突出個(gè)性輔導(dǎo).“各個(gè)擊破”既有整體設(shè)計(jì),同時(shí)又自立成冊(cè),倡導(dǎo)“提質(zhì)”“減負(fù)”.“各個(gè)擊破”的使用,既可以是學(xué)生按照學(xué)習(xí)情況,針對(duì)自己的薄弱環(huán)節(jié)挑選分冊(cè)舉行專項(xiàng)突破;也可以把“各個(gè)擊破”作為同步教輔,在每一章節(jié)新授課結(jié)束之后,協(xié)助學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)和主意舉行逐一突破,實(shí)現(xiàn)對(duì)大多數(shù)學(xué)生的個(gè)性化輔導(dǎo).“各個(gè)擊破”凸顯八大特色.“各個(gè)擊破”緊緊圍繞新課程、新評(píng)價(jià)和新教學(xué),并以此展示編寫(xiě)特色.首先,觀念的前瞻性.“各個(gè)擊破”與新課程、新高考全面接軌,在題量上落實(shí)“雙減”政策,更多地?fù)?dān)心例題、習(xí)題的內(nèi)涵和教學(xué)價(jià)值;在題型上緊隨全國(guó)卷試題結(jié)構(gòu),設(shè)有多選題、多空題、應(yīng)用題和各類創(chuàng)新型試題.第二,知識(shí)的殘破性.“各個(gè)擊破”鄭重按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2023年年年版2023年年年修訂)》編寫(xiě),通過(guò)23個(gè)自立成冊(cè)的大單元涵蓋高中數(shù)學(xué)所有重要知識(shí)點(diǎn),在每一分冊(cè)小單元的“要點(diǎn)提煉”欄目中都有對(duì)核心知識(shí)的概括提煉.第三,內(nèi)容的同步性.“各個(gè)擊破”固然以大單元形式自立成冊(cè),但在知識(shí)形成的邏輯順序上不超前,所以每一單冊(cè)都既可作為教學(xué)同步輔導(dǎo)用書(shū),也可作為階段性輔導(dǎo)用書(shū).第四,例題的針對(duì)性.“各個(gè)擊破”對(duì)例題的設(shè)計(jì)精益求精,每道例題會(huì)針對(duì)相應(yīng)知識(shí)點(diǎn),解決一類問(wèn)題,而且在解決問(wèn)題的過(guò)程中,都會(huì)推薦與總結(jié)數(shù)學(xué)方法并潛移默化地滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想.第五,習(xí)題的有效性.“各個(gè)擊破”對(duì)習(xí)題的選配,鄭重遵從配套與拓展的原則,每道習(xí)題都是對(duì)單元知識(shí)或例題的一種有效反饋,通過(guò)對(duì)習(xí)題的系統(tǒng)訓(xùn)練,不僅可以鞏固本單元知識(shí),同時(shí)能對(duì)所涉思想主意有更深的認(rèn)識(shí).第六,檢測(cè)的階梯性.“各個(gè)擊破”對(duì)知識(shí)與主意的檢查,呈階梯狀設(shè)計(jì),異常是在“達(dá)標(biāo)檢測(cè)”欄目,不僅設(shè)有“基礎(chǔ)過(guò)關(guān)”和“綜合練習(xí)”,還有應(yīng)對(duì)高考?jí)狠S題或強(qiáng)基的“拓廣提升”,以此滿意學(xué)生對(duì)知識(shí)與主意不同深度和廣度的要求.第七,主意的全面性.“各個(gè)擊破”的每個(gè)小單元都設(shè)有“主意歸納”欄目,在此欄目中,不僅有對(duì)例題和習(xí)題涉及思想主意的總結(jié),也有對(duì)思想主意的拓展與普通化,還有對(duì)思想主意的全面分類與歸納.第八,編委的權(quán)威性.“各個(gè)擊破”所有分冊(cè)均由浙江省內(nèi)名校或教研單位名師自立編著,每一分冊(cè)都凝結(jié)了名師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)堆積與成績(jī)分享,同時(shí)每一分冊(cè)還邀請(qǐng)了省特級(jí)教師審定,所以“各個(gè)擊破”的編寫(xiě)者及編委是權(quán)威的.“各個(gè)擊破”編寫(xiě)歷時(shí)一年多,在編寫(xiě)與審校過(guò)程中,得到了鎮(zhèn)海中學(xué)、杭州二中、學(xué)軍中學(xué)、溫州中學(xué)、慈溪中學(xué)、紹興一中、嘉興一中、金華一中、湖州中學(xué)、舟山中學(xué)等二十多所小學(xué)的教師和學(xué)生的大力支持,在此對(duì)參加“各個(gè)擊破”審稿與校對(duì)的教師和學(xué)生表示衷心謝謝.衷心希翼讀者能通過(guò)“各個(gè)擊破”的使用,實(shí)現(xiàn)對(duì)高中數(shù)學(xué)的“各個(gè)擊破”,也祝福大家使用“各個(gè)擊破”之后,在各類考試中取得優(yōu)異的成績(jī)!因?yàn)闀r(shí)光倉(cāng)促,也受能力所限,書(shū)稿雖經(jīng)多次審校,但其中難免存在謬誤,敬請(qǐng)專家、讀者批評(píng)指正.“各個(gè)擊破”與人教A版教材的對(duì)應(yīng)年級(jí)教材分冊(cè)教材目錄對(duì)應(yīng)分冊(cè)高一必修第一冊(cè)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)各個(gè)擊破1第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式各個(gè)擊破2第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)各個(gè)擊破3第四章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)各個(gè)擊破4第五章三角函數(shù)各個(gè)擊破6必修第二冊(cè)第六章平面向量及其應(yīng)用各個(gè)擊破7、8第七章復(fù)數(shù)第八章立體幾何初步各個(gè)擊破9第九章統(tǒng)計(jì)各個(gè)擊破23第1～第十章概率各個(gè)擊破22第1講高二挑選性必修第一冊(cè)第一章空間向量與立體幾何各個(gè)擊破10第二章直線與圓的方程各個(gè)擊破12第三章圓錐曲線的方程各個(gè)擊破13挑選性必修第二冊(cè)第四章數(shù)列各個(gè)擊破16第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用各個(gè)擊破18挑選性必修第三冊(cè)第六章計(jì)數(shù)原理各個(gè)擊破21第七章隨機(jī)變量及其分布各個(gè)擊破22第2～第八章成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析各個(gè)擊破23第4～“各個(gè)擊破”各分冊(cè)作者及審定分冊(cè)作者特級(jí)教師審定高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破1(集合與簡(jiǎn)易邏輯)金爾鑫施小斌高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破2(重要不等式)張艷宗盧明高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破3(函數(shù)的性質(zhì))陸雯君葉琪飛高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破4(基本初等函數(shù))俞定范東暉高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破5(異常函數(shù))俞健聰劉曉東高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破6（三角函數(shù)）萬(wàn)松強(qiáng)戴海林高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破7(解三角形)余海東周建平高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破8（向量與復(fù)數(shù)）施利強(qiáng)周丕芬高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破9(點(diǎn)線面位置關(guān)系)舒華瑛斯理炯高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破10(空間角與空間距離周艷林鑒強(qiáng)高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破11(異?？