2024年山東省日照市金海岸中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷

第1頁（共1頁）2024年山東省日照市金海岸中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．趙爽弦圖 B．笛卡爾心形線 C．科克曲線 D．斐波那契螺旋線2．（3分）據(jù)報(bào)道，2023年“十一”假期全國國內(nèi)旅游出游合計(jì)826000000人次．?dāng)?shù)字826000000用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A．82.6×107 B．8.26×108 C．0.826×109 D．8.26×1093．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．5a﹣4a＝1 B．（a﹣b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（﹣3a）2＝﹣9a2 D．（﹣2a）3（﹣a）2＝﹣8a54．（3分）圖2是圖1中長方體的三視圖，若用S表示面積，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，則S俯＝（）A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x5．（3分）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有二人共車九人步；三人共車，則9需要步行：若每輛車都坐3人，則兩輛車是空的，y個人，根據(jù)題意（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，在菱形ABCD中，P是對角線AC上一動點(diǎn)，面積為24，則PE+PF的值為（）A．4 B． C．6 D．7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，分別以點(diǎn)A，C為圓心AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．18．（3分）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x≤﹣2，且關(guān)于y的分式方程＝，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣139．（3分）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中，小明同學(xué)要測量一座與地面垂直的古塔AB的高度，然后沿斜坡CE前行20m到達(dá)最佳測量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測得塔頂A的仰角為30°，且點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)（）A． B． C． D．40m10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n）（0，2）和（0，3）兩點(diǎn)之間（包含端點(diǎn)）．下列結(jié)論中正確的是（）①不等式ax2+c＜﹣bx的解集為x＜﹣1或x＞3；②9a2﹣b2＜0；③一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩個根分別為，x2＝﹣1；④6≤3n﹣2≤10．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④二、填空題（每題3分，共18分）11．（3分）若使分式有意義，則x的取值范圍．12．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若該方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β＝5．13．（3分）如圖，在正方形ABCD中，以A為圓心，再以AD為直徑作半圓，連接AC，則圖中陰影部分的面積為．14．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點(diǎn)A，B，O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．15．（3分）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別為反比例函數(shù)與，D在x軸上，BA，F(xiàn)，則陰影部分的面積為．16．（3分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，F(xiàn)是AD上一動點(diǎn)，取AB中點(diǎn)E，若BD＝2，則△BEF周長的最小值是．三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）（1）計(jì)算：．（2）先化簡，再求值：，其中x＝3．18．（8分）在4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，從全校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生（單位：小時）．把調(diào)查結(jié)果分為四檔，A檔：t＜8；C檔：9≤t＜10；D檔：t≥10．根據(jù)調(diào)查情況①A檔和D檔的所有數(shù)據(jù)是：7，7，7.5，10，7，7，7.5，7，7，10.5；②圖1和圖2是兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息解答問題：（1）求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，并將圖2補(bǔ)充完整；（2）已知全校共1200名學(xué)生，請你估計(jì)全校B檔的人數(shù)；（3）學(xué)校要從D檔的4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名作讀書經(jīng)驗(yàn)分享，已知這4名學(xué)生1名來自七年級，1名來自八年級，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的2名學(xué)生來自不同年級的概率．19．（8分）近年來，市民交通安全意識逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大．某商店購進(jìn)甲、乙兩種頭盔，乙種頭盔30只，共花費(fèi)2920元（1）甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？（2）商店決定再次購進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，那么應(yīng)購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費(fèi)用最小？