超幾何分布二項分布正態(tài)分布

/超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、通過實例，理解超幾何分布與其特點，掌握超幾何分布列與其導(dǎo)出過程，并能進行簡單的應(yīng)用。

2、理解n次獨立重復(fù)試驗(即n重伯努利試驗)與其意義，理解二項分布并能解決一些簡單的實際問題。

3、借助直觀圖，了解是正態(tài)分布曲線與正態(tài)分布，認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點與曲線表示的意義。

4、會查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，會求滿足正態(tài)分布的隨機變量x在某一范圍內(nèi)的概率。

【重點與難點】

重點：正確理解超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布的意義。

難點：正確進行超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布有關(guān)概率的計算。

【知識要點】

1、超幾何分布：

一般地，若一個隨機變量x的分布列為：P(x＝r)＝①

其中r＝0，1，2，3，……，，＝min(n，M)，則稱x服從超幾何分布。

記作x～H(n，M，N)，并將P(x＝r)＝，記為H(r，n，M，N)。

如：在一批數(shù)量為N件的產(chǎn)品中共有M件不合格品，從中隨機取出的n件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)x的概率分布列如表一所示：

(表一)

其中＝min(n，M)，滿足超幾何分布。

2、伯努利試驗(n次獨立重復(fù)試驗)，在n次相互獨立試驗中，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的結(jié)果A與出現(xiàn)，P(A)＝p∈(0，1)，這樣的試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗，也稱為伯努利試驗。

P()＝1－p＝q，則在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率(0≤k≤n)為P(k)＝(k＝0，1，2，3，……，n)，它恰好是(q＋p)n的二項展開式中的第k＋1項。

3、二項分布：若隨機變量x的分布列為p(x＝k)＝，其中0＜p＜1，p＋q＝1，k＝0，1，2，……，n，則稱x服從參數(shù)為n、p的二項分布，記作x～B(n，p)。

如：n次射擊中，擊中目標(biāo)k次的試驗或投擲骰子n次，出現(xiàn)k次數(shù)字5的試驗等均滿足二項分布。

3、正態(tài)分布曲線。

(1)概率密度曲線：當(dāng)數(shù)據(jù)無限增多且組距無限縮小，那么頻率直方圖的頂邊無限縮小乃至形成一條光滑的曲線，則稱此曲線為概率密度曲線。

(2)正態(tài)密度曲線：概率密度曲線對應(yīng)表達式為P(x)＝(x∈R)的曲線稱之為正態(tài)密度曲線。

正態(tài)密度曲線圖象特征：

①當(dāng)x＜μ時曲線上升；當(dāng)x＞μ時曲線下降；當(dāng)曲線向左右兩邊無限延伸時，以x軸為漸近線。

②正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱。

③σ越大，正態(tài)曲線越扁平；σ越小，正態(tài)曲線越尖陡。

④在正態(tài)曲線下方和x軸上方范圍內(nèi)的區(qū)域面積為1。

4、正態(tài)分布：若x是一個隨機變量，對任意區(qū)間，P恰好是正態(tài)密度曲線下方和x軸上上方所圍成的圖形的面積，我們就稱隨機變量x服從參數(shù)為μ和σ的正態(tài)分布，簡記為x～N(μ，σ2)。

在現(xiàn)實世界中很多隨機變量遵循正態(tài)分布。如：反復(fù)測量某一個物理量，其測量誤差x通常被認(rèn)為服從正態(tài)分布；某一地區(qū)同性別同年齡組兒童的體重W也近似地服從正態(tài)分布。

若x～N(μ，σ2)，則隨機變量x在μ的附近取值的概率很大，在離μ很遠處取值的概率很少。如圖一所示：隨機變量x取值落在區(qū)間(μ－σ，μ＋σ)上的概率約為68.3%，落在區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率約為95.4%，落在區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率約為99.7%。

其中，μ實際上就是隨機變量x的均值，σ2為隨機變量x的方差，它們分別反映x取值的平均大小和穩(wěn)定程度。

5、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：正態(tài)分布N(0，1)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，此時，P(x)＝(x∈R)，通過查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可以確定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機變量的有關(guān)概率。

數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，在多種微小因素影響下，如果沒有一種影響占主導(dǎo)地位，則這樣的隨機變量服從正態(tài)分布，特別是在獨立地大數(shù)量重復(fù)試驗時，就平均而言，任何一個隨機變量的分布都將趨近于正態(tài)分布，這就是中心極限定理，中心極限定理告訴我們在平均重復(fù)觀察多次后，我們可以利用正態(tài)分布對隨機事件進行分析和預(yù)報。

可以證明，對任一正態(tài)分布x～N(μ，σ2)來說，都可以通過z＝轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布z～N(0，1)。

6、利用Excel進行有關(guān)概率計算。

(1)超幾何分布函數(shù)計算：按“插入/函數(shù)/統(tǒng)計”選擇超幾何分布函數(shù)“HYPGEOMDIST”，然后依次輸入r、n、M、N的值，或直接在單元格內(nèi)輸入“＝HYPGEOMDIST(4；5，10，30)”即可得到后邊例1中H(4；5，10，30)的值，約為0.029472443。