臻g幾何體)金建軍虞金龍高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破12(直線與圓)沈海全陳柏良高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破13(圓錐曲線的定義與性質(zhì))周海軍沈虎躍高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破14(圓錐曲線的弦長(zhǎng)與面積)紀(jì)斐謝尚志高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破15(圓錐曲線的定點(diǎn)定值問(wèn)題)范虹燕張金良高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破16(數(shù)列與通項(xiàng))邵建文費(fèi)紅亮高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破17(數(shù)列求和)任燕巧李柏青高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破18(導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算丁君斌蔣榮清高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破19(導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用)陳茂慧金雪東高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破20(函數(shù)的零點(diǎn))張仲斐章水云高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破21(計(jì)數(shù)原理盛耀建張中華高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破22(概率)陳巴爾李芳高中數(shù)學(xué)各個(gè)擊破23(統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析)滕詩(shī)媛李金興陽(yáng)月錄第1講集合的概念與表示//1第2講集合間的基本關(guān)系//9第3講集合的基本運(yùn)算//17第4講充足條件與須要條件//25第5講全稱量詞與存在量詞//34進(jìn)階特訓(xùn)//43參考答案//48第講集合的概念與表示學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例,了解集合的含義,理解元素與集合的屬于關(guān)系;2.針對(duì)詳細(xì)問(wèn)題,能夠在天然語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言的基礎(chǔ)上,用符號(hào)語(yǔ)言刻畫(huà)集合;3.在詳細(xì)情境中,了解全集與空集的含義.要點(diǎn)提煉1.集合的概念普通地,我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,把一些元素組成的總體稱為集合.我們通常用大寫(xiě)拉丁字母A,B,倘若a是集合A中的元素,就說(shuō)a屬于集合A,記作a∈A;倘若a不是集合A中的元素,就說(shuō)a不屬于集合A,記作元素個(gè)數(shù)有限的集合稱為有限集,元素個(gè)數(shù)無(wú)限的集合稱為無(wú)限集.異常地,不含任何元素的集合稱為空集,記作?.2.集合元素的三大性質(zhì)集合元素滿意以下三條性質(zhì).(1)決定性:對(duì)于給定的集合,隨意元素是否屬于這個(gè)集合是決定的.（2）互異性：對(duì)于給定的集合,其中元素互不相同.（3）無(wú)序性：集合中的元素不考慮先后順序.3.常用數(shù)集及其記法全體非負(fù)整數(shù)組成的集合稱為非負(fù)整數(shù)集(或天然數(shù)集),記作N;全體正整數(shù)組成的集合稱為正整數(shù)集,記作N?或N全體整數(shù)組成的集合稱為整數(shù)集,記作Z;全體有理數(shù)組成的集合稱為有理數(shù)集,記作Q;全體實(shí)數(shù)組成的集合稱為實(shí)數(shù)集,記作R.4.集合的表示主意集合有如下三種表示主意.(1)列舉法:把集合中的元素一一列舉出來(lái),并用花括號(hào)“{}”括起來(lái)表示集合的主意.(2)描述法:普通地,設(shè)A是一個(gè)集合,我們把集合A中所有具有共同特征Px的元素x所組成的集合表示為{(3)Venn圖法:用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合.范例精講例1下列各組對(duì)象不能構(gòu)成集合的是()A.所有直角三角形B.中國(guó)古代四大發(fā)現(xiàn)C.高一?班所有男生D.充足臨近π的有理數(shù)解析:對(duì)于A,B,C三項(xiàng),能夠判斷一個(gè)對(duì)象是否屬于這些集合;對(duì)于D選項(xiàng),“充足臨近π”這一描述不夠確切,故按照集合元素的決定性,本題選D.評(píng)注:決定性是集合元素三大性質(zhì)中最重要的性質(zhì),集合的描述中不能浮上不決定性的說(shuō)法,例如“較高”“較好”“充足臨近”“充足大”等.例2用列舉法表示下列集合:(1)不超過(guò)11的素?cái)?shù)組成的集合;(2)不等式x?解析:(1)設(shè)不超過(guò)11的素?cái)?shù)組成的集合為A,則A(2)設(shè)不等式x?2<3的正整數(shù)解組成的集合為B,由x?B評(píng)注:列舉法普通用來(lái)表示元素不是無(wú)數(shù)的有限集,列舉的時(shí)候要做到“不重不漏”.此外,因?yàn)榧显氐臒o(wú)序性,一個(gè)集合可以有不同的列舉主意,例如(1)中的集合還可以表示為A例3用描述法表示下列集合:(1)所有偶數(shù)組成的集合;(2)不等式x?解析:(1)設(shè)所有偶數(shù)組成的集合為A.若x∈A,則x∈Z且存在A(2)設(shè)不等式x?2<3的解集為B.由B評(píng)注:描述法表示集合的關(guān)鍵在于找到集合中元素的共同特征.例4已知集合A=(1)若x2∈B(2)是否存在實(shí)數(shù)a,x,使得A=B?若存在,哀求出解析:(1)由集合元素的互異性知x≠①若x2=0②若x2=1③若x2=x綜上所述,x=?(2)注重到a2①若a?3=0,則②若2a?1=0,則綜上所述,不存在實(shí)數(shù)a,x,使得評(píng)注:本題主要考查元素與集合的關(guān)系、集合相等的定義.求解時(shí)要結(jié)合集合元素的互異性舉行分類研究.例5已知集合A={(1)設(shè)集合P={x,(2)設(shè)集合Q={x+解析:(1)列舉所有滿意x∈A,1故集合P中有6個(gè)元素.(2)列舉所有滿意x∈A,5結(jié)合集合元素的互異性知:Q故集合Q中有4個(gè)元素.評(píng)注:本題主要考查描述法表示集合以及集合元素的互異性,在解決問(wèn)題時(shí)要注重區(qū)別點(diǎn)集和數(shù)集,也要注重集合元素的互異性.同時(shí),面向容易的計(jì)數(shù)問(wèn)題,可以通過(guò)窮舉法,將所有符合條件的情形一一列舉出來(lái),在列舉時(shí)要做到不重不漏.例6設(shè)集合A=x∈R∣解析:依題意,關(guān)于x的方程ax2+①當(dāng)a=0時(shí),原方程為x+1=②當(dāng)a≠Δ解得a=14綜上所述,a=0或評(píng)注:本題將集合惟獨(dú)一個(gè)元素轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的方程惟獨(dú)一個(gè)實(shí)數(shù)根.因?yàn)榉匠套罡叽雾?xiàng)系數(shù)含有參數(shù),故要分類研究.當(dāng)a=0時(shí),原方程是一次方程;當(dāng)a≠例7若集合A滿意如下性質(zhì),則稱集合A為“好集”:對(duì)于隨意x,y∈對(duì)于隨意x,y∈(1)判斷Z和Q是不是“好集”并說(shuō)明理由;(2)設(shè)集合A={a+b2解析:(1)對(duì)于整數(shù)集Z,取x=1,y=對(duì)于有理數(shù)集Q,因?yàn)橛欣頂?shù)對(duì)于加減乘除四則運(yùn)算封閉,故有以下結(jié)論:對(duì)于隨意x,y∈對(duì)于隨意x,y∈故Q是“好集”.(2)對(duì)于隨意x,y∈xxxy當(dāng)y≠x即x綜上所述,集合A是“好集”.評(píng)注:本題是集合中的新定義問(wèn)題,主要考查對(duì)于新定義的理解和應(yīng)用.第(2)問(wèn)中第一條性質(zhì)容易證實(shí),第二條性質(zhì)的證實(shí)需要看見(jiàn)xy所具有的結(jié)構(gòu),通過(guò)分母有理化轉(zhuǎn)化為a+b2的形式(主意歸納本節(jié)內(nèi)容主要涉及集合的表示主意和集合元素的性質(zhì)兩類問(wèn)題,以下將結(jié)合例題對(duì)這兩種題型舉行歸納總結(jié).1.集合的表示主意(1)列舉法:對(duì)于元素不是無(wú)數(shù)的有限集,或是集合中元素有顯然邏輯的無(wú)限集,可以采用列舉法來(lái)表示.在列舉時(shí)要注重不重不漏.(2)描述法:對(duì)于元素較多的有限集,或是能夠找到所有元素滿意的共同特征的無(wú)限集,往往采用描述法來(lái)表示.在使用描述法時(shí),要注重看見(jiàn)集合中元素的共同特征,盡量使用詳細(xì)但不失確切性的語(yǔ)言舉行描述.兩種主意各有優(yōu)劣:描述法固然能反映出所有元素的共同特征,但不夠直觀;列舉法固然可以直觀地表示出所有元素,但列舉時(shí)較為棘手,當(dāng)元素個(gè)數(shù)較多時(shí),無(wú)法一一列舉.因此在解決問(wèn)題的時(shí)候,倘若感覺(jué)使用描述法表示的集合過(guò)于抽象,那么可以適當(dāng)?shù)亓信e幾個(gè)異常的元素,通過(guò)異常情形來(lái)推導(dǎo)普通情況.這體現(xiàn)了從異常到普通的數(shù)學(xué)思想.2.