最小費(fèi)用是多少元？20．（7分）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①），如圖②所示，當(dāng)無人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)，測得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線上）．已知塔高為39米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）21．（8分）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：AD＝CF；（2）連接AF，CD．如果點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時，證明你的結(jié)論．22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)F在AC的延長線上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為4，CF＝6，求tan∠CBF．23．（11分）綜合與實(shí)踐．（1）提出問題．如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，連接BD①∠BOC的度數(shù)是．②BD：CE＝．（2）類比探究．如圖2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，DE＝DC，連接AD、BE并延長交于點(diǎn)O．①∠AOB的度數(shù)是；②AD：BE＝．（3）問題解決．如圖3，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D（不與A重合），以AE為邊在AD的左側(cè)構(gòu)造等邊△AEF，將△AEF繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，N為BE的中點(diǎn)．①說明△MND為等腰三角形．②求∠MND的度數(shù)．24．（12分）如圖，拋物線與x軸分別交于A（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，2），連接AC（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)D是直線BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線l，交線段BC于點(diǎn)E；（3）點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn)，連接AP．試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中，是否存在點(diǎn)P，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在

2024年山東省日照市金海岸中學(xué)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一、選擇題（每題3分，共30分）1．（3分）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A．趙爽弦圖 B．笛卡爾心形線 C．科克曲線 D．斐波那契螺旋線【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；B、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；C、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；D、不是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤；故選：C．2．（3分）據(jù)報(bào)道，2023年“十一”假期全國國內(nèi)旅游出游合計(jì)826000000人次．?dāng)?shù)字826000000用科學(xué)記數(shù)法表示是（）A．82.6×107 B．8.26×108 C．0.826×109 D．8.26×109【解答】解：數(shù)字826000000科學(xué)記數(shù)法可表示為8.26×108．故選：B．3．（3分）下列運(yùn)算正確的是（）A．5a﹣4a＝1 B．（a﹣b）（b﹣a）＝b2﹣a2 C．（﹣3a）2＝﹣9a2 D．（﹣2a）3（﹣a）2＝﹣8a5【解答】解：A、原式＝a；B、原式＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+8ab﹣b2，不符合題意；C、原式＝9a3，不符合題意；D、原式＝﹣8a3?a5＝﹣8a5，符合題意．故選：D．4．（3分）圖2是圖1中長方體的三視圖，若用S表示面積，S主＝x2+2x，S左＝x2+x，則S俯＝（）A．x2+3x+2 B．x2+2 C．x2+2x+1 D．2x2+3x【解答】解：∵S主＝x2+2x＝x（x+6），S左＝x2+x＝x（x+1），∴俯視圖的長為x+3，寬為x+1，則俯視圖的面積S俯＝（x+2）（x+3）＝x2+3x+8，故選：A．5．（3分）《九章算術(shù)》是人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”，書中記載：今有二人共車九人步；三人共車，則9需要步行：若每輛車都坐3人，則兩輛車是空的，y個人，根據(jù)題意（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意得：．故選：B．6．（3分）如圖，在菱形ABCD中，P是對角線AC上一動點(diǎn)，面積為24，則PE+PF的值為（）A．4 B． C．6 D．【解答】解：連接BP，如圖，∵四邊形ABCD為菱形，菱形ABCD的周長為20，∴BA＝BC＝5，S△ABC＝S菱形ABCD＝12，∵S△ABC＝S△PAB+S△PBC，∴×7×PE+，∴PE+PF＝，故選：B．7．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，分別以點(diǎn)A，C為圓心AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：根據(jù)題意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四邊形AECF是菱形，故①結(jié)論正確；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②結(jié)論正確；∵S四邊形AECF＝CF?CD＝AC?OE×2＝，故③結(jié)論不正確；若AF平分∠BAC，則∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝，∴AF＝5BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④結(jié)論正確；故選：B．8．