2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)回民中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷【含解析】

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)回民中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的1．（2分）生活中有許多對(duì)稱美的圖形，下列是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2分）拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的對(duì)稱軸是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣23．（2分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可變形為（）A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝154．（2分）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．64° D．116°5．（2分）底面半徑為3，高為4的圓錐側(cè)面積為（）A．15π B．20π C．25π D．30π6．（2分）如圖．△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點(diǎn)F．若∠BCD＝α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（）A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α7．（2分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（x1，0），且0＜x1＜1，下列結(jié)論：①9a﹣3b+c＞0；②b﹣2a＝0；③3a+c＜0；④a﹣b＜an2+bn（n≠﹣1的實(shí)數(shù)）．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．38．（2分）心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)：課堂上，學(xué)生對(duì)概念的接受能力s與提出概念的時(shí)間t（單位：min）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越強(qiáng)．如圖記錄了學(xué)生學(xué)習(xí)某概念時(shí)t與s的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出當(dāng)學(xué)生接受能力最強(qiáng)時(shí)，提出概念的時(shí)間為（）A．8min B．13min C．20min D．25min二、填空題（本題共16分，每小題2分）.9．（2分）已知x＝1是關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0的一個(gè)根，則m+n的值是．10．（2分）將拋物線y＝x2向上平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后，得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．11．（2分）已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個(gè)扇形的面積S＝．12．（2分）拋物線y＝2x2﹣4x上三點(diǎn)分別為（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（用“＞”號(hào)連接）13．（2分）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E．若∠B＝60°，CD＝6，則AC的長(zhǎng)為．14．（2分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的實(shí)數(shù)a，b的值：a＝，b＝．15．（2分）如圖，將等腰Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB′C′．若AC＝2，則圖中陰影部分的面積為．16．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半徑為1，直線l：y＝ax，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)a＝1時(shí)，直線l與⊙Q相離；②若直線l是⊙Q的一條對(duì)稱軸，則；③若直線l與⊙Q只有一個(gè)公共點(diǎn)T，則；④若直線l上存在點(diǎn)Y，⊙Q上存在點(diǎn)C，使得∠ZYC＝90°，則a的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本題共68分，第18-23題，每小題6分，第17、24、25、26題，每小題6分，第27、28題，每小題6分）17．（6分）解下列方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）x2﹣5x﹣6＝0．18．（5分）如圖，方格紙中的每格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，將△ABC（頂點(diǎn)都是正方形的頂點(diǎn)）繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△A1B1C1．（1）在所給的圖形中畫出△A1B1C1；（2）以O(shè)、B、A、A1為頂點(diǎn)的四邊形的面積為．19．（5分）在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí)，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題．尺規(guī)作圖：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線．已知：P為⊙O外一點(diǎn)．求作：經(jīng)過(guò)點(diǎn)??的⊙O的切線．小敏的作法如下：①連接OP，作線段OP的垂直平分線MN交OP于點(diǎn)C；②以點(diǎn)C為圓心，CO的長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O于A，B兩點(diǎn)；③作直線PA，PB．所以直線PA，PB就是所求作的切線．