誘導公式與對稱教學設計 高一下學期數(shù)學北師大版（2019）必修第二冊

教材：北師大版（2019）版高中數(shù)學必修第二冊課題：4.3 誘導公式與對稱一. 課時教學內容由三角函數(shù)的定義及終邊的對稱性抽象誘導公式，公式的簡單應用二．課時教學目標1.了解三角函數(shù)的誘導公式的意義和作用，理解誘導公式的推導過程；2.經歷自主探究發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法（利用坐標的對稱關系，從三角函數(shù)的定義得出相應的關系式）并完成推導過程，并對任意角三角函數(shù)化簡、求值；3.在探究活動中，學生通過獨立思考和合作交流，發(fā)展思維，從探索中獲得成功的體驗，落實數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理素養(yǎng).三． 教學重點與難點教學重點：借助單位圓的對稱性，利用定義推導出前四組誘導公式；教學難點：從單位圓的對稱性與任意角終邊的對稱性中發(fā)現(xiàn)問題，提出研究方法四.教學過程設計（一）創(chuàng)設情境?明確對象師：同學們，我們已經將角的概念已經由銳角擴充到了任意角，前面已經學習過任意角的三角函數(shù)，那么任意角的三角函數(shù)值怎么求呢？先看一個具體的問題：問題1：已知sin6π=12，如何求sin13π6的值？生：學生利用結合任意角三角函數(shù)定義及sin(α+2kπ)=sinα cos(α+2kπ)=cosα（k∈?）公式自主探究并回答問題.師：sin(α+2kπ)=sinα ，cos(α+2kπ)=cosα(k∈Z）實質：終邊相同，三角函數(shù)值相等，用途：“大”角化“小”角π 1 π 7π 5π問題2：已知sin6=2，如何求sin(?6),sin6,sin6的值？那如何把任意角的三角函數(shù)轉化為銳角三角函數(shù)呢？設計意圖：前面的學習中，已經將角的概念從銳角擴充到了任意角，學習了任意角三角函數(shù)的定義，接下來自然地會提出任意角的三角函數(shù)值怎么去求.于是，先安排求特殊值再過渡到一般情形比較符合學生的身心特點和認知規(guī)律，意在培養(yǎng)學生從特殊到一般歸納問題和抽象問題的能力，引導學生在求三角函數(shù)值1時抓坐標、抓角終邊之間的關系.（二）探究新知?構建公式探究一：任意角α與?α三角函數(shù)值的關系.問題3：（1）α與?α的終邊關系如何？（2）α與?α角的終邊分別交單位圓與P1,P2,則P1與P2位置關系如何？（3）設點P1的坐標為(x,y)，則點P2的坐標如何表示？（4）在單位圓中，如何用α與?α表示P1與P2的坐標？（5）sinα與sin(?α)，cosα與cos(?α)的關系如何？α?αxα?αx生：與的終邊關于軸對稱，與的終邊關于軸對稱，若P1(u,v)，則P2(u,?v)，P1(cosα,sinα)，P2(cos(?α),sin(?α))可以得出sin(?α)=?sinα生：sinα是奇函數(shù),cosα是偶函數(shù)，他的作用是“負角化正角”.師：這里的α是第一象限角，是否可以擴充到任意角？這里的核心是什么？教師用GGB演示角α可以是任意角，引導學生體會從特殊角到一般角的變化，驗證普適性.設計意圖：將研究目標分層，降低學生思考的難度。5個問題之間的邏輯關系就是解決方案的框架.師：剛才我們是怎樣獲得公式的？解決問題的思路是什么？預設：發(fā)現(xiàn)兩角的中年與單位圓的交點關于原點對稱，借助三角函數(shù)定義發(fā)現(xiàn)兩角的同名三角函數(shù)值的關系，進而獲得公式.師：起點在哪里？如何簡約、凝練地描述？生：合作提煉：圓的對稱性→角的終邊對稱關系→點的坐標關系→三角函數(shù)值得關系（誘導公式）sin(?6π)=?sin6π=?12師：圓和角是形，三角函數(shù)值是數(shù)，這樣我們就把數(shù)與形聯(lián)系在一起，也就是數(shù)形結合思想，設計意圖：階段小結，讓學生將對稱作為研究三角函數(shù)問題的一種方法使用.將上述研究過程進行梳理，得出“圓的對稱性→角的終邊對稱關系→點的坐標關系→三角函數(shù)值得關系”的研究路線圖.探究二：任意角 與 + 三角函數(shù)值的關系.π 1 7π師：回歸到問題2：已知sin6=2，如何求sin6的值？2問題4：（1） 與+的終邊關系如何？（2）α與α+π角的終邊分別交單位圓與P1,P3,則P1與P3位置關系如何？