（3分）若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為x≤﹣2，且關(guān)于y的分式方程＝，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（）A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣13【解答】解：解不等式組得：，∵不等式組的解集為x≤﹣2，∴＞﹣2，∴a＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y是負(fù)整數(shù)且y≠﹣1，∴是負(fù)整數(shù)且，∴a＝﹣8或﹣5，∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是﹣6﹣5＝﹣13，故選：D．9．（3分）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動中，小明同學(xué)要測量一座與地面垂直的古塔AB的高度，然后沿斜坡CE前行20m到達(dá)最佳測量點(diǎn)D處，在點(diǎn)D處測得塔頂A的仰角為30°，且點(diǎn)A，B，C，D，E在同一平面內(nèi)（）A． B． C． D．40m【解答】解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，DG⊥BC，由題意得，BC＝30m，∠ADF＝30°，DF＝BG，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴，設(shè)DG＝xm，則CG＝，CD＝7xm，∴2x＝20，解得x＝10，∴DG＝BF＝10m，CG＝m）m，在Rt△ADF中，tan30°＝，解得AF＝10+，∴AB＝AF+BF＝（20+）m．故選：A．10．（3分）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n）（0，2）和（0，3）兩點(diǎn)之間（包含端點(diǎn)）．下列結(jié)論中正確的是（）①不等式ax2+c＜﹣bx的解集為x＜﹣1或x＞3；②9a2﹣b2＜0；③一元二次方程cx2+bx+a＝0的兩個根分別為，x2＝﹣1；④6≤3n﹣2≤10．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【解答】解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），∴b＝﹣2a，∵與x軸交于點(diǎn)A（﹣8，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝﹣4a，∵對稱軸為直線x＝1，經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，∴拋物線與x軸的另一個的交點(diǎn)為（3，0），∵拋物線開口向下，∴不等式ax2++bx+c＜5的解集為x＜﹣1或x＞3，即不等式ax4+c＜﹣bx的解集為x＜﹣1或x＞3，故①正確；∵3a2﹣b2＝2a2﹣（﹣2a）6＝5a2＞5，故②不正確；∵一元二次方程cx2+bx+a＝0可化為﹣7ax2﹣2ax+a＝2，即3x2+3x﹣1＝0，∴方程的根為x4＝，x7＝﹣1，故③正確；∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在（0，5）和（0，∴2≤c≤8，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），∴n＝﹣4a，∵c＝﹣2a，∴n＝c，∴≤n≤4，∴3≤3n﹣2≤10；故④正確；故選：D．二、填空題（每題3分，共18分）11．（3分）若使分式有意義，則x的取值范圍x≥1且x≠2．【解答】解：由題意得：x﹣1≥0且x﹣8≠0，解得：x≥1且x≠6，故答案為：x≥1且x≠2．12．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若該方程的兩個實(shí)數(shù)根分別為α，β，且α+2β＝53．【解答】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β＝2，αβ＝﹣m，∵α+2β＝3，∴α＝﹣1，β＝3，∴﹣m＝8×（﹣1）＝﹣3，∴m＝3，故答案為：3．13．（3分）如圖，在正方形ABCD中，以A為圓心，再以AD為直徑作半圓，連接AC，則圖中陰影部分的面積為2π﹣4．【解答】解：如圖，設(shè)半圓與AC的交點(diǎn)為點(diǎn)E，連接OE，設(shè)以A為圓心，∴∠AED＝90°，，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAE＝45°，∴∠ADE＝∠DAE＝45°，∴OE⊥AD，∴，故答案為：2π﹣4．14．（3分）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點(diǎn)A，B，O在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上．【解答】解：如圖，連接AO并延長交⊙O于D，由圓周角定理得：∠ACB＝∠ADB，由勾股定理得：AD＝＝2，∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，故答案為：．15．（3分）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別為反比例函數(shù)與，D在x軸上，BA，F(xiàn)，則陰影部分的面積為．【解答】解：設(shè)點(diǎn)a＞0，則，∴B的縱坐標(biāo)為，∴，∴，∴B的橫坐標(biāo)為，∵AB∥CD，∴△BEF∽△DOF，∴，∴，∴，故答案為：．16．（3分）在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，F(xiàn)是AD上一動點(diǎn)，取AB中點(diǎn)E，若BD＝2，則△BEF周長的最小值是．【解答】解：延長BD、AC交于點(diǎn)G、GF，∵AD平分∠BAC，BD⊥AD，∴∠BAD＝∠GAD，∠ADB＝∠ADG，在△BAD和△GAD中，，∴△BAD≌△GAD（ASA），∴BD＝DG，∴AD垂直平分BG，∴BF＝FG，∴BF+EF＝GF+EF≥GE，∵，∴，∵∠BAC＝60°，∴，∴AB＝4，∴，∴，∵E為AB中點(diǎn)，∴BE＝2，∴△BEF周長的最小值是，故答案為：．三、解答題（共8小題，共72分）17．（8分）（1）計(jì)算：．（2）先化簡，再求值：，其中x＝3．【解答】解：（1）原式＝1+4﹣5+3﹣1＝4；（2）原式＝＝，將x＝3代入，原式＝．18．（8分）在4月23日“世界讀書日”來臨之際，某校為了了解學(xué)生的課外閱讀情況，從全校隨機(jī)抽取了部分學(xué)生（單位：小時）．把調(diào)查結(jié)果分為四檔，A檔：t＜8；C檔：9≤t＜10；D檔：t≥10．