根據(jù)小敏設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：由作圖可知點(diǎn)A，B在以C為圓心，CO為半徑的圓上，∴∠OAP＝∠OBP＝°．（）（填推理的依據(jù)）∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB為⊙O的半徑，∴直線PA，PB是⊙O的切線．（）（填推理的依據(jù)）20．（5分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．21．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），（2，3）．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式，并用配方法將其化為y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）畫出此函數(shù)的圖象；（3）借助圖象，判斷若0＜x＜3，則y的取值范圍是．22．（5分）如圖，AC為⊙O的直徑，BD是弦，且AC⊥BD于點(diǎn)E．連接AB、OB、BC．（1）求證：∠CBO＝∠ABD；（2）若AE＝4cm，CE＝8cm，求弦BD的長(zhǎng)．23．（5分）體育測(cè)試時(shí)，九年級(jí)一名學(xué)生，雙手扔實(shí)心球．已知實(shí)心球所經(jīng)過(guò)的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分，如果球出手處A點(diǎn)距離地面的高度為2m，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為4m時(shí)，達(dá)到最大高度4m的B處（如圖），問(wèn)該學(xué)生把實(shí)心球扔出多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留根號(hào)）24．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的長(zhǎng)．25．（6分）小朋在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到一個(gè)函數(shù)y＝|x|（x﹣3）2．下面是小朋對(duì)其探究的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）觀察這個(gè)函數(shù)的解析式可知，x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，并且y有值（填“最大”或“最小”），這個(gè)值是；（2）進(jìn)一步研究，當(dāng)x≥0時(shí)，y與x的幾組對(duì)應(yīng)值如表：x01234…y02102…結(jié)合上表，畫出當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)y＝|x|（x﹣3）2的圖象；（3）結(jié)合（1）（2）的分析，解決問(wèn)題：若關(guān)于x的方程|x|（x﹣3）2＝kx﹣1有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，則該方程其它的實(shí)數(shù)根約為（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+（2m﹣6）x+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2m﹣4）．（1）求a的值；（2）求拋物線的對(duì)稱軸（用含m的式子表示）；（3）點(diǎn)（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）在拋物線上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范圍．27．（7分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P，D為射線AB上兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)P的左側(cè)），且PD＝BC，連接CP．以P為中心，將線段PD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180）得線段PE．（1）如圖1，當(dāng)四邊形ACPE是平行四邊形時(shí)，畫出圖形，并直接寫出n的值；（2）當(dāng)n＝135°時(shí)，M為線段AE的中點(diǎn)，連接PM．①在圖2中依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段CP與PM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．28．（7分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M和點(diǎn)P，給出如下定義：將圖形M繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到圖形N，圖形N稱為圖形M關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”．例如，圖1中點(diǎn)D為點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)P的“垂直圖形”（1）點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的“垂直圖形”為點(diǎn)B．①若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；②若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為；（2）E（﹣3，3），F(xiàn)（﹣2，3），G（a，0）．線段EF關(guān)于點(diǎn)G的“垂直圖形”記為E′F′，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E′，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F′．①求點(diǎn)E′的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；②若⊙O的半徑為2，E′F′上任意一點(diǎn)都在⊙O內(nèi)部或圓上，直接寫出滿足條件的EE′的長(zhǎng)度的最大值．

