第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用全章總結(jié)提升課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

第五章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用全章總結(jié)提升人教A版

數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升易錯(cuò)易混·銜接高考目錄索引

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及幾何意義本部分內(nèi)容有導(dǎo)數(shù)的幾何意義,基本初等函數(shù)求導(dǎo)法則、運(yùn)算法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo),主要考查切線方程及切點(diǎn),與切線平行、垂直問(wèn)題,處理此類問(wèn)題一般結(jié)合函數(shù)的切線轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離,平行線間的距離問(wèn)題,然后再研究最值問(wèn)題.通過(guò)求切線方程的有關(guān)問(wèn)題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)和轉(zhuǎn)化化歸數(shù)學(xué)思想.【例1】

(1)設(shè)f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f(x)=xln(2x-1),則f'(1)=

.

2

(2)曲線f(x)=3x-cosx在(0,f(0))處的切線與直線2x-my+1=0垂直,則實(shí)數(shù)m的值為

.

-6解析

f'(x)=3+sin

x,∴f'(0)=3,∴f(x)在(0,f(0))處的切線斜率為3,∵f(x)在(0,f(0))處的切線與直線2x-my+1=0垂直,∴

=-1,解得m=-6.規(guī)律方法

導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是解決一切導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ),要熟練掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則,掌握函數(shù)的和、差、積、商的運(yùn)算法則.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清層次,逐層求導(dǎo),求導(dǎo)時(shí)不要忘了對(duì)內(nèi)層函數(shù)求導(dǎo).變式訓(xùn)練1(1)已知曲線f(x)=alnx+x2在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線x+y=0平行,則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.-3 B.1

C.2

D.3A解析

由f(x)=aln

x+x2,得f'(x)=+2x,則曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線斜率為k=a+2,由切線與直線x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3.-2專題二函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),主要以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三次函數(shù)為載體,研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,并能解決有關(guān)的問(wèn)題;通過(guò)求函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題,培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).【例2】

[2024山東聊城高二月考]已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,a∈R.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明:當(dāng)a≥1時(shí),f(x)≥0.(1)解

f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).①若a≤0,則f'(x)<0,所以f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.②若a>0,由f'(x)=0,得x=-ln

a.當(dāng)x∈(-∞,-ln

a)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(-ln

a,+∞)時(shí),f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,-ln

a)上單調(diào)遞減,在(-ln

a,+∞)上單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-∞,-ln

a)上單調(diào)遞減,在(-ln

a,+∞)上單調(diào)遞增.(2)證明

(方法1)當(dāng)a≥1時(shí),a(e2x+ex)-2ex-x≥e2x-ex-x.令h(x)=e2x-ex-x,則h'(x)=2e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-1),由h'(x)=0得x=0,當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),h'(x)<0,當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),h'(x)>0,所以h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(x)min=h(0)=0.所以,當(dāng)a≥1時(shí),f(x)≥0.(方法2)由(1)知,當(dāng)a≥1時(shí),f(x)在(-∞,-ln

a)上單調(diào)遞減,在(-ln

a,+∞)上單調(diào)遞增.規(guī)律方法

利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決一切應(yīng)用問(wèn)題的基礎(chǔ),一般按照求導(dǎo)、通分、因式分解、分類討論的思路研究函數(shù)的單調(diào)性,從而掌握函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),達(dá)到解決問(wèn)題的目的.變式訓(xùn)練2[2024四川雅安高二期末]已知f(x)=x2-ax+lnx,a∈R.(2)令g(x)=x2-f(x),x∈(0,e](e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).求當(dāng)實(shí)數(shù)a等于多少時(shí),可以使函數(shù)g(x)取得最小值3?專題三與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的綜合性問(wèn)題1.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)以及解決實(shí)際問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具,從近幾年高考題看,利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、證明不等式這些知識(shí)點(diǎn)?？嫉?一般出現(xiàn)在解答題中.其實(shí)質(zhì)就是利用求導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的性質(zhì)及圖象,解決該類問(wèn)題通常是構(gòu)造一個(gè)函數(shù),然后考查這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合給定的區(qū)間和函數(shù)在該區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值使問(wèn)題得以求解.2.通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模,解決函數(shù)方程問(wèn)題,提升邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).【例3】

已知函數(shù)f(x)=xlnx.(1)求f(x)的最小值;(2)若對(duì)所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若關(guān)于x的方程f(x)=b恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.∴當(dāng)x≥1時(shí),g'(x)≥0,且不恒為0,∴g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴g(x)min=g(1)=1,∴a≤1,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].(3)若關(guān)于x的方程f(x)=b恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則y=b的圖象和y=f(x)的圖象在(0,+∞)上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).規(guī)律方法