根據(jù)調(diào)查情況①A檔和D檔的所有數(shù)據(jù)是：7，7，7.5，10，7，7，7.5，7，7，10.5；②圖1和圖2是兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)以上信息解答問題：（1）求本次調(diào)查的學(xué)生人數(shù)，并將圖2補(bǔ)充完整；（2）已知全校共1200名學(xué)生，請你估計(jì)全校B檔的人數(shù)；（3）學(xué)校要從D檔的4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名作讀書經(jīng)驗(yàn)分享，已知這4名學(xué)生1名來自七年級，1名來自八年級，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽到的2名學(xué)生來自不同年級的概率．【解答】解：（1）由于A檔和D檔共有12個數(shù)據(jù)，而D檔有4個，因此A檔共有：12﹣4＝5人，8÷20%＝40人，則C檔的人數(shù)有40﹣8﹣16﹣4＝12（人），補(bǔ)全圖形如下：（2）1200×＝480（人），答：估計(jì)全校B檔的人數(shù)為480．（3）用A表示七年級學(xué)生，用B表示八年級學(xué)生，畫樹狀圖如下，因?yàn)楣灿?2種等可能的情況數(shù)，其中抽到的2名學(xué)生來自不同年級的有10種，所以抽到的2名學(xué)生來自不同年級的概率是：＝．19．（8分）近年來，市民交通安全意識逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大．某商店購進(jìn)甲、乙兩種頭盔，乙種頭盔30只，共花費(fèi)2920元（1）甲、乙兩種頭盔的單價各是多少元？（2）商店決定再次購進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價的八折出售，那么應(yīng)購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費(fèi)用最??？最小費(fèi)用是多少元？【解答】解：（1）設(shè)甲種頭盔的單價為x元，乙種頭盔的單價為y元，根據(jù)題意，得，解得，答：甲種頭盔單價是65元，乙種頭盔單價是54元；（2）設(shè)再次購進(jìn)甲種頭盔m只，總費(fèi)用為w元，根據(jù)題意，得m≥，解得m≥，w＝65×0.8m+（54﹣6）（40﹣m）＝4m+1920，∵4＞5，∴w隨著m增大而增大，當(dāng)m＝14時，w取得最小值，即購買14只甲種頭盔時，總費(fèi)用最小，答：購買14只甲種頭盔時，總費(fèi)用最?。?0．（7分）我市某轄區(qū)內(nèi)的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有一棵唐代古槐，稱為“宋塔唐槐”（如圖①），如圖②所示，當(dāng)無人機(jī)從位于塔基B點(diǎn)與古槐底D點(diǎn)之間的地面H點(diǎn)，測得塔AB的頂端A和古槐CD的頂端C的俯角分別為26.6°和76°（點(diǎn)B，H，D三點(diǎn)在同一直線上）．已知塔高為39米，求古槐的高度（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）【解答】解：過點(diǎn)A作AM⊥EH于M，過點(diǎn)C作CN⊥EH于N，由題意知，AM＝BH，AB＝MH，在Rt△AME中，∠EAM＝26.6°，∴tan∠EAM＝，∴AM＝＝≈＝12米，∴BH＝AM＝12米，∵BD＝20，∴DH＝BD﹣BH＝8米，∴CN＝2米，在Rt△ENC中，∠ECN＝76°，∴tan∠ECN＝，∴EN＝CN?tan∠ECN≈8×4.01＝32.08米，∴CD＝NH＝EH﹣EN＝12.92≈13（米），即古槐的高度約為13米．21．（8分）如圖，△ABC中，點(diǎn)D是AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：AD＝CF；（2）連接AF，CD．如果點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，那么當(dāng)AC與BC滿足什么條件時，證明你的結(jié)論．【解答】（1）證明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：當(dāng)AC⊥BC時，四邊形ADCF是菱形由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝AD，∴四邊形ADCF是菱形．22．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)F在AC的延長線上，且∠BAC＝2∠CBF．（1）求證：BF是⊙O的切線；（2）若⊙O的直徑為4，CF＝6，求tan∠CBF．【解答】（1）證明：連接AE，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠1+∠2＝90°．∵AB＝AC，∴6∠1＝∠CAB．∵∠BAC＝2∠CBF，∴∠6＝∠CBF∴∠CBF+∠2＝90°即∠ABF＝90°∵AB是⊙O的直徑，∴直線BF是⊙O的切線；（2）解：過C作CH⊥BF于H，∵AB＝AC，⊙O的直徑為4，∴AC＝8，∵CF＝6，∠ABF＝90°，∴BF＝＝＝5，∵∠CHF＝∠ABF，∠F＝∠F，∴△CHF∽△ABF，∴＝，∴＝，∴CH＝，∴HF＝＝＝，∴BH＝BF﹣HF＝2﹣＝，∴tan∠CBF＝＝＝．23．（11分）綜合與實(shí)踐．（1）提出問題．如圖1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，連接BD①∠BOC的度數(shù)是90°．②BD：CE＝1：1．（2）類比探究．如圖2，在△ABC和△DEC中，∠BAC＝∠EDC＝90°，DE＝DC，連接AD、BE并延長交于點(diǎn)O．①∠AOB的度數(shù)是45°；②AD：BE＝1：．（3）問題解決．如圖3，在等邊△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D（不與A重合），以AE為邊在AD的左側(cè)構(gòu)造等邊△AEF，將△AEF繞著點(diǎn)A在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)任意角度．如圖4，N為BE的中點(diǎn)．①說明△MND為等腰三角形．②求∠MND的度數(shù)．【解答】解：（1）①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴∠ABD＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠OBC+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠OBC+∠ACB＝90°，即：∠BCE+∠OBC＝90°，∴∠BOC＝90°．故∠BOC的度數(shù)是90°．②由①得△BAD≌△CAE，∴BD＝CE．故BD：CE＝1：1．（2）①∵AB＝AC，DE＝DC，∴，又∵∠BAC＝∠EDC＝90°，∴△ABC∽△DEC，∴∠ACB＝∠DCB，．∴∠ACE+∠ECB＝∠DCA+∠ACE，∴∠ECB＝∠DCA．∴△ECB∽△DCA，∴∠CBE＝∠CAD，∴∠AOB＝180°﹣∠ABO﹣