2023-2024學(xué)年北京市西城區(qū)回民中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題共16分，每小題2分）下面各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的1．（2分）生活中有許多對(duì)稱美的圖形，下列是中心對(duì)稱圖形但不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形與中心對(duì)稱圖形的概念求解．【解答】解：A、是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；B、是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C、是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D、是中心對(duì)稱圖形，但不是是軸對(duì)稱圖形，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察了學(xué)生對(duì)中心對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)認(rèn)識(shí)．2．（2分）拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的對(duì)稱軸是（）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解答．【解答】解：拋物線y＝﹣（x+1）2﹣2的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（h，k），對(duì)稱軸是直線x＝h，此題考查了學(xué)生的應(yīng)用能力．3．（2分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可變形為（）A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15【分析】先移項(xiàng)，再兩邊配上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方可得．【解答】解：∵x2﹣8x﹣1＝0，∴x2﹣8x＝1，∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法．4．（2分）如圖，若AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，則∠BCD的度數(shù)為（）A．32° B．58° C．64° D．116°【分析】先根據(jù)AB是⊙O的直徑得出∠ADB＝90°，故可得出∠A的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°．∵∠ABD＝58°，∴∠A＝90°﹣58°＝32°，∴∠BCD＝∠A＝32°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．5．（2分）底面半徑為3，高為4的圓錐側(cè)面積為（）A．15π B．20π C．25π D．30π【分析】根據(jù)勾股定理求出圓錐的母線長(zhǎng)，根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵圓錐的底面半徑為3，高為4，∴圓錐的母線長(zhǎng)為＝5，則圓錐的底面周長(zhǎng)為2×3×π＝6π，則該圓錐的側(cè)面積為：×6π×5＝15π，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓錐的計(jì)算，圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)，圓錐的側(cè)面積：S側(cè)＝?2πr?l．6．（2分）如圖．△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△EDC，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在AB邊上，AC、ED交于點(diǎn)F．若∠BCD＝α，則∠EFC的度數(shù)是（用含α的代數(shù)式表示）（）A．90°+α B．90°﹣α C．180°﹣α D．α【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，因?yàn)椤螧CD＝α，所以∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，由三角形內(nèi)角和可得，∠A＝90°﹣∠B＝．所以∠E＝．再由三角形內(nèi)角和定理可知，∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，BC＝CD，∠B＝∠EDC，∠A＝∠E，∠ACE＝∠BCD，∵∠BCD＝α，∴∠B＝∠BDC＝＝90°﹣，∠ACE＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝．∴∠E＝．∴∠EFC＝180°﹣∠ECF﹣∠E＝180°﹣α．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等相關(guān)內(nèi)容，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠E和∠ECF的角度是解題關(guān)鍵．7．（2分）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（x1，0），且0＜x1＜1，下列結(jié)論：①9a﹣3b+c＞0；②b﹣2a＝0；③3a+c＜0；④a﹣b＜an2+bn（n≠﹣1的實(shí)數(shù)）．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷①；由對(duì)稱軸是直線x＝﹣1可以判斷②；根據(jù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的最值即可判斷④．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a＞0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（x1，0），且0＜x1＜1，∴x＝﹣3時(shí)，y＝9a﹣3b+c＞0，故①正確；∵對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，則﹣＝﹣1，∴b＝2a．∴b﹣2a＝0，故②正確；∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（x1，0），且0＜x1＜1，∴x＝1時(shí)，y＝a+b+c＞0，∴a+2a+c＝3a+c＞0．故③錯(cuò)誤．∵x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最小值，∴當(dāng)n≠﹣1的實(shí)數(shù)時(shí)，a﹣b+c＜an2+bn+c．