（3）設點P1的坐標為(x,y)，則點P3的坐標如何表示？（4）在單位圓中，如何用α與α+π表示P1與P3的坐標？（5）sinα與sin(α+π)，cosα與cos(α+π)的關系如何？生：α與α+π的終邊關于原點對稱，P1與P3關于原點對稱，若P1(u,v)，則P3(?u,?v)P1(cosα,sinα)P3(cos(α+π),sin(α+π))可以得到sin(α+π)=?sinαπ由圖，逆時針旋轉可以得到上述公式，若逆時針旋轉，可以得到如下公式sin(α?π)=?sinα師：這組公式作用是什么？生：把~2角化~角，sin7π6=sin（6π+π）=?sin6π=?12設計意圖：通過營造開放的學習氛圍，整理思路，為后繼探索指明方向.探究三：任意角α與π-α三角函數(shù)值的關系.師：再次回歸到問題2：已知sin6π=12，如何求sin5π6的值？生：總結如下公式，并分析作用：把2π~π角化0~2π角，故sin5π6=sin（π?6π）=sin6π=12sin(π?α)=sinα師：你還有其他方法推導公式sin(π?α)=sinα cos(π?α)=?cosα嗎？設計意圖：借助終邊關于y軸對稱找出兩角的關系要比終邊關于原點，x軸對稱難度找兩角的關系大一點，前面已經有了探究的體驗，研究問題的思路學生已經清楚了，只要能找出終邊關于y軸對稱的兩角的最簡表示形式即α與π?α，公式的推導就會水到渠成。在此過程中充分調動學生學習的積極性和激發(fā)學生的參與、探究和體驗的欲望，讓他們既動腦又動手，讓學生體驗數(shù)與形的關系，嘗試自主探究的樂趣.問題5：你能概括所學誘導公式的共同特點和規(guī)律嗎？sin(α+2kπ)=sinαsin(α±π)=sinαsin(?α)=?sinαsin(π?α)=sinα

cos(α+2kπ)=cosα（k ）cos(α±π)=?cosαcos(?α)=cosαcos(π?α)=?cosα3生：結構特征：1.角α為任意角；2.左右兩端三角函數(shù)名不變，α角不變，只是前面多了一個正負號;3.符號判斷方法，把α看成銳角時，原函數(shù)值不變.師：可以簡化為一句“函數(shù)名不變，符號看象限”生：還可以從定義記憶設計意圖：歸納總結新課知識，幫助學生更加深入理解誘導公式.（三）探究新知?辨析公式思考：（1）如果兩個角的同名三角函數(shù)值相等，它們的終邊一定相同嗎？（×）（2）你能找出與角6π正弦值相等，但終邊不同的更多的角嗎？（×）（3）若sinα=?sin6π,則α一定為?6π？（×）設計意圖：引導學生逆向思考，通過層層追問形成公式的反向印證。同樣的公式，思考順序相反，邏輯軌跡相反，但核心理念、思路框架結構是一樣的。（四）例題分析?鞏固新知例求下列三角函數(shù)值：（1）sin(?5π)；（2）cos2π；（3）sin11π；（4）cos(?31π).4366?5p?5p?p?p解()244442è?è?(2)cos2p?p??p?p1=cos?-+p÷=-cos?-÷=-cos=-;33332è?è??11p??p??p?p13sin=sin-+2p=sin-=-sin=-;?6662è?è?è6??31p??31p??7p?7p?p?p3(4)cos?-÷=cos?÷=cos?+4p÷=cos=cos?+p÷=-cos=-;66662è?è?è6?è6?練習：求下列三角函數(shù)值：（1）sin11π；（2）cos（?10π)；（3）sin（?10π).3334設計意圖：學生獨立去實踐解決問題，在實踐中體會誘導公式在解題過程中的應用，使任意一個角都轉化為他們所熟知的銳角，體會從未知到已知的化歸思想，從而為總結出解題的一般步驟奠定基礎.（五）歸納梳理?升華認知你能從探究過程、生成的知識和思想方法方面談談本節(jié)課的收獲嗎？回顧本節(jié)課流程，我們從sin6π=12，探究如何求另外幾個角的正弦值這個問題出發(fā)，總結出要想解決這個問題，就從定義出發(fā)，通過圓的對稱性→角的終邊對稱關系→點的坐標關系→三角函數(shù)值得關系得到?α、α±π、π?α與角α的三角函數(shù)值的關系，也就是這幾組誘導公式。本節(jié)課我們把不熟悉的問題轉化為我們熟悉的問題，體現(xiàn)了數(shù)學中的化歸思想，探究路徑體現(xiàn)了數(shù)形結合思想.師生活動：引導學生回顧本節(jié)課所學知識和學習過程.設計意圖：讓學生梳理數(shù)學知識、感悟數(shù)學思想、體會數(shù)學研究方法.（六）課后作業(yè)?鞏固成果1.基礎鞏固課本21面