集合元素的性質(zhì)(1)決定性:決定性是集合元素三大性質(zhì)中最重要的一條,它要求對(duì)于給定集合,能夠判斷隨意一個(gè)元素是否屬于這個(gè)集合,不能浮上不決定的情況.因此,當(dāng)問(wèn)題或選項(xiàng)的描述中浮上了“較為”“充足”“充足”“很大”等不決定的詞匯時(shí),可以認(rèn)為這個(gè)描述不能構(gòu)成集合.（2）互異性：集合中不能浮上相同的元素,即每個(gè)元素在集合中只能浮上一次.這個(gè)性質(zhì)通常用來(lái)解決集合中的求參數(shù)問(wèn)題,通過(guò)舉行分類研究并結(jié)合集合元素的互異性來(lái)排除錯(cuò)誤答案.(3)無(wú)序性:集合中的元素不考慮順序,即每個(gè)元素在集合中的地位都是等價(jià)的,不存在先后順序之分.由此可見(jiàn),兩個(gè)集合相等當(dāng)且僅當(dāng)組成這兩個(gè)集合的元素分離相同.這里要注重集合和有序?qū)崝?shù)組的區(qū)別.對(duì)于集合A=x1,x2,?,xn,B對(duì)于n元有序?qū)崝?shù)組a=x1,x2,?,xn,b達(dá)標(biāo)檢測(cè)女基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.下列對(duì)象不能構(gòu)成集合的是()A.某中學(xué)所有800米跑步合格的女生B.所有能被2整除但不能被3整除的整數(shù)C.所有對(duì)角線互相平分且相等的四邊形D.全國(guó)所有環(huán)境柔美的城市2.在下列四組集合中,表示同一集合的是()A.A={?C.A={x3.下列選項(xiàng)中的集合A和集合B表示同一集合的是()A.AB.AC.AD.A4.已知x∈1,5.用適當(dāng)?shù)闹饕獗硎鞠铝屑?(1)方程x2(2)所有不超過(guò)13的奇素?cái)?shù)組成的集合;（3）所有正有理數(shù)組成的集合;(4)不等式組x?女綜合練習(xí)6.已知集合A={?1,0,A.0B.1C.-1D.27.集合A=A.4B.6C.8D.108.(多選)由實(shí)數(shù)x,?A.0B.1C.2D.39.(多選)設(shè)集合A=x?xA.a+bC.ab∈A10.用描述法表示有理數(shù)集Q:___.11.對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,定義運(yùn)算①當(dāng)x,y的奇偶性相同時(shí),②當(dāng)x,y的奇偶性不同時(shí),若集合A=a,12.對(duì)于給定的k∈N+?,ak?13.已知集合A=x∣x214.已知非空數(shù)集A由實(shí)數(shù)組成,若x∈Ax(1)若2∈A,寫(xiě)出兩個(gè)集合(2)判斷A是否為雙元素集合,并說(shuō)明理由.女拓廣提升15.已知集合A=x∣x=a0+7a116.對(duì)于一個(gè)非空集合A,有如下四個(gè)條件:①D?{②?a③?a,b∈A,若a④?a,b,c∈A倘若集合D滿意上述四個(gè)條件,則稱集合D為集合A的一個(gè)偏序關(guān)系.(1)設(shè)A={1,2,(2)證實(shí):R≤={a(3)設(shè)集合E是集合A的一個(gè)偏序關(guān)系,a,b∈A.若存在元素c∈A,使得c,a∈E,c,b∈E,且?d∈A,若d,a∈第?講集合間的基本關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解集合間包含與相等的含義,能識(shí)別給定集合的子集;2.能夠使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系,體味圖形對(duì)理解抽象概念的作用.要點(diǎn)提煉1.集合間的包含關(guān)系普通地,對(duì)于兩個(gè)集合A,B,倘若集合A中隨意一個(gè)元素都是集合B中的元素,就稱集合A為集合B的子集,記作A?倘若集合A?B,但存在元素x∈B,使得x?A,那么就稱集合A是集合異常地,規(guī)定空集是任何集合的子集.集合的包含關(guān)系具有以下兩個(gè)性質(zhì).(1)自反性:對(duì)于隨意集合A,(2)傳遞性:若A?B且B?2.集合間的相等關(guān)系普通地,倘若集合A中隨意一個(gè)元素都是集合B中的元素,同時(shí)集合B中隨意一個(gè)元素也是集合A中的元素,那么集合A和集合B相等,記作A=B.若A?B,且B?A,則3.用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系在數(shù)學(xué)中,常常使用平面內(nèi)的封閉曲線的內(nèi)部表示集合,這種表示主意稱為Venn圖法.集合A與集合B的包含關(guān)系可用下表中的圖表示:集合間的基本關(guān)系BAAVenn圖4.有限集的子集個(gè)數(shù)設(shè)nn∈N+元集合S=事實(shí)上,考慮子集AA?S,集合S中的每個(gè)元素aii=1,2,?,n類似地,我們可以得到以下推論:(1)n元集合的真子集個(gè)數(shù)為2n(2)在n元集合的子擴(kuò)散,包含給定k1≤k（3）在n元集合的子擴(kuò)散,不包含給定k1≤k范例精講例1寫(xiě)出集合A={解析:集合A的所有子集有?,{其中,集合A的真子集有?,{評(píng)注:在寫(xiě)有限集的所有子集時(shí),要做到不重不漏,可以按照集合元素的個(gè)數(shù)舉行分類,每一類中也可以按照元素浮上的順序舉行排序,這樣不容易浮上重復(fù)或者遺漏.例2判斷下列集合A是不是集合B的子集.(1)A={(2)A={(3)A={解析:(1)對(duì)于集合B,由x≤2知注重到集合A中的元素3不滿意上述不等式,即3∈A且故集合A不是集合B的子集.(2)對(duì)于隨意的元素x∈A,都有x<2,即因此集合A是集合B的子集.(3)對(duì)于集合A中的每個(gè)元素x,經(jīng)檢驗(yàn),都能使6x∈N故集合A是集合B的子集.評(píng)注:判斷一個(gè)集合是否為另一個(gè)集合的子集時(shí),通常采用定義舉行判斷.倘若集合A中的隨意一個(gè)元素都是集合B中的元素,那么集合A是集合B的子集;反之,倘若集合A中存在一個(gè)元素不是集合B中的元素,那么集合A不是集合B的子集.例3已知集合A={1,2},解析:當(dāng)a=0時(shí),B=?當(dāng)a≠0時(shí),B=1a,由B∈A知,1綜上所述,實(shí)數(shù)a的所有可能值為0,評(píng)注:在利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)的值時(shí),倘若參數(shù)在被包含的集合中,需要注重被包含的集合為空集的情況,否則會(huì)漏解.例4已知集合A=x∈解析:由x∈N+且6x?故A={2,故集合A的非空子集個(gè)數(shù)為24評(píng)注:n元集合的子集個(gè)數(shù)為2n例5已知集合A滿意{1,2解析:主意一:列舉出所有符合條件的集合A如下:{共有7個(gè).主意二:依題意,集合A由兩部分元素組成.其中一部分是1,2,另一部分可以看作集合故符合條件的集合A共有23評(píng)注:對(duì)于與集合子集相關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題,倘若情況數(shù)量不是無(wú)數(shù),可以使用窮舉法,將所有符合條件的情況一一列出;也可以轉(zhuǎn)化為特定集合的子集(或真子集)個(gè)數(shù)問(wèn)題,利用相關(guān)結(jié)論求解.例6已知集合A={x∣x=解析:一方面,對(duì)于隨意的x∈A,存在m∈此時(shí),x=3m+1故x∈B,因此另一方面,對(duì)于隨意的x∈B,存在n∈此時(shí),x=3n?1故x∈A,因此綜上所述,A=評(píng)注:判斷兩個(gè)集合是否相等有兩種主意:(1)倘若兩個(gè)集合均為有限集且元素不多,可以將兩個(gè)集合的元素一一列舉出來(lái),通過(guò)比較組成這兩個(gè)集合的元素是否徹低相同來(lái)判斷兩個(gè)集合是否相等;(2)利用集合的包含關(guān)系也可以證實(shí)集合相等,即若A?B,我們通常使用第(2)種主意舉行證實(shí),即驗(yàn)證集合A中的每個(gè)元素都在集合B中,同時(shí)集合B中的每個(gè)元素都在集合A中.主意歸納本節(jié)內(nèi)容主要涉及集合包含關(guān)系的判斷、集合包含關(guān)系的應(yīng)用以及集合相等的判斷三類問(wèn)題,以下將結(jié)合例題,對(duì)這三類問(wèn)題舉行歸納總結(jié).1.集合包含關(guān)系的判斷判斷集合的包含關(guān)系普通采用定義法,通過(guò)驗(yàn)證集合A中的隨意元素x是否也是集合B中的元素,來(lái)判斷集合A是不是集合B的子集.對(duì)于用列舉法和描述法表示的集合,也有不同的處理方式.(1)列舉法針對(duì)使用列舉法表示的集合,可以通過(guò)逐一比較集合A中的元素是否浮上在集合B中來(lái)舉行判斷.(2)描述法針對(duì)使用描述法表示的集合,假設(shè)集合A={x∣px},B={x∣qx},可以通過(guò)證實(shí)“對(duì)于隨意此外,倘若是要判斷集合的真包含關(guān)系,需要在證實(shí)A?B的基礎(chǔ)上,在集合B中找到一個(gè)元素x,使得2.集合包含關(guān)系的應(yīng)用利用集合包含關(guān)系求參數(shù)的值或取值范圍是本節(jié)的重點(diǎn).