即a﹣b＜an2+bn，故④正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，拋物線于x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合．8．（2分）心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)：課堂上，學(xué)生對(duì)概念的接受能力s與提出概念的時(shí)間t（單位：min）之間近似滿足函數(shù)關(guān)系s＝at2+bt+c（a≠0），s值越大，表示接受能力越強(qiáng)．如圖記錄了學(xué)生學(xué)習(xí)某概念時(shí)t與s的三組數(shù)據(jù)，根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù)，可推斷出當(dāng)學(xué)生接受能力最強(qiáng)時(shí)，提出概念的時(shí)間為（）A．8min B．13min C．20min D．25min【分析】把點(diǎn)坐標(biāo)：（0，43）、（20，55）、（30，31），代入函數(shù)s＝at2+bt+c，求出函數(shù)表達(dá)式，由a＝﹣，故函數(shù)有最大值，即：當(dāng)t＝﹣＝13時(shí)，s有最大值．【解答】解：由題意得：函數(shù)過(guò)點(diǎn)（0，43）、（20，55）、（30，31），把以上三點(diǎn)坐標(biāo)代入s＝at2+bt+c得：，解得：，則函數(shù)的表達(dá)式為：s＝﹣t2+t+43，∵a＝﹣，則函數(shù)有最大值，當(dāng)t＝﹣＝13時(shí)，s有最大值，即學(xué)生接受能力最強(qiáng)，因此B正確；備注：本題為選擇題，為此可用函數(shù)的對(duì)稱性來(lái)解答，從圖象看，函數(shù)的對(duì)稱軸大概是在10到15之間的，所以答案是B，這樣判斷較為簡(jiǎn)便，可參考．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，首先要吃透題意，確定已知點(diǎn)坐標(biāo)，求出函數(shù)表達(dá)式，通常自變量在對(duì)稱軸時(shí)，函數(shù)取得最值．二、填空題（本題共16分，每小題2分）.9．（2分）已知x＝1是關(guān)于x的方程x2+mx+n＝0的一個(gè)根，則m+n的值是﹣1．【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將x＝1代入一元二次方程x2+mx+n＝0，即可求得m+n的值．【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+mx+n＝0的一個(gè)根，∴x＝1滿足一元二次方程x2+mx+n＝0，∴1+m+n＝0，∴m+n＝﹣1；故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解．正確理解方程的解的含義是解答此類題目的關(guān)鍵．10．（2分）將拋物線y＝x2向上平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位后，得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣3，2）．【分析】先求出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，向上平移縱坐標(biāo)加求出平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：拋物線y＝x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），∵向上平移2個(gè)單位，再向左平移3個(gè)單位，∴平移后的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，2）．故答案為：（﹣3，2）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律．11．（2分）已知扇形的圓心角為120°，半徑為2，則這個(gè)扇形的面積S＝．【分析】直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可．【解答】解：∵n＝120°，R＝2，∴S＝＝．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了扇形的面積公式：S＝．12．（2分）拋物線y＝2x2﹣4x上三點(diǎn)分別為（﹣3，y1），（0，y2），（3，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為y1＞y3＞y2（用“＞”號(hào)連接）【分析】先配方得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過(guò)三點(diǎn)與對(duì)稱軸距離的遠(yuǎn)近來(lái)比較函數(shù)值的大?。窘獯稹拷猓骸遹＝2（x﹣1）2﹣2，∴拋物線開口向上，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∵點(diǎn)A（﹣3，y1）到對(duì)稱軸距離最遠(yuǎn)，點(diǎn)（0，y2）到對(duì)稱軸的距離最近，∴y1＞y3＞y2．故答案為：y1＞y3＞y2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．此題需要掌握二次函數(shù)圖象的增減性．13．（2分）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為E．若∠B＝60°，CD＝6，則AC的長(zhǎng)為6．【分析】先由圓周角定理得∠ACB＝90°，則∠A＝30°，再由垂徑定理得CE＝DE＝CD＝3，然后由含30°角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∵AB⊥CD，∴∠AEC＝90°，CE＝DE＝CD＝3，∴AC＝2CE＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理、垂徑定理以及由含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和垂徑定理是解題的關(guān)鍵．14．（2分）關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，寫出一組滿足條件的實(shí)數(shù)a，b的值：a＝4，b＝2．【分析】由于關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，得到a＝b2，找一組滿足條件的數(shù)據(jù)即可．【解答】關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4×a＝b2﹣a＝0，∴a＝b2，當(dāng)b＝2時(shí)，a＝4，故b＝2，a＝4時(shí)滿足條件．