綜合性問(wèn)題一般伴隨著分類討論、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)造函數(shù)等數(shù)學(xué)思想方法,關(guān)鍵是分類討論時(shí),是否做到了不重不漏;數(shù)形結(jié)合時(shí)是否掌握了函數(shù)圖象的變化趨勢(shì);構(gòu)造函數(shù)時(shí)是否合理等問(wèn)題.變式訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)=ex-ax-1(a∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)在[0,1]上有兩個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.解

(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f'(x)=ex-a,當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)>0在R上恒成立,所以f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),由f'(x)=0,得x=ln

a,所以當(dāng)x∈(-∞,ln

a)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(ln

a,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(ln

a,+∞)上單調(diào)遞增,在(-∞,ln

a)上單調(diào)遞減.(2)由(1)知當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,至多有一個(gè)零點(diǎn),不符合題意;當(dāng)a>0時(shí),當(dāng)ln

a≤0,即0<a≤1時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,不符合題意;當(dāng)0<ln

a≤1,即1<a≤e時(shí),f(x)在[0,ln

a]上單調(diào)遞減,在[ln

a,1]上單調(diào)遞增,且f(0)=0,f(1)=e-a-1,要使f(x)在[0,1]上有兩個(gè)零點(diǎn),當(dāng)ln

a>1,即a>e時(shí),f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,不符合題意.所以當(dāng)a∈(1,e-1]時(shí),f(x)在[0,1]上有兩個(gè)零點(diǎn).專題四導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題中的最優(yōu)問(wèn)題的基本思路(1)設(shè)出變量,找出函數(shù)關(guān)系式,確定定義域;(2)在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中,若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn),則它就是最值點(diǎn).【例4】

某市在創(chuàng)建全國(guó)旅游城市的活動(dòng)中,對(duì)一塊以O(shè)為圓心,R(R為常數(shù),單位:米)為半徑的半圓形荒地進(jìn)行治理改造,其中弓形BCD區(qū)域(陰影部分)種植草坪,△OBD區(qū)域用于兒童樂園出租,其余區(qū)域用于種植觀賞植物.已知種植草坪和觀賞植物的成本分別是每平方米5元和55元,兒童樂園出租的利潤(rùn)是每平方米95元.(1)設(shè)∠BOD=θ(單位:弧度),用θ表示弓形BCD的面積S弓=f(θ);(2)如果該市規(guī)劃辦邀請(qǐng)你規(guī)劃這塊土地,如何設(shè)計(jì)∠BOD的大小才能使總利潤(rùn)最大?并求出該最大值.規(guī)律方法

解決優(yōu)化問(wèn)題的步驟(1)分析問(wèn)題中各個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,并確定函數(shù)的定義域.(2)通過(guò)研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值與最大(小)值,提出優(yōu)化方案,使問(wèn)題得以解決.在這個(gè)過(guò)程中,導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有力的工具.(3)驗(yàn)證數(shù)學(xué)問(wèn)題的解是否滿足實(shí)際意義.變式訓(xùn)練4為響應(yīng)國(guó)家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)萬(wàn)眾創(chuàng)新”的號(hào)召,小王大學(xué)畢業(yè)后決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè),生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)研,生產(chǎn)該小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本2萬(wàn)元,生產(chǎn)x萬(wàn)件,需另投入流動(dòng)成(1)寫出年利潤(rùn)P(x)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x萬(wàn)件的函數(shù)解析式.(年利潤(rùn)=年銷售收入-年固定成本-流動(dòng)成本)(2)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí),小王在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少?(2)當(dāng)0<x<4時(shí),P'(x)=-x2+4,令P'(x)=0,解得x=2.易得P(x)在(0,2)上單調(diào)遞增,在(2,4)上單調(diào)遞減,易錯(cuò)易混·銜接高考12341.函數(shù)y=sin2x+cos2x的導(dǎo)數(shù)y'=

.

2cos2x-sin2x解析

y'=cos

2x·(2x)'+2cos

x·(cos

x)'=2cos

2x-2sin

xcos

x=2cos

2x-sin

2x.12342.[2024重慶銅梁高三階段檢測(cè)]已知函數(shù)f(x)=2xlnx+3.求:(1)f(x)的單調(diào)區(qū)間;1234因?yàn)榍悬c(diǎn)(x0,y0)在f(x)上,所以y0=2x0ln

x0+3,所以2x0ln

x0+2x0+ln

x0+1=2x0ln

x0+3,1234即2x0+ln

x0-2=0.令g(x)=2x+ln

x-2,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