針對(duì)此類問(wèn)題,要擔(dān)心以下兩點(diǎn):(1)要注重空集.因?yàn)榭占请S意集合的子集,故在面向條件A?B時(shí),倘若集合A中存在參數(shù),要首先研究集合A=?(2)要注重是不是真包含關(guān)系.對(duì)于真子集的情況,在利用A?B求完參數(shù)后,要驗(yàn)證集合A和集合B是否相等.倘若A=除此之外,在處理A?B這一條件時(shí),對(duì)離散型有限集和延續(xù)型無(wú)限集,有不同的處理（1）離散型有限集對(duì)于離散型有限集,設(shè)集合A=a1,a2,?,am,集合B=b1,b2,?,b（2）延續(xù)型無(wú)限集對(duì)于延續(xù)型無(wú)限集,以雙側(cè)均為鄭重不等號(hào)的情形為例,設(shè)集合A={x∣a<x<b},集合B={x∣c<x<d},由A?B3.集合相等的判斷判斷集合相等的主意有兩種:逐一檢驗(yàn)法和雙向包含法.(1)逐一檢驗(yàn)法對(duì)于元素個(gè)數(shù)較少的有限集,首先應(yīng)該比較元素個(gè)數(shù),倘若兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)不同,那么這兩個(gè)集合不可能相等.當(dāng)兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相同時(shí),需要舉行逐一檢驗(yàn).例如對(duì)于有限集A=a1,a2,?,ak和有限集B=b1,b2,?,bk,可以按一定順序逐一檢驗(yàn)集合A中的元素aii=1,2,?,k是否和集合B中的元素對(duì)應(yīng)相等.(2)雙向包含法對(duì)于不好舉行逐一檢驗(yàn)的集合A和集合B,我們驗(yàn)證A?B且B?A,由此證實(shí)A=B.對(duì)于隨意的x∈A,都有x∈B,且對(duì)于隨意的x∈B,都有x∈A,那么達(dá)標(biāo)檢測(cè)女基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.在下列集合A和集合B中,滿意A?A.AB.AC.AD.A2.已知集合A=x∣A.1B.2C.3D.43.已知集合A=x∈A.0∈AC.{0,4.(1)設(shè)集合A={x∣ax?(2)已知集合A={x∣?3≤5.證實(shí)集合包含關(guān)系的傳遞性:若A?B,女綜合練習(xí)6.已知集合A=x?x()A.A?BB.B?A7.已知集合A={1,2},非空集合B=xA.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)8.已知集合A={1,2,?,10},規(guī)定集合Ek=A.20B.21C.22D.239.(多選)若集合A=x∣A.-1B.0C.1D.210.(多選)已知集合A={x∣ax≤A.3B.2C.1D.011.(1)已知集合A={x∣1≤(2)已知集合A={x∣1<12.從集合U={a,b,c,d}(2)A?則符合條件的選法有___個(gè).13.已知集合A=x?x214.已知集合A={(1)若A=?,求實(shí)數(shù)a(2)若B?A,求實(shí)數(shù)女拓廣提升15.對(duì)于nn≥2元集合A=a1,a2,?,an,(1)寫(xiě)出一個(gè)“好集”A,使得{1(2)若集合A=a1(3)求出所有的“好集”A,使得A?16.設(shè)集合A是集合P={1,2,?,①集合A中隨意兩個(gè)子集的元素之和不相等;②對(duì)于集合P的隨意k+1元子集B,若A?(1)當(dāng)n=6,(2)當(dāng)n=16時(shí),證實(shí):(3)在(2)的條件下,求集合A的所有元素之和S的最大值.第S講集合的基本運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,能求兩個(gè)集合的并集與交集;2.理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義,能求給定子集的補(bǔ)集;3.能使用Venn圖表示集合的基本運(yùn)算,體味圖形對(duì)理解抽象概念的作用.要點(diǎn)提煉1.集合基本運(yùn)算的定義(1)并集普通地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為集合A與B的并集,記作A∪B,讀作“A并A(2)交集普通地,由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為集合A與B的交集,記作A∩B,讀作“A交A（3）補(bǔ)集普通地,倘若一個(gè)集合含有所研究問(wèn)題中涉及的所有元素,那么就稱這個(gè)集合為全集,通常記作U.對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集,記作?U?2.集合基本運(yùn)算的Venn圖集合運(yùn)算AUBAC?Venn圖3.集合基本運(yùn)算的性質(zhì)(1)異常集合的運(yùn)算AA?(2)并集和交集的運(yùn)算律集合的并集、交集運(yùn)算滿意交換律和結(jié)合律,即AA（3）集合運(yùn)算與包含關(guān)系的聯(lián)系A(chǔ)A（4）補(bǔ)集與并集、交集的聯(lián)系對(duì)于兩個(gè)集合的交集或并集的補(bǔ)集,有如下性質(zhì):并集的補(bǔ)集是補(bǔ)集的交集,交集的補(bǔ)集是補(bǔ)集的并集,即??我們可以通過(guò)Venn圖進(jìn)一步理解這些性質(zhì).4.容斥原理對(duì)于有限集A,我們用cardA表示集合A中的元素個(gè)數(shù),那么對(duì)于兩個(gè)非空有限集A,Bcard范例精講例1已知集合A=xx解析:依題意,A={故A∪例2已知全集U=R,集合A={解析:依題意,?U故A∩評(píng)注:對(duì)于延續(xù)型無(wú)限集的基本運(yùn)算問(wèn)題,可以借助數(shù)軸直觀地表示出其中的集合,從而協(xié)助我們得出所求集合.異常地,要注重集合的邊界是否能取到,注重不等號(hào)是不是鄭重不等號(hào),尤其是與補(bǔ)集相關(guān)的問(wèn)題.例3已知全集U={x∈解析:依題意,U={0,評(píng)注:對(duì)于離散型無(wú)限集的基本運(yùn)算問(wèn)題,可以借助Venn圖直觀地表示出其中的集合,從而協(xié)助我們得出所求集合.例4已知集合A={(1)當(dāng)a=?1時(shí),求(2)若A∪B=解析:(1)當(dāng)a=?1時(shí),B={(2)由A∪B=①當(dāng)B=?時(shí),2a≥a+1②當(dāng)B≠?時(shí),a<12a結(jié)合a<1知綜上所述,a≥?評(píng)注:本題考查集合的基本運(yùn)算和集合包含關(guān)系的聯(lián)系,解決此類問(wèn)題需要首先將集合的基本運(yùn)算中所蘊(yùn)含的包含關(guān)系表示出來(lái),轉(zhuǎn)化為按照集合間的包含關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題.倘若被包含的集合中存在參數(shù),需要注重研究空集,否則會(huì)漏解.倘若題目中的條件涉及較為復(fù)雜的集合運(yùn)算,那么可以借助Venn圖輔助思量.例5某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉,其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳,60%的學(xué)生喜歡足球,A.62%B.56%C.46解析:不妨設(shè)該校學(xué)生有100人,記喜歡足球的學(xué)生組成的集合為A,喜歡游泳的學(xué)生組成的集合為B,則有card由容斥原理得card故既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生占比為46%評(píng)注:本題為容斥原理的應(yīng)用題.在解題時(shí)需要按照已知條件,明確每個(gè)集合的詳細(xì)含義,同時(shí)寫(xiě)出這些集合的元素個(gè)數(shù).最后利用容斥原理解決問(wèn)題.例6滿意{1,2解析:主意一:依題意,A?{1,2,{共有4個(gè),故本題填4.主意二:依題意,A?{1,2,3,4},且{3,評(píng)注:針對(duì)集合運(yùn)算相關(guān)的計(jì)數(shù)問(wèn)題,倘若符合條件的集合不是無(wú)數(shù),那么可以通過(guò)窮舉法將所有符合條件的集合一一列出,在列舉時(shí)要做到不重不漏.此外,我們也可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求給定集合中包含(或不包含)特定元素的子集個(gè)數(shù).V主意歸納本節(jié)內(nèi)容主要涉及集合的基本運(yùn)算和集合基本運(yùn)算的性質(zhì)兩類問(wèn)題,以下將結(jié)合例題對(duì)這兩種題型舉行歸納總結(jié).1.集合的基本運(yùn)算針對(duì)集合的基本運(yùn)算問(wèn)題,需要熟記三種集合基本運(yùn)算的定義,在求解時(shí)針對(duì)不同的集合,可以借助數(shù)軸或者Venn圖輔助思量.(1)延續(xù)型無(wú)限集:此類集合通常是一些不等式的解集.針對(duì)這一問(wèn)題,可以在數(shù)軸上將相關(guān)集合表示出來(lái),進(jìn)而得出所求集合的運(yùn)算結(jié)果.