故答案為：4，2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟練掌握判別式的意義是解題的關(guān)鍵．15．（2分）如圖，將等腰Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°后得到△AB′C′．若AC＝2，則圖中陰影部分的面積為．【分析】如圖所示，設(shè)B′C′與AB交于D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)推出∠AC′D＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝2，∠CAC′＝15°，進(jìn)而得到∠C′AD＝30°，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，則．【解答】解：如圖所示，設(shè)B′C′與AB交于D，由題意得，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AC′D＝∠ACB＝90°，AC′＝AC＝2，∠CAC′＝15°，∴∠C′AD＝30°，∴AD＝2C′D，在Rt△AC′D中，由勾股定理得AD2＝AC′2+C′D2，∴4C′D2＝22+C′D2，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確求出C′D的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．16．（2分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半徑為1，直線l：y＝ax，給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)a＝1時(shí)，直線l與⊙Q相離；②若直線l是⊙Q的一條對(duì)稱軸，則；③若直線l與⊙Q只有一個(gè)公共點(diǎn)T，則；④若直線l上存在點(diǎn)Y，⊙Q上存在點(diǎn)C，使得∠ZYC＝90°，則a的最大值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．【分析】①根據(jù)Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半徑為1，當(dāng)a＝1時(shí)，直線l：y＝x，根據(jù)直線和圓的關(guān)系進(jìn)而可以判斷；②直線l是⊙Q的一條對(duì)稱軸，則直線l一定過(guò)圓心，所以將Q（5，2）代入y＝ax，即可進(jìn)行判斷；③若直線l與⊙Q只有一個(gè)公共點(diǎn)T，則直線l與圓Q相切，然后根據(jù)勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可判斷；④如圖，由題意可知，Y在以CZ為直徑的圓上，若C?。?，2）時(shí)，于是得到CZ的中點(diǎn)為（，），此時(shí)，⊙P的半徑為，設(shè)Y（x，ax），解方程得到求出a的值，即可判斷．【解答】解：①∵點(diǎn)Q（5，2），Z（5，3），⊙Q的半徑為1，當(dāng)a＝1時(shí)，直線l：y＝x，如圖，直線l1與⊙Q相離，故①正確；②若直線l是⊙Q的一條對(duì)稱軸，則直線l一定過(guò)圓心，所以將Q（5，2）代入y＝ax，得a＝，故②正確；③若直線l與⊙P只有一個(gè)公共點(diǎn)T，則直線l與圓Q相切，如圖中的l2，l3，則OQ＝＝，∵直線l2，l3與圓Q相切，∴QT⊥l2，QY⊥l3，∵⊙Q的半徑為1，∴OY＝OT＝＝＝2，故③正確；④如圖，由題意可知，Y在以CZ為直徑的圓上，若C?。?，2）時(shí)，則CZ的中點(diǎn)為（，），此時(shí)，⊙P的半徑為，設(shè)Y（x，ax），則YP2＝（x﹣）2+（ax﹣）2＝，化簡(jiǎn)得，（a2+1）x2﹣（5a+9）x+26＝0，相切時(shí)取最大值，∴△＝（5a+9）2﹣4（a2+1）×26＝0，解得a1＝（此時(shí)是下方的切線舍去），a2＝（此時(shí)是上方的切線，故為最大值），∵＞，∴不是最大值，故④錯(cuò)誤．∴正確的結(jié)論序號(hào)是：①②③．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于圓的綜合題，考查了直線與圓的位置關(guān)系，正比例函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系．三、解答題（本題共68分，第18-23題，每小題6分，第17、24、25、26題，每小題6分，第27、28題，每小題6分）17．（6分）解下列方程：（1）2x2﹣8＝0；（2）x2﹣5x﹣6＝0．【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)，通過(guò)移項(xiàng)、直接開平方計(jì)算，即可得到答案；（2）通過(guò)配方法求解一元二次方程，即可得到答案．【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，∴x2﹣4＝0，移項(xiàng)得：x2＝4，∴x＝±2；∴x1＝2，x2＝﹣2；（2）x2﹣5x﹣6＝0，∴（x+1）（x﹣6）＝0，∴x+1＝0，x﹣6＝0，∴x1＝﹣1，x2＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接開平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟練掌握各種方法是解答本題的關(guān)鍵．18．（5分）如圖，方格紙中的每格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，將△ABC（頂點(diǎn)都是正方形的頂點(diǎn)）繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到△A1B1C1．（1）在所給的圖形中畫出△A1B1C1；（2）以O(shè)、B、A、A1為頂點(diǎn)的四邊形的面積為22．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可．（2）利用割補(bǔ)法求四邊形的面積即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）∵OA＝OA1＝＝，∠AOA1＝90°，∴＝＝，∵S△AOB＝＝，∴四邊形OBAA1的面積為+S△AOB＝＝22．故答案為：22．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換、四邊形的面積、勾股定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．19．