6.3.1二項(xiàng)式定理課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性2

二項(xiàng)式定理第六章計(jì)數(shù)原理人教A版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第三冊基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)學(xué)習(xí)單元3

二項(xiàng)式定理

上一學(xué)習(xí)單元,我們學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式,本學(xué)習(xí)單元我們用它們解決一個(gè)在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的(a+b)n展開的問題.二項(xiàng)式定理,即把(a+b)n展開成單項(xiàng)式之和的公式,在數(shù)學(xué)上有著非常重要的地位.

在中學(xué)階段,二項(xiàng)式定理安排在計(jì)數(shù)原理、排列組合知識(shí)之后,隨機(jī)變量及其分布知識(shí)之前,能讓我們看到二項(xiàng)式定理的“聯(lián)系性”,它既是計(jì)數(shù)原理和組合知識(shí)的應(yīng)用,也是解決有關(guān)概率問題的基礎(chǔ).本學(xué)習(xí)單元,我們先觀察幾個(gè)具體的展開式,即(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4的展開式,分析展開式的結(jié)構(gòu),從中發(fā)現(xiàn)一般的二項(xiàng)展開式的規(guī)律,這些規(guī)律是建立二項(xiàng)式定理的關(guān)鍵,它的發(fā)現(xiàn)對于我們的觀察、分析、歸納、概括等能力的要求較高.在此基礎(chǔ)上,我們提出本學(xué)習(xí)單元的研究內(nèi)容:多項(xiàng)式運(yùn)算法則—(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4,…,(a+b)n的展開式—二項(xiàng)式定理—二項(xiàng)式系數(shù)—應(yīng)用.這是學(xué)習(xí)本單元的知識(shí)明線,具體內(nèi)容結(jié)構(gòu)如下圖所示:本學(xué)習(xí)單元的最終目標(biāo)是能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出二項(xiàng)式定理,并會(huì)用它解決有關(guān)的簡單問題.在這個(gè)學(xué)習(xí)過程中,蘊(yùn)含數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)2.理解二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開式的特征,能記住二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).(數(shù)學(xué)抽象)3.正確運(yùn)用二項(xiàng)展開式展開或化簡某些二項(xiàng)式,運(yùn)用通項(xiàng)求某些特定項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)的系數(shù).(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

二項(xiàng)式定理(a+b)n=

.

1.這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.2.二項(xiàng)展開式:等號右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式,二項(xiàng)展開式共有n+1項(xiàng).3.二項(xiàng)式系數(shù):各項(xiàng)的系數(shù)

(k=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).

二項(xiàng)式系數(shù)不一定等于對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)名師點(diǎn)睛理解二項(xiàng)式定理的注意事項(xiàng)(1)二項(xiàng)式定理中的字母a,b是不能交換的,即(a+b)n與(b+a)n的展開式是有區(qū)別的,二者的展開式中的項(xiàng)的排列順序是不同的,不能混淆.(2)二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式,對于任意的a,b,該等式都成立.(3)二項(xiàng)式定理中a和b中間用加號連接,若出現(xiàn)減號,“-”歸屬后邊的字母或數(shù),仍可用二項(xiàng)式定理展開.微思考二項(xiàng)式定理中,項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)有什么區(qū)別?提示

二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念.二項(xiàng)式系數(shù)是指

,它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而與a,b的值無關(guān),而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān).知識(shí)點(diǎn)2

二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)(a+b)n展開式中的

叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng),用Tk+1表示,即通項(xiàng)為展開式的第

項(xiàng):Tk+1=an-kbk.