(2)二項分布函數(shù)計算：選擇“插入/函數(shù)/統(tǒng)計”，選擇二項分布函數(shù)“BINOMDIST”，然后依提示輸入相應(yīng)的參數(shù)k、n、p的值，或在單元格內(nèi)直接輸入“＝BINOMDIST(80，10000，0.006，1)”即可得到后面例4中P(x≤80)的值，約為0.994。

(3)正態(tài)分布函數(shù)計算：選擇“插入/函數(shù)/統(tǒng)計”，選擇正態(tài)分布函數(shù)“NORMDIST”，輸入相應(yīng)參數(shù)x、μ、σ的值，或在單元格內(nèi)直接輸入“＝NORMDIST(184.5，184，2.5，1)”，就可得到后邊例6中P(x≤184.5)的值，約為0.5793。

7、二項分布的近似計算。

對于二項分布函數(shù)，當(dāng)n比較大，而p比較小(p≤0.1)，而乘積np大小“適中”時，可以利用近似公式P(x＝k)＝來計算。

【典型例題分析】

例1：高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計了一項游戲：在一個口袋中裝有10個紅球，20個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5個球，摸到4個紅球一個白球就中一等獎，求中一等獎的概率。

解：以30個球為一批產(chǎn)品，其中紅球為“不合格品”，隨機抽取5個球，x表示抽到的紅球數(shù)，

則x服從超幾何分布H(5，10，30)，

由超幾何分布公式可得：H(4；5，10，30)＝≈0.0295，

所以獲一等獎的概率約為2.95%。

例2：生產(chǎn)方提供50箱的產(chǎn)品中，有兩箱不是合格產(chǎn)品，采購方接收該批產(chǎn)品的準(zhǔn)則是：從該批產(chǎn)品中任取5箱產(chǎn)品進行檢測，若其中的不合格產(chǎn)品不超過一箱，則接收該批產(chǎn)品，問：該批產(chǎn)品被接收的概率是多少？

解：用x表示5箱中的不合格品的箱數(shù)，

則x服從超幾何分布H(5，2，50)，

這批產(chǎn)品被接收的條件是5箱中有0或1箱不合格產(chǎn)品，

故該產(chǎn)品被接收的概率為P(x≤1)即：

P(x≤1)＝P(x＝0)＋P(x＝1)＝

＝＝

＝

＝≈0.992

答：該批產(chǎn)品被接收的概率約為99.2%。

例3：求拋擲100次均勻硬幣，正好出現(xiàn)50次正面向上的概率。

分析：將一枚均勻硬幣隨機拋擲100次，相當(dāng)于做了100次獨立重復(fù)試驗，每次試驗有兩個可能結(jié)果，即出現(xiàn)正面(A)與出現(xiàn)反面()且P(A)＝P()＝0.5。

解：設(shè)x為拋擲100次硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)，

依題意隨機變量x～B(100，0.5)，

則P(x＝50)＝≈8%。

答：隨機拋擲100次均勻硬幣，正好出現(xiàn)50次正面的概率約為8%。

例4：某保險公司規(guī)定：投保者每人每年交付公司保險費120元的人身意外保險，則投保者意外傷亡時，公司將賠償10000元，如果已知每人每年意外死亡的概率為0.006，若該公司吸收10000人參加保險，問該公司賠本與盈利額在400000元以上的概率分別有多大？

解：設(shè)這10000人中意外死亡的人數(shù)為x，

根據(jù)題意，x～B(10000，0.006)，P(x＝k)＝，

當(dāng)死亡人數(shù)為x人時，公司要賠償x萬元，

此時，公司的利潤為(120－x)萬元，

由上述分布，公司賠本的概率為：

P(120－x<0)＝1－P(x≤120)＝1－＝1－≈0，

這說明，公司幾乎不會賠本，利潤不少于400000元的概率為：

P(120－x≥40)＝P(x≤80)＝＝≈0.994，

即公司約有99.4%的概率可以賺到400000元以上。

例5：若隨機變量z～N(0，1)，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，求：

(1)P(z≤1.52)；(2)P(z＞1.52)；(3)P(0.57＜z≤2.3)；(4)P(z≤－1.49)。

解：(1)P(z≤1.52)＝0.9357。

(2)P(z＞1.52)＝1－P(z≤1.52)＝1－0.9357＝0.0643。

(3)P(0.57＜z≤2.3)＝P(z≤2.3)－P(z≤0.57)＝0.9893－0.7157＝0.2736。

(4)P(z≤－1.49)＝P(z≥1.49)＝1－P(z≤1.49)＝1－0.9319＝0.0681。

例6：某批待出口的水果罐頭，每罐凈重x(g)服從正態(tài)分布N(184，2.52)，求：

(1)隨機抽取一罐，其實際凈重超過184.5g的概率。

(2)隨機抽取一罐，其實際凈重在179g與189g之間的概率。

解：(1)P(x＞184.5)＝P＝P(z＞0.2)＝1－P(z≤0.2)＝1－0.5793＝0.4207。

(2)P(179＜x≤189)＝P

＝P(－2＜z≤2)＝P(z≤2)－P(z≤－2)

＝P(z≤2)－P(z≥2)＝P(z≤2)－[1－P(z≤2)]

＝2P(z≤2)－1＝2×0.9772－1＝0.9544

答：隨機抽取一罐，其實際凈重超過184.5g的概率是0.4207，在17