在畫(huà)圖時(shí)要注重每一個(gè)集合的邊界是否能取到,非鄭重不等號(hào)用實(shí)心點(diǎn)表示,鄭重不等號(hào)用空心點(diǎn)表示.異常地,在求補(bǔ)集時(shí)要注重改變邊界處的點(diǎn).(2)離散型有限集:此類集合普通是整數(shù)集的有限子集.針對(duì)這一問(wèn)題,可以在Venn圖中將全擴(kuò)散每一個(gè)元素標(biāo)在對(duì)應(yīng)的位置,進(jìn)而得出所求集合的運(yùn)算結(jié)果.2.集合基本運(yùn)算的性質(zhì)與集合基本運(yùn)算的性質(zhì)相關(guān)的問(wèn)題主要分為以下幾類.(1)求參數(shù)問(wèn)題:要注重集合基本運(yùn)算和集合間的基本關(guān)系之間的聯(lián)系,將題中的條件轉(zhuǎn)化為集合間基本關(guān)系問(wèn)題求解.求解時(shí)要注重研究被包含集合是否為空集.(2)計(jì)數(shù)問(wèn)題:此類計(jì)數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為求給定集合包含(或不含)特定元素的子集個(gè)數(shù)問(wèn)題,可以使用公式法或窮舉法解決.（3）容斥原理的應(yīng)用:容斥原理相關(guān)應(yīng)用題需要通過(guò)閱讀題目中給出的信息,明確每個(gè)集合的實(shí)際意義,并寫(xiě)出這些集合的元素個(gè)數(shù).此外,容斥原理也可以應(yīng)用到3個(gè)集合的場(chǎng)合:cardA∪B達(dá)標(biāo)檢測(cè)女基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.已知集合A={x∈A.{x∣C.{0,2.已知集合A={xxA.{x∣?C.{x∣?3.已知集合A={?1,0B.{?C.{?D.{4.某班共有學(xué)生48人,現(xiàn)對(duì)該班學(xué)生業(yè)余興趣舉行調(diào)查,結(jié)果如下:喜歡運(yùn)動(dòng)的學(xué)生有20人,喜歡游戲的學(xué)生有37人,兩者都喜歡的學(xué)生有12人.則該班學(xué)生中既不喜歡運(yùn)動(dòng)又不喜歡游戲的學(xué)生有()A.3人B.6人C.9人D.12人5.已知集合A={1,A.{1}C.{1,6.(1)若集合A={x,(2)若集合A={x∣k+女綜合練習(xí)7.已知全集U=R,集合AA.{?1,C.{?1,8.(多選)已知集合A=y∣y=A.A=BC.A∪B9.(多選)設(shè)全集U={0,1,2∩A={1A.AB.BC.AD.?10.(多選)圖中陰影部分的集合可以表示為()A.BB.?C.BD.A11.(多選)由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)向來(lái)延續(xù)到19世紀(jì).直到1872年,德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從延續(xù)性的要求出發(fā),利用有理數(shù)的“分割”定義無(wú)理數(shù)(史稱“戴德金分割”),并把實(shí)數(shù)理論建立在鄭重的科學(xué)基礎(chǔ)上,才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代,也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂的“戴德金分割”,是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空子集M,N,滿意M∪N=Q,M∩N=?,且集合A.若M={x∈B.存在一個(gè)“戴德金分割”M,N,使得M中無(wú)最大元素,且C.存在一個(gè)“戴德金分割”M,N,使得M中有最大元素,但D.存在一個(gè)“戴德金分割”M,N,使得M中有最大元素,且12.(1)已知全集U=R,集合A={x∣(2)已知集合A={x∣1≤13.已知集合A=x?x2(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)設(shè)全集U={x∈14.對(duì)于兩個(gè)集合A,B,定義集合A與集合B的差集A{(1)當(dāng)m=?2時(shí),求(2)若A?B=女拓廣提升15.已知A是非空數(shù)集,倘若對(duì)于隨意x,y∈A,都有(1)證實(shí):集合A={(2)判斷以下兩個(gè)命題的真假:(i)命題p:若非空數(shù)集A1,A(ii)命題q:若非空數(shù)集A1,A2均為“封閉集”,且16.對(duì)于集合A,記集合A中的元素個(gè)數(shù)為A,并規(guī)定空集的元素個(gè)數(shù)為0.當(dāng)集合A的子集Ai滿意Ai=2時(shí),稱Ai為A的二元子集.現(xiàn)已知集合A={1,2,3,?,n}n②B=m,③B∩Ai(1)當(dāng)n=3時(shí),證實(shí):集合A具有性質(zhì)(2)當(dāng)n=6時(shí),判斷集合A是否具有性質(zhì)(3)若集合A具有性質(zhì)P2023,求n第講充足條件與須要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)梳理典型數(shù)學(xué)命題,理解須要條件的含義,理解性質(zhì)定理與須要條件的關(guān)系;2.通過(guò)梳理典型數(shù)學(xué)命題,理解充足條件的含義,理解判定定理與充足條件的關(guān)系;3.通過(guò)梳理典型數(shù)學(xué)命題,理解充要條件的含義,理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系.要點(diǎn)提煉1.充足條件與須要條件普通地,“若p,則q”為真命題,是指由條件p通過(guò)推理可以得出結(jié)論q,這時(shí)我們就說(shuō),由p可以推出q,記作p并且說(shuō),p是q的充足條件,q是p的須要條件.倘若“若p,則q”為假命題,那么由條件p不能通過(guò)推理得出結(jié)論q,記作p?q,此時(shí),我們就說(shuō)p不是q的充足條件,q不是p的2.充要條件、四種基本關(guān)系普通地,倘若“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均為真命題,即既有p?q,又有q?p,則稱p是qp對(duì)于普通的條件p和結(jié)論q,按照p能否推出q以及q能否推出p,可以分為如下四種關(guān)系:(1)充要條件:“若p,則q”為真命題,“若q,則p”為真命題,即p?（2）充足不須要條件:“若p,則q”為真命題,“若q,則p”為假命題,即p?（3）須要不充足條件:“若p,則q”為假命題,“若q,則p”為真命題,即p?(4)既不充足也不須要條件:“若p,則q”為假命題,“若q,則p”為假命題,即p?q,p與q的關(guān)系ppqp,p是q的須要不充足條件qp是q的充足不須要條件p,q互為既不充足也不3.充足條件、須要條件和集合的聯(lián)系若p以集合A的形式浮上,q以集合B的形式浮上,即A={x∣x滿意條件p},(1)若A?B,則p是q的充足條件;若A?B,則p是q的(2)若B?A,則p是q的須要條件;若B?A,則p是q的(3)若A=B,則p是(4)若A?B,且B?A,則p是q的既不范例精講例1在下列“若p,則q”形式的命題中,哪些命題中的p是q的充足條件,哪些命題中的p是q的須要條件:(1)若x2=1(2)若四邊形的兩組對(duì)邊分離平行,則這個(gè)四邊形是平行四邊形;(3)若AB=AC,則(4)若x,y均為無(wú)理數(shù),則解析:對(duì)于(1),由x2=1知x=±1,故p由x=1知x2=1,故p對(duì)于(2),由平行四邊形的定義知p是q的充足條件,p也是q的須要條件.對(duì)于(3),當(dāng)AB=AC時(shí),△ABC是等腰三角形,故p是q當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),兩腰不一定是AB,AC,故p不是q對(duì)于(4),取x=?2,y=2,則x+y=0∈Q,故綜上所述,命題(2)(3)中p是q的充足條件,命題(1)(2)中p是q的須要條件.評(píng)注:在判斷充足條件和須要條件時(shí),只需驗(yàn)證命題“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”的真假,結(jié)合充足條件和須要條件的定義即可做出判斷.異常地,我們有以下三個(gè)迅速判斷主意:(1)倘若該命題是一個(gè)數(shù)學(xué)定義,那么這個(gè)命題中的p是q的充要條件;（2）倘若該命題是一個(gè)判定定理,那么這個(gè)命題中的p是q的充足條件;(3)倘若該命題是一個(gè)性質(zhì)定理,那么這個(gè)命題中的p是q的須要條件.例2已知x∈R,則“x>A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件解析:當(dāng)x>1時(shí),x2當(dāng)x2>1時(shí),x<?1因此本題選A.評(píng)注:在判斷四種關(guān)系時(shí),需要逐一驗(yàn)證充足性和須要性是否成立.異常地,在一定充足性或須要性時(shí),除了通過(guò)推理論證,也可以通過(guò)舉反例來(lái)一定.