書寫此公式時(shí)要注意a,b的先后順序及其冪次

k+1名師點(diǎn)睛二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的特點(diǎn)(2)字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同.(3)a與b的次數(shù)之和為n.微思考(a+b)n與(b+a)n的展開式的第

k+1項(xiàng)相同嗎?解題時(shí),題中給出的二項(xiàng)式的兩項(xiàng)是不能隨意交換位置的.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1寫出(a+b)2,(a+b)3,(a+b)4的展開式,分析其運(yùn)算過程,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?問題2由問題1所得到的規(guī)律,你能否猜想得到(a+b)n的展開式,并利用組合數(shù)加以證明?探究點(diǎn)一二項(xiàng)式定理的正用、逆用問題3二項(xiàng)式定理揭示了(a+b)n的展開式的規(guī)律,如何根據(jù)結(jié)構(gòu)正用、逆用二項(xiàng)式定理?規(guī)律方法

1.(a+b)n的二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.2.逆用二項(xiàng)式定理可以化簡多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開式的形式靠攏.探究點(diǎn)二利用二項(xiàng)式定理求待定項(xiàng)及系數(shù)問題4二項(xiàng)式定理中

(k=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù),an-kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng).如何根據(jù)要求,利用二項(xiàng)式定理求待定項(xiàng)及系數(shù)?(1)求n的值;(2)求展開式中x3的系數(shù)及含x3的二項(xiàng)式系數(shù).規(guī)律方法

求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)的常見題型及解法(1)求含xk的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng))→在通項(xiàng)中令字母的指數(shù)為給定的值(2)求常數(shù)項(xiàng)→在通項(xiàng)中令字母的指數(shù)為0(3)求有理項(xiàng)→在通項(xiàng)中令字母的指數(shù)為整數(shù)探究點(diǎn)三利用二項(xiàng)式定理解決整除和余數(shù)問題問題5當(dāng)遇到整除或余數(shù)問題時(shí),如何根據(jù)題意,改變被除數(shù)的形式,再利用二項(xiàng)式定理解決問題?【例3】

試判斷7777-1能否被19整除.規(guī)律方法

利用二項(xiàng)式定理可以解決求余數(shù)和整除的問題,通常需將底數(shù)化成兩數(shù)的和與差的形式,且這種轉(zhuǎn)化形式與除數(shù)有密切的關(guān)系.本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識(shí)清單:(1)二項(xiàng)展開式的展開過程;(2)二項(xiàng)式定理的正用與逆用;(3)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)的應(yīng)用.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū):混淆二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù),不能正確判斷

an-kbk是展開式的第k+1項(xiàng).學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)1234567891011121314A級必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.(a+b)2n的展開式的項(xiàng)數(shù)是(

)A.2n B.2n+1 C.2n-1 D.2(n+1)B解析

易知(a+b)2n的展開式中有2n+1項(xiàng),故展開式的項(xiàng)數(shù)為2n+1.151234567891011121314B1512345678910111213143.(x-y)10的展開式中x6y4的系數(shù)是(

)A.840 B.-840 C.210

D.-210A1512345678910111213144.在(1-x)5-(1-x)6的展開式中,含x3的項(xiàng)的系數(shù)是(

)A.-5 B.5 C.-10 D.10D151234567891011121314A.4 B.5 C.6 D.7B151234567891011121314A.存在n∈N*,展開式中有常數(shù)項(xiàng)B.對任意n∈N*,展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)C.對任意n∈N*,展開式中沒有x的一次項(xiàng)D.存在n∈N*,展開式中有x的一次項(xiàng)AD15123456789101112131441512345678910111213148.代數(shù)式(x+1)4-4(x+1)3+6(x+1)2-4(x+1)+1可化簡為

.

x4

1512345678910111213149.已知

的展開式中的第9項(xiàng)與第10項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等,求x的系數(shù)(用組合數(shù)表示).151234567891011121314B級關(guān)鍵能力提升練10.[2024北京,4]的二項(xiàng)展開式中x3的系數(shù)為(

)A.15 B.6 C.-4 D.-13B15123456789101112131411.對任意實(shí)數(shù)x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,則a2的值為(

)A.3 B.6 C.9 D.21B151234567891011121314A.(-1)n-1 B.(-1)nC.3n

D.3n-1A151234567891011121314C1512345678910111