（5分）在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí)，老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題．尺規(guī)作圖：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線．已知：P為⊙O外一點(diǎn)．求作：經(jīng)過(guò)點(diǎn)??的⊙O的切線．小敏的作法如下：①連接OP，作線段OP的垂直平分線MN交OP于點(diǎn)C；②以點(diǎn)C為圓心，CO的長(zhǎng)為半徑作圓，交⊙O于A，B兩點(diǎn)；③作直線PA，PB．所以直線PA，PB就是所求作的切線．根據(jù)小敏設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）（2）完成下面的證明．證明：由作圖可知點(diǎn)A，B在以C為圓心，CO為半徑的圓上，∴∠OAP＝∠OBP＝90°．（直徑所對(duì)的圓周角為直角）（填推理的依據(jù)）∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB為⊙O的半徑，∴直線PA，PB是⊙O的切線．（經(jīng)過(guò)半徑的外端，垂直于半徑的直線是圓的切線）（填推理的依據(jù)）【分析】（1）根據(jù)幾何語(yǔ)言畫出對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2）先根據(jù)圓周角定理的推論，由OP為直徑得到∠OAP＝∠OBP＝90°，則PA⊥OA，PB⊥OB，然后根據(jù)切線的判定定理得到直線PA，PB是⊙O的切線．【解答】解：（1）如圖，PA、PB為所作；（2）由作圖可知點(diǎn)A，B在以C為圓心，CO為半徑的圓上，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，（直徑所對(duì)的圓周角為直角）∴PA⊥OA，PB⊥OB．∵OA，OB為⊙O的半徑，∴直線PA，PB是⊙O的切線．（經(jīng)過(guò)半徑的外端，垂直于半徑的直線是圓的切線）故答案為90，直徑所對(duì)的圓周角為直角；經(jīng)過(guò)半徑的外端，垂直于半徑的直線是圓的切線．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定．20．（5分）關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，求m的最小值．【分析】（1）先根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根列出關(guān)于m的一元二次方程，求出m的值即可；（2）根據(jù)題意得到x＝1和x＝m+2是原方程的根，根據(jù)方程兩個(gè)根均為正整數(shù)，可求m的最小值．【解答】（1）證明：依題意，得Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）＝m2+6m+9﹣4m﹣8＝（m+1）2．∵（m+1）2≥0，∴△≥0．∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解：解方程，得x1＝1，x2＝m+2，∵方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是正整數(shù)，∴m+2≥1．∴m≥﹣1．∴m的最小值為﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解的定義，在解答（2）時(shí)得到方程的兩個(gè)根是解題的關(guān)鍵．21．（5分）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），（2，3）．（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式，并用配方法將其化為y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）畫出此函數(shù)的圖象；（3）借助圖象，判斷若0＜x＜3，則y的取值范圍是0＜y≤4．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得解析式，然后用配方法將其化為y＝a（x﹣h）2+k的形式；（2）描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象即可；（3）根據(jù)圖象即可求得．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)（0，3），（2，3）．∴c＝3，﹣＝＝1，∴b＝2，∵二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣x2+2x+3＝﹣x2+2x﹣1+4＝﹣（x﹣1）2+4；（2）畫出函數(shù)圖象如圖：；（3）由圖象可知，若0＜x＜3，則y的取值范圍是0＜y≤4，故答案為0＜y≤4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．22．（5分）如圖，AC為⊙O的直徑，BD是弦，且AC⊥BD于點(diǎn)E．連接AB、OB、BC．（1）求證：∠CBO＝∠ABD；（2）若AE＝4cm，CE＝8cm，求弦BD的長(zhǎng)．【分析】（1）先根據(jù)圓周角定理得到∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后利用∠C＝∠CBO得到∠CBO＝∠ABE；（2）先根據(jù)垂徑定理得到BE＝DE，再計(jì)算出OB＝10cm，OE＝6cm，則利用勾股定理可計(jì)算出BE，從而得到BD的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠CBD＝90°，∵AC⊥BD，∴∠BEC＝90°，∴∠C+∠CBD＝90°，∴∠C＝∠ABD，∵OB＝OC，∴∠C＝∠CBO，∴∠CBO＝∠ABE；（2）解：∵AC⊥BD，∴BE＝DE，∵AE＝4cm，CE＝8cm，∴AC＝12cm，∴OB＝6cm，OE＝2cm，在Rt△OBE中，BE＝＝4（cm），∴BD＝2BE＝8（cm）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半；半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．也考查了垂徑定理．23．（5分）體育測(cè)試時(shí)，九年級(jí)一名學(xué)生，雙手扔實(shí)心球．已知實(shí)心球所經(jīng)過(guò)的路線是某個(gè)二次函數(shù)圖象的一部分，如果球出手處A點(diǎn)距離地面的高度為2m，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離為4m時(shí)，達(dá)到最大高度4m的B處（如圖），問(wèn)該學(xué)生把實(shí)心球扔出多遠(yuǎn)？