例如本題的須要性,可以取x=?2,此時(shí)x<1,但x例3(多選)已知p是r的充足不須要條件,q是r的充足條件,s是r的須要條件,q是s的須要條件,則下列說(shuō)法準(zhǔn)確的是()A.r是q的充要條件B.p是q的充足不須要條件C.r是q的充足不須要條件D.r是s的充要條件解析:依題意,p?r,r?p,且由p?r,r?q知p?q,而q?r,r?p,故故本題選ABD.評(píng)注:本題考查命題充足性和須要性之間的傳遞性:倘若命題“若p,則q”和命題“若q,則r”均為真命題,則命題“若p,則r”也是真命題,即倘若p?q,例4已知集合A=x∣x2?8x?20解析:依題意,A={由x∈A是x∈B的①當(dāng)1?m≥1+m,即②當(dāng)1?m<1+m,即m>0時(shí),由綜上所述,m<評(píng)注:利用充足條件或須要條件求參數(shù)范圍問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為利用集合間的基本關(guān)系問(wèn)題舉行求解.求解時(shí)倘若被包含的集合中含有參數(shù),需要考慮空集的情形.例5已知p:?1<x<5,q:1?解析:記集合A={由p是q的充足不須要條件知A?B,故1?當(dāng)a=2時(shí),A=B,此時(shí)故a>評(píng)注:在處理充足不須要條件或須要不充足條件求參數(shù)問(wèn)題時(shí),需要注重邊界處的等號(hào)能否取到,即當(dāng)參數(shù)取得邊界處的值時(shí),判斷會(huì)不會(huì)浮上充要條件的情況,并把充要條件對(duì)應(yīng)的參數(shù)舍去.例6已知a,b,c均為實(shí)數(shù)且a≠0,證實(shí):"解析:充足性:若ac<0成立,則故方程ax2+又x1x2=ca=須要性:若于x的方程ax則Δ=b2?4ac>0綜上所述,原命題得證.評(píng)注:證實(shí)p是q的充要條件,需要同時(shí)證實(shí)p?q和q?p,即從正反兩個(gè)方向證實(shí)給定的命題為真.而證實(shí)p是q的充足不須要條件或須要不充足條件時(shí),除了1主意歸納本節(jié)內(nèi)容主要涉及充足條件和須要條件的判斷、應(yīng)用和證實(shí)三類問(wèn)題,以下將結(jié)合例題對(duì)這三種題型舉行歸納總結(jié).1.充足條件和須要條件的判斷充足條件和須要條件有如下三類判斷主意:(1)從命題角度判斷設(shè)“若p,則q”為原命題,則“若q,則p”為其逆命題.①若原命題為真,則p是q的充足條件;若逆命題為真,則p是q的須要條件.②若原命題為真,且逆命題為真,則p是q的充要條件.③若原命題為真,且逆命題為假,則p是q的充足不須要條件.④若原命題為假,且逆命題為真,則p是q的須要不充足條件.⑤若原命題為假,且逆命題為假,則p是q的既不充足也不須要條件.（2）從集合角度判斷設(shè)集合A={x∣x滿意條件p},B={x∣x條件p和條件q的關(guān)系集合A和集合B的關(guān)系p是q的充足條件Ap是q的須要條件Bp是q的充要條件Ap是q的充足不須要條件Ap是q的須要不充足條件Bp是q的既不充足也不須要條件A?B(3)從轉(zhuǎn)化的角度判斷在處理較為復(fù)雜的命題時(shí),可以采用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方式舉行處理,對(duì)于不同的命題,有如下兩種轉(zhuǎn)化方式:①充要條件轉(zhuǎn)化法:倘若題目中給的條件p或q比較復(fù)雜,可以將p或q轉(zhuǎn)化為它的一個(gè)充要條件r后舉行判斷,例如找到條件r?p,此時(shí)r和q的關(guān)系與p和②逆否命題轉(zhuǎn)化法:因?yàn)橐粋€(gè)命題和它的逆否命題同真假,故在對(duì)于一些形如“若p,則q”的命題較難判斷真假時(shí),可以考慮它的逆否命題“若非q,則非p”,進(jìn)而判斷出原命題的真假.2.充足條件和須要條件的應(yīng)用這類問(wèn)題大部分是給出兩個(gè)條件之間的充足性或須要性,進(jìn)而求參數(shù)的問(wèn)題.在解決此類問(wèn)題時(shí),需要結(jié)合充足條件和須要條件的定義,列出相關(guān)的不等式或方程,借此求解參數(shù).此類問(wèn)題大部分可以轉(zhuǎn)化為集合間的基本關(guān)系來(lái)處理,詳細(xì)轉(zhuǎn)化方式同上表.此外,和集合間的基本關(guān)系問(wèn)題一樣,倘若被包含的集合中含有參數(shù),需要研究其是否為空集,否則容易漏解.3.充足條件和須要條件的證實(shí)充足條件和須要條件的證實(shí)主要分為以下四類:(1)證實(shí)p是q的充要條件:需要同時(shí)證實(shí)命題“若p,則q”和命題“若q,則p”均為真命題;(2)證實(shí)p是q的充足不須要條件:需要證實(shí)命題“若p,則q”成立,同時(shí)舉出反例或通過(guò)推理,判斷“若q,則p”為假命題;(3)證實(shí)p是q的須要不充足條件:需要證實(shí)命題“若q,則p”成立,同時(shí)舉出反例或通過(guò)推理,判斷“若p,則q”為假命題;(4)證實(shí)p是q的既不充足也不須要條件:需要同時(shí)舉出反例或通過(guò)推理,判斷命題“若p,則q”和命題“若q,則p”均為假命題.達(dá)標(biāo)檢測(cè)女基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.若集合A=1,m2A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件2.設(shè)a,b∈R,則“A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件3.在△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)P在直線BC上,則“AP()A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件4.(1)若“x≥a”是“2x?3>(2)若關(guān)于x的不等式x?2m<1成立的一個(gè)充足不須要條件是5.已知全集U=R,集合(1)當(dāng)m=4時(shí),求A∪(2)若“x∈A”是“x∈B”的充足不內(nèi)綜合練習(xí)6.為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,教師上課時(shí)在黑板上寫(xiě)出了三個(gè)集合:A=x?ax?2x<0,B=x?甲:a是小于6的正整數(shù);乙:“x∈A”是“x∈B”的丙:集合C是集合A的真子集.已知這三名學(xué)生的描述均準(zhǔn)確,則實(shí)數(shù)a的值為()A.1B.2C.3D.47.定義集合A與集合B的差集A?B={x∣x∈A,x?B},設(shè)集合A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件8.(多選)對(duì)于實(shí)數(shù)a,A.“a=b”是“B.“a>b+1”是“a>C.“a<2”是“a<3”的D.“b+3是無(wú)理數(shù)”是“9.(多選)“不等式x2?x+m>0A.m>1C.m>210.(多選)已知關(guān)于x的方程x2+mA.方程x2+m?B.方程x2+C.方程x2+D.方程x2+m?11.(1)若p是q的充足不須要條件,q是r的充要條件,則p是r的___條件.(2)已知p:1<x<4,q:m<12.已知集合A=(1)當(dāng)m=0時(shí),寫(xiě)出集合（2）若“x∈A”是“x∈B”的13.已知a1,a2,b1,b14.證實(shí):關(guān)于x的方程x2+mx白拓廣提升15.設(shè)集合M=(1)證實(shí):若x,y∈(2)寫(xiě)出“偶數(shù)2k∈M”的一個(gè)充要條件,并給出16.證實(shí):使得不等式Ax?yx?z+By第5講全稱量詞與存在量詞(學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)已知的數(shù)學(xué)實(shí)例,理解全稱量詞與存在量詞的意義;2.能準(zhǔn)確使用存在量詞對(duì)全稱量詞命題舉行一定;3.能準(zhǔn)確使用全稱量詞對(duì)存在量詞命題舉行一定.要點(diǎn)提煉1.全稱量詞與全稱量詞命題短語(yǔ)“所有的”“隨意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號(hào)“?”表示.含有全稱量詞的命題叫做全稱量詞命題.其普通形式為“對(duì)M中隨意一個(gè)x,?這里的px表示一個(gè)含有變量x2.存在量詞與存在量詞命題短語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號(hào)“?”表示.含有存在量詞的命題叫做存在量詞命題.其普通形式為“存在M中的元素x,?3.命題真假的判斷(1)判斷全稱量詞命題的真假對(duì)于全稱量詞命題“?x∈M,px”,要想驗(yàn)證其為真命題,需要集合M中的每個(gè)元素x能使語(yǔ)句px(2)判斷存在量詞命題的真假對(duì)于存在量詞命題“?x∈M,px”,要想驗(yàn)證其為真命題,只需要在集合M中找到一個(gè)元素x0,使得語(yǔ)句p4.全稱量詞命題與存在量詞命題的一定普通地,對(duì)于語(yǔ)句px,我們用符號(hào)?px(1)全稱量詞命題的一定全稱量詞命題“?x∈M,p(2)存在量詞命題的一定存在量詞命題“?x∈M,p由上可以發(fā)現(xiàn),全稱量詞命題的一定是存在量詞命題,而存在量詞命題的一定是全稱量詞命題.