（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系，從而可以求得拋物線的解析式，然后令y＝0，即可求得CD的長(zhǎng)度．【解答】解：以DC所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)A作DC的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A（0，2），B（4，4），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣4）2+4（a≠0），∵A（0，2）在拋物線上，∴2＝a（0﹣4）2+4，解得，a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣4）2+4，將y＝0代入，得﹣（x﹣4）2+4＝0解得，x1＝4﹣4（舍去），x2＝4+4，∴DC＝4+4，答：該同學(xué)把實(shí)心球扔出（4+4）米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．24．（6分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，DE⊥AC，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）若∠C＝30°，CD＝2，求的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，則OD＝OB，所以∠ODB＝∠B，由AB＝AC，得∠C＝∠B，則∠ODB＝∠C，所以O(shè)D∥AC，則∠ODE＝∠CED＝90°，即可證明DE是⊙O的切線；（2）連接AD，由AB是⊙O的直徑，得∠ADB＝90°，則AD⊥BC，因?yàn)锳B＝AC，CD＝2，所以BD＝CD＝2，可求得AD＝BD?tan30°＝2，再證明△AOD是等邊三角形，則OD＝AD＝2，而∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：連接OD，則OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∵DE⊥AC于點(diǎn)E，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．（2）解：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，CD＝2，∴BD＝CD＝2，∵∠B＝∠C＝30°，∴AD＝BD?tan30°＝2×＝2，∵OD＝OA，∠AOD＝2∠B＝60°，∴△AOD是等邊三角形，∴OD＝AD＝2，∵∠BOD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴＝＝，∴的長(zhǎng)是．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、切線的判定定理等知識(shí)，證明OD∥AC是解題的關(guān)鍵．25．（6分）小朋在學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到一個(gè)函數(shù)y＝|x|（x﹣3）2．下面是小朋對(duì)其探究的過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（1）觀察這個(gè)函數(shù)的解析式可知，x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，并且y有最小值（填“最大”或“最小”），這個(gè)值是0；（2）進(jìn)一步研究，當(dāng)x≥0時(shí)，y與x的幾組對(duì)應(yīng)值如表：x01234…y02102…結(jié)合上表，畫出當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)y＝|x|（x﹣3）2的圖象；（3）結(jié)合（1）（2）的分析，解決問(wèn)題：若關(guān)于x的方程|x|（x﹣3）2＝kx﹣1有一個(gè)實(shí)數(shù)根為2，則該方程其它的實(shí)數(shù)根約為4.2（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值和偶次方的非負(fù)性可得結(jié)論；（2）描點(diǎn)，連線可得；（3）先把x＝2代入方程，求出k的值，再根據(jù)圖象解方程即可．【解答】解：（1）∵|x|≥0，（x﹣3）2≥0，∴y＝|x|（x﹣3）2≥0．∴y＝|x|（x﹣3）2有最小值，且最小值為0；故答案為：最小值；0．（2）在坐標(biāo)系中線先描點(diǎn)，再劃線，如圖所示：（3）把x＝2代入|x|（x﹣3）2＝kx﹣1中，有×|2|×（2﹣3）2＝2k﹣1，解得k＝1，在圖中畫出函數(shù)y＝x﹣1，如圖所示：從圖象可看，其他的實(shí)數(shù)根約為4.2．故答案為：4.2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及數(shù)形結(jié)合思想等知識(shí)．26．（6分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+（2m﹣6）x+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，2m﹣4）．（1）求a的值；（2）求拋物線的對(duì)稱軸（用含m的式子表示）；（3）點(diǎn)（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）在拋物線上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范圍．【分析】（1）代入點(diǎn)（1，2m﹣4）即可求解；（2）利用對(duì)稱軸公式即可求解；（3）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可．【解答】解：（1）由題意得：a+（2m﹣6）+1＝2m﹣4，解得：a＝1；（2）∵a＝1，∴y＝x2+（2m﹣6）x+1，∴拋物線的對(duì)稱軸為：直線x＝＝3﹣m；（3）當(dāng)m＞0時(shí)，可知點(diǎn)（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）從左至右分布，∵y2＜y3≤y1，∴，解得1＜m≤2；當(dāng)m＜0時(shí)，∴m＜﹣m＜﹣m+3，∴y2≥y1，不合題意，綜上，m的取值范圍是1＜m≤2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（7分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