而命題及其一定中,元素x的范圍M沒(méi)有改變,僅有量詞和語(yǔ)句px范例精講例1在下列命題中,哪些是全稱量詞命題?哪些是存在量詞命題?(1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù);(2)有一些直角三角形也是等腰三角形;(3)對(duì)于隨意實(shí)數(shù)x,都有x2(4)存在一些正整數(shù)n,使得n+(5)有一個(gè)內(nèi)角是60°解析:命題(1)中浮上了全稱量詞“所有的”,是全稱量詞命題;命題(2)中浮上了存在量詞“有一些”,是存在量詞命題;命題(3)中浮上了全稱量詞“對(duì)于隨意”,是全稱量詞命題;命題(4)中浮上了存在量詞“存在一些”,是存在量詞命題;命題(5)中固然浮上了存在量詞“有一個(gè)”,但該命題實(shí)際上表示“對(duì)于隨意的等腰三角形,倘若有一個(gè)內(nèi)角是60°,那么這個(gè)等腰三角形是等邊三角形”,有全稱量詞“對(duì)于隨意綜上所述,命題(1)(3)(5)是全稱量詞命題,命題(2)(4)是存在量詞命題.評(píng)注:判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,需要在命題的描述中尋找全稱量詞和存在量詞.常見(jiàn)的全稱量詞有:“所有的”“隨意一個(gè)”“每一個(gè)”“對(duì)于隨意”等.常見(jiàn)的存在量詞有:“存在一個(gè)或一些”“至少有一個(gè)”“并非所有”等.異常地,有一些全稱量詞命題會(huì)將全稱量詞省略,例如上述命題(5),像這樣的幾何定理,在判斷時(shí)需要仔細(xì)推敲該命題的實(shí)際含義,如有須要,可以將被省略的全稱量詞補(bǔ)回去.例2判斷下列命題的真假:(1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù);(2)?x(3)?x(4)有一些等腰梯形的對(duì)角線長(zhǎng)度不相等.解析:對(duì)于命題(1),該命題是全稱量詞命題,注重到2是素?cái)?shù)但不是奇數(shù),故命題(1)為假命題.對(duì)于命題(2),該命題是全稱量詞命題,注重到x2?xy?xy?y對(duì)于命題(3),該命題是存在量詞命題,取x=32對(duì)于命題(4),該命題是存在量詞命題,對(duì)于隨意等腰梯形ABCD,如圖,不妨設(shè)AD//由等腰梯形ABCD知AB=CD,且在△ABC與△DCB中,因?yàn)锳B=因此AC=評(píng)注:當(dāng)判斷全稱量詞命題為真或判斷存在量詞命題為假時(shí),需要對(duì)命題所給范圍內(nèi)的每個(gè)元素x舉行逐一檢驗(yàn)或證實(shí);當(dāng)判斷全稱量詞命題為假或判斷存在量詞命題為真時(shí),只需要舉出一個(gè)例子即可做出判斷.例3已知命題p:?x∈[解析:依題意,x2?a≥0在3當(dāng)3≤x<4時(shí),評(píng)注:全稱量詞命題為真命題意味著語(yǔ)句px對(duì)于集合M內(nèi)的所有元素x恒成立,因此原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題,然后采用分離參數(shù)的主意例4寫(xiě)出下列命題的一定:(1)所有素?cái)?shù)都不是徹低平方數(shù);（2）至少有一個(gè)矩形是菱形;（3）?x(4)?x∈R解析:命題(1)是全稱量詞命題,其一定為“有一些素?cái)?shù)是徹低平方數(shù)”;命題(2)是存在量詞命題,其一定為“所有的矩形都不是菱形”;命題(3)是全稱量詞命題,其一定為“?x命題(4)是存在量詞命題,其一定為“?x,y評(píng)注:在通常情況下,只含有一個(gè)量詞的量詞命題一定的主意為“改變量詞,一定結(jié)論”.異常地,倘若結(jié)論是一個(gè)復(fù)合命題,即結(jié)論中浮上“或”“且”這樣的邏輯銜接詞,在一定時(shí)需要舉行更改.(1)p且q的一定為?p或?(2)p或q的一定為?p且?例5已知命題“?x∈{x解析:依題意,命題“?x故方程x2+2x?a注重到二次函數(shù)y=x2故當(dāng)?3<x故a<?1,或評(píng)注:一個(gè)命題和其一定必然是一真一假,故當(dāng)題目中給出的條件是假命題時(shí),可以轉(zhuǎn)化為判斷該命題的一定為真命題.例6已知命題“?x1≥0,??解析:依題意,函數(shù)y=x12?2x當(dāng)x1≥0時(shí),二次函數(shù)y下面求函數(shù)y=x2①當(dāng)?1≤x②當(dāng)0<x2≤2時(shí),y因此有a?1≥評(píng)注:針對(duì)含有兩個(gè)量詞的量詞命題,需要結(jié)合量詞,將該命題轉(zhuǎn)化為雙變量命題的有解或恒成立問(wèn)題舉行處理.常見(jiàn)的雙變量問(wèn)題可按照如下主意處理:(1)命題?x1∈(2)命題?x1∈(3)命題?x1∈(4)命題?x1∈主意歸納本節(jié)內(nèi)容主要包括量詞命題的判斷、一定和應(yīng)用三類問(wèn)題,以下將結(jié)合例題,對(duì)這三類問(wèn)題舉行歸納總結(jié).1.量詞命題的判斷(1)全稱量詞命題和存在量詞命題的判斷判斷一個(gè)命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題,關(guān)鍵在于尋找命題中的全稱量詞或存在量詞,含有全稱量詞的命題就是全稱量詞命題,含有存在量詞的命題就是存在量詞命題.此外,有一部分全稱量詞命題會(huì)將命題中的全稱量詞省略,比如命題“有兩邊相等的三角形是等腰三角形”,這個(gè)命題看似含有存在量詞“有”,但實(shí)際上這個(gè)命題表示的意思是“對(duì)于所有的三角形,倘若這個(gè)三角形的三邊中有兩邊相等,那么這個(gè)三角形是等腰三角形”,所以該命題是全稱量詞命題.在處理此類命題時(shí),要注重分析命題的真切含義,切不可看到存在量詞就直接認(rèn)為是存在量詞命題.(2)命題真假的判斷判斷量詞命題的真假需要結(jié)合量詞的實(shí)際含義來(lái)考慮.對(duì)于全稱量詞命題“?x∈M,px”,倘若語(yǔ)句px對(duì)于集合M中的每個(gè)元素x對(duì)于存在量詞命題“?x∈M,px”,倘若能找到一個(gè)元素x0∈M,使得語(yǔ)句p因此,在判斷全稱量詞命題為真命題或判斷存在量詞命題為假命題時(shí),需要對(duì)集合M中的每個(gè)元素x舉行逐一驗(yàn)證或證實(shí);在判斷全稱量詞命題為假命題或判斷存在量詞命題為真命題時(shí),只需在集合M中找到一個(gè)例子即可.此外,因?yàn)橐粋€(gè)命題和它的一定有一真一假,故當(dāng)原命題不好判斷真假時(shí),可以判斷其否定的真假,借此得出原命題的真假.2.量詞命題的一定量詞命題的一定按“改變量詞,一定結(jié)論”的方式舉行.(1)全稱量詞命題“?x∈M,p(2)存在量詞命題“?x∈M,p異常地,在一定結(jié)論時(shí)要注重結(jié)論是不是復(fù)合命題,復(fù)合命題的一定要更改其中的邏輯連接詞,例如“或”和“且”要互換,“非”要去掉.(1)p且q的一定為?p或?(2)p或q的一定為?p且?(3)?p的一定為p3.量詞命題的應(yīng)用按照量詞命題的真假,可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式有解或恒成立問(wèn)題、方程有解或無(wú)解的問(wèn)題來(lái)處理.(1)單量詞命題首先,因?yàn)槊}和其一定有一真一假,故可將條件中的某命題為假命題,轉(zhuǎn)化為其一定為真命題.第二,全稱量詞命題為真命題可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題舉行處理;存在量詞命題為真命題可以轉(zhuǎn)化為不等式有解問(wèn)題來(lái)處理.對(duì)于有解或恒成立問(wèn)題,可以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)處理,也可以使用分離參數(shù)的主意處理.(2)雙量詞命題對(duì)于含有兩個(gè)量詞的量詞命題,可以轉(zhuǎn)化為雙變量的有解或恒成立問(wèn)題舉行解決.和單變量問(wèn)題一樣,雙變量問(wèn)題可以結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)處理,也可以將這些變量分離,轉(zhuǎn)化為比較兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題處理.達(dá)標(biāo)檢測(cè)女基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.下列判斷準(zhǔn)確的是()A.“每一個(gè)正方形都是矩形”是存在量詞命題B.“有一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”是全稱量詞命題C.命題“所有整數(shù)都是有理數(shù)”的一定是“有一個(gè)整數(shù)不是有理數(shù)”D.命題“?x>0,x2.已知命題?p和?q中至少有一個(gè)為真命題,則下列說(shuō)法A.命題p和q均為真命題B.命題p和q均為假命題C.命題p和q中至少有一個(gè)是真命題D.命題p和q中至多有一個(gè)是真命題3.命題“?x>0A.?x>C.?x≤4.(1)將命題“實(shí)數(shù)的平方均大于等于零”表示為全稱量詞命題:___.(用符號(hào)語(yǔ)言表示)(2)命題“?x<0綜合練習(xí)5.在下列命題中,既是存在量詞命題,又是真命題的是()A.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x,使得xB.所有的矩形都是正方形C.?D.?6.已知命題“?x∈RA.?4<C.?4<a≤7.已知命題“?x,y∈A.1B.1C.0D.?8.閱讀以下文字材料:已知2為無(wú)理數(shù),若22為有理數(shù),則存在無(wú)理數(shù)a=b=2,使得ab為有理數(shù);若22為無(wú)理數(shù),則取無(wú)理數(shù)aA.22B.22C.存在無(wú)理數(shù)a,b,使得D.對(duì)于隨意無(wú)理數(shù)a,b,都有9.在下列四個(gè)命題中,真命題有()A.?B.?C.?D.?10.(多選)下列命題是真命題的有()A.?xB.對(duì)于隨意的無(wú)理數(shù)x,C.?D.?x11.(多選)下列關(guān)于命題的說(shuō)法準(zhǔn)確的有()A.命題“存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)”是存在量詞命題B.命題“?xC.命題“?x>0,xD.命題“?x∈R12.若命題“?x∈R13.已知集合A={(1)若命題“?x∈B（2）若命題“?x∈A14.已知命題p:?x∈(1)當(dāng)m=0時(shí),判斷命題p和命題(2)若命題p和命題q均為真命題,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.15.在實(shí)數(shù)集上定義運(yùn)算?:x(1)判斷命題“?x(2)若命題“?x∈R女拓廣提升16.(1)已知函數(shù)fx=lnx+2?(2)已知函數(shù)fx=x2?2x,gx進(jìn)階特訓(xùn)1.已知集合A={2,A.{2,4}B.{2.設(shè)全集U={?2,?1,0,A.{1,3}B.{3.已知集合A={x∣2a+A.{a∣C.{a∣4.命題“?x∈RA.?x∈C.?x∈5.“a<b<A.充足不須要條件B.須要不充足條件C.充要條件D.既不充足也不須要條件6.已知集合A=x,A.0B.1C.2D.37.已知a,b∈R,則“A.a+b≠0B.a8.定義差集A?B={x∣x∈9.(多選)已知集合A={1,4,A.1B.2C.3D.410.(多選)已知a,b,A.“a=b”是“B.“a>b”是“a>C.“a<5”是“2a<D.“a是無(wú)理數(shù)”是“a+1是無(wú)理數(shù)”的充足不11.(多選)對(duì)于非空數(shù)集F,倘若F滿意“?a,b∈F,都有a+b,aA.對(duì)于隨意的“數(shù)域”F,都有0∈FB.若“數(shù)域”FC.整數(shù)集Z是一個(gè)“數(shù)域”D.有理數(shù)集Q是一個(gè)“數(shù)域”12.(多選)在整數(shù)集Z中,我們把被正整數(shù)n除所得余數(shù)為k0≤k<n的所有整數(shù)組成的集合記為“n的kA.2023B.若x∈kC.?x,y∈Z,若D.?n∈13.(多選)對(duì)于隨意集合A,B?R,記A⊕B={A.若A⊕BB.若A⊕BC.存在集合A,BD.對(duì)于隨意集合A?B14.(多選)高斯函數(shù)在數(shù)學(xué)中有著重要的運(yùn)用,其定義如下:x表示不超過(guò)x的最大整數(shù).關(guān)于高斯函數(shù),下列說(shuō)法準(zhǔn)確的有()A.?B.?x,y∈C.?D.?15.已知集合A={?1,0,1,2},16.某中學(xué)舉行羽毛球和乒乓球兩項(xiàng)比賽.某年級(jí)積極響應(yīng)小學(xué)號(hào)召,所有學(xué)生都報(bào)名參加了至少一個(gè)項(xiàng)目,已知該班共有23人參加羽毛球項(xiàng)目,有35人參加乒乓球項(xiàng)目,有6人同時(shí)參加羽毛球項(xiàng)目和乒乓球項(xiàng)目,則該年級(jí)的人數(shù)為17.已知命題p:x?1<2,命題q:?1<x<18.設(shè)集合A={1,2,m},其中m19.已知集合A={(1)若C?A,求實(shí)數(shù)(2)若A∩B?20.已知命題p:2x+(1)當(dāng)a=1時(shí),求使得命題p和命題q同時(shí)為真命題的實(shí)數(shù)(2)若p是q的充足條件,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21.已知命題p:?x∈(1)寫(xiě)出命題p和命題q的一定;（2）若命題p和命題q均為真命題,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.22.已知實(shí)數(shù)m≠?1,命題p:(1)當(dāng)m=4時(shí),p是不是q的(2)若?p是?q的___,求實(shí)數(shù)①充足不須要條件,②須要不充足條件.從這兩個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在(2)問(wèn)中的橫線上,并作答.23.對(duì)于給定的正整數(shù)nn≥3,n①a1②a1③A∩若集合A,B滿意以上三個(gè)條件,則稱集合A和集合(1)若集合A={1,5,(2)已知集合A=a1,a2,?,an和集合B=b24.設(shè)集合A是非空數(shù)集,定義集合B={xy∣x,(1)寫(xiě)出集合A={2,(2)若A是由5個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合,求其“生成集”B中元素個(gè)數(shù)的最小值.(3)是否存在由4個(gè)正實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合A,使得其“生成集”B={2,3,參考答案第1講集合的概念與表示基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1.D解析:本題A,B,C三個(gè)選項(xiàng)都能判斷元素是否屬于該集合,而選項(xiàng)Du環(huán)境柔美的城市”具有不決定2.B解析:選項(xiàng)A中的兩個(gè)集合都是點(diǎn)集,對(duì)應(yīng)元素的坐標(biāo)不同,不是同一個(gè)集合,A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B因?yàn)榧显氐臒o(wú)序性,A=B,?B在選項(xiàng)C中,集合A表示正比例函數(shù)y=x的圖象上所有的點(diǎn),集合B是使得代數(shù)式x存心義的所有實(shí)數(shù)x,顯然不是同一個(gè)集合,在選項(xiàng)D中,集合A以空集為元素的集合,集合B是空集,顯然不是同一個(gè)集合,D錯(cuò)誤.綜上所述,本題選B.3.A解析:在選項(xiàng)A中,集合A是方程x2?1=0在選項(xiàng)B中,集合A表示使根式x?1存心義的實(shí)數(shù)x,集合B表示根式x?在選項(xiàng)C中,集合A是使不等式x?1≤3成立的所有天然數(shù),集合B是使不等式x?在選項(xiàng)D中,集合B是不等式0≤x≤2的所有實(shí)數(shù)解,而集合4.0或2解析:若x=1,則x2若x=2,則x2題意;若x=x2,則x=1綜上所述,x=0,或5.解析:(1)由x2?3x+2故題中的集合可用列舉法表示為{1(2)所有不超過(guò)13的奇素?cái)?shù)有3,故題中的集合可用列舉法表示為{3（3）所有正有理數(shù)可用描述法表示為{x(4)由x?3≤故題中的集合可用描述法表示為x綜合練習(xí)6.C解析:由m2?1由m?1?由上可知m=?故B={?因此B中所有元素之和為-1,本題選C.7.A解析:依題意,要使86?x的正因子,即6?x=故B={?8.BC解析:分x<0,①當(dāng)x>00,此時(shí)集合有2個(gè)不同元素;②當(dāng)x=0時(shí),此時(shí)集合惟獨(dú)1個(gè)元素;③當(dāng)x<00,此時(shí)集合有2個(gè)不同元素.綜上所述,該集合可能有1個(gè)或2個(gè)元素,故本題選BC.9.ACD解析:由a,bN+,使得a對(duì)于選項(xiàng)A:a+b=m1+m2+n1+n22,因?yàn)閙1+m2∈N+,n1+n2∈N+,故a+b∈A,?A準(zhǔn)確.對(duì)于選項(xiàng)B:a?b=m1故本題選ACD.10.x?x=mn,m,n∈Z,故Q=11.15解析:滿意a+b=12且a,b的奇偶性相同的正整數(shù)對(duì)滿意ab=12且a,b的奇偶性不同的正整數(shù)對(duì)綜上所述,集合A中共有15個(gè)元素,故本題填15.12.22解析:依題意,A2=x當(dāng)a0=a當(dāng)a0=0當(dāng)a0=1當(dāng)a0=a故集合A2的所有元素之和為413.解析:依題意,一元二次方程x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2,則2解得p代入x2+2px解得x1故B={14.解析:(1)若2∈A,則11若?1∈A,則1若12∈A,則1綜上所述,集合A中還有元素?1(2)集合A不是雙元素集,理由如下:對(duì)于元素x∈A,有11?x要使集合A為雙元素集,則x,若x=11?x若11?x=x?1若x?1x=x綜上所述,假設(shè)不成立.故集合A不是雙元素集.拓廣提升15.669解析:注重到,集合A表示的是所有四位七進(jìn)制數(shù)組成的集合.在這些數(shù)中