人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊 函數(shù)的最大(小)值 分層作業(yè)(含解析)

人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊函數(shù)的最大(小)值分層作業(yè)(原卷版)(60分鐘100分)eq\f(基礎(chǔ)對點練,基礎(chǔ)考點分組訓(xùn)練)知識點1求函數(shù)的最值1．(5分)函數(shù)f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值分別是()A．f(1)，f(2) B．f(2)，f(5)C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2)2．(5分)函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋5在區(qū)間[－4,4]上的最大值是()A．10 B．－71C．－15 D．－22知識點2與最值有關(guān)的參數(shù)問題3．(5分)函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為()A．0≤a<1 B．0<a<1C．－1<a<1 D．0<a<eq\f(1,2)4.(5分)若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為eq\f(\r(3),3)，則a的值為________．5.(5分)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為________．知識點3生活中的優(yōu)化問題6．(5分)某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R＝R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則總利潤最大時的年產(chǎn)量是()A．100 B．150C．200 D．3007．(5分)某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌墻壁所用的材料最省，堆料場的長和寬應(yīng)分別為(單位：米)()A．32,16 B．30,15C．40,20 D．36,188.(10分)如圖，一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？eq\f(能力提升練,能力考點適度提升)9.(5分)如果函數(shù)f(x)＝x4－8x2＋c在[－1,3]上的最小值是－14，那么c＝()A．1 B．2C．－1 D．－210．(5分)內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()A．R B．2RC．eq\f(4,3)R D．eq\f(3,4)R11．(5分)設(shè)直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖象分別交于M，N.則當(dāng)|MN|最小時t的值為()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(5),2) D．eq\f(\r(2),2)12．(5分)內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的寬和長分別為()A．eq\f(R,2)和eq\f(3,2)R B．eq\f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)RC．eq\f(4,5)R和eq\f(7,5)R D．以上都不對13.(5分)函數(shù)y＝x＋2cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上取最大值時，x的值為________．14.(5分)當(dāng)x∈[－1,1]時，函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,ex)的值域是________．15.(5分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x2)＋2lnx，若當(dāng)a>0時，f(x)≥2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．16.(5分)某商場銷售某種商品，經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(千克)與銷售價格x(元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若該商品的成本為3元/千克，則當(dāng)銷售價格為________元/千克時，該商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．17.(15分)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[－1,0)∪(0,1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,0)時，f(x)＝2ax＋eq\f(1,x2)(a∈R)．(1)當(dāng)x∈(0,1]時，求f(x)的解析式；(2)若a>－1，試判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)是否存在a，使得當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)有最大值－6?人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊函數(shù)的最大(小)值分層作業(yè)(解析版)(60分鐘100分)eq\f(基礎(chǔ)對點練,基礎(chǔ)考點分組訓(xùn)練)知識點1求函數(shù)的最值1．(5分)函數(shù)f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值分別是()A．f(1)，f(2) B．f(2)，f(5)C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2)D解析：f′(x)＝2x－4＝0，解得x＝2，當(dāng)x<2時，f′(x)<0；當(dāng)x>2時，f′(x)>0，∴x＝2是極小值點，f(2)＝－3.又f(1)＝－2，f(5)＝6，∴最大值是f(5)，最小值是f(2)．2．(5分)函數(shù)f(x)＝x3－3x2－9x＋5在區(qū)間[－4,4]上的最大值是()A．10 B．－71C．－15 D．－22A解析：f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3.當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值f(－1)＝10；x＝3時函數(shù)有極小值f(3)＝－22.而f(4)＝－15，f(－4)＝－71.所以最大值是f(－1)＝10.知識點2與最值有關(guān)的參數(shù)問題3．(5分)函數(shù)f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為()A．0≤a<1 B．0<a<1C．－1<a<1 D．0<a<eq\f(1,2)B解析：∵f′(x)＝3x2－3a，f′(x)＝0有解，∴a＝x2.又∵x∈(0,1)，∴0<a<1.故選B．4.(5分)若函數(shù)f(x)＝eq\f(x,x2＋a)(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為eq\f(\r(3),3)，則a的值為________．eq\r(3)－1解析：f′(x)＝eq\f(x2＋a－2x2,x2＋a2)＝eq\f(a－x2,x2＋a2)，當(dāng)x>eq\r(a)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)－eq\r(a)<x<eq\r(a)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增．當(dāng)x＝eq\r(a)時，f(x)＝eq\f(\r(a),2a)＝eq\f(\r(3),3)，eq\r(a)＝eq\f(\r(3),2)<1，不合題意．∴f(x)max＝f(1)＝eq\f(1,1＋a)＝eq\f(\r(3),3)，a＝eq\r(3)－1.5.(5分)已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))在[－2,2]上有最大值3，那么此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為________．－37解析：令f′(x)＝6x2－12x＝0，解得x＝0或x＝2.∵f(x)在(－2,0)上是增函數(shù)，在(0,2)上是減函數(shù)，∴最大值為f(0)＝m＝3，∴f(x)＝2x3－6x2＋3.又f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴此函數(shù)在[－2,2]上的最小值為－37.知識點3生活中的優(yōu)化問題6．(5分)某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加100元，已知總營業(yè)收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R＝R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))則總利潤最大時的年產(chǎn)量是()A．100 B．150C．200 D．300D解析：由題意，得總成本函數(shù)為C＝C(x)＝20000＋100x，總利潤P(x)＝R(x)－C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400.))所以P′(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400.))令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300時，總利潤P(x)最大．7．(5分)某工廠要圍建一個面積為512平方米的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁，若使砌墻壁所用的材料最省，堆料場的長和寬應(yīng)分別為(單位：米)()A．32,16 B．30,15C．40,20 D．36,18A解析：要使材料最省，則要求新砌的墻壁的總長最短，設(shè)堆料場的寬為x米，則長為eq\f(512,x)米，因此新砌墻壁總長L＝2x＋eq\f(512,x)(x>0)，則L′＝2－eq\f(512,x2).令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此時長為eq\f(512,16)＝32(米)，可使L最短.8.(10分)如圖，一矩形鐵皮的長為8cm，寬為5cm，在四個角上截去四個相同的小正方形，制成一個無蓋的小盒子，小正方形的邊長為多少時，盒子容積最大？解：設(shè)小正方形的邊長為xcmeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(5,2)))，則盒子底面長為(8－2x)cm，寬為(5－2x)cm，V＝(8－2x)(5－2x)x＝4x3－26x2＋40x，V′＝12x2－52x＋40，令V′＝0，得x＝1或x＝eq\f(10,3)(舍去)，V極大值＝V(1)＝18.因為在定義域內(nèi)僅有一個極大值，所以V最大值＝18，即當(dāng)小正方形的邊長為1cm時，盒子容積最大．eq\f(能力提升練,能力考點適度提升)9.(5分)如果函數(shù)f(x)＝x4－8x2＋c在[－1,3]上的最小值是－14，那么c＝()A．1 B．2C．－1 D．－2B解析：令f′(x)＝4x3－16x＝0，解得x＝0或x＝－2或x＝2，由f(－1)＝c－7，f(0)＝c，f(2)＝c－16，f(3)＝c＋9，得最小值為f(2)＝c－16＝－14.∴c＝2.10．(5分)內(nèi)接于半徑為R的球且體積最大的圓錐的高為()A．R B．2RC．eq\f(4,3)R D．eq\f(3,4)RC解析：設(shè)圓錐高為h，底面半徑為r，則R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h(huán)2.∴V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(π,3)h(2Rh－h(huán)2)＝eq\f(2,3)πRh2－eq\f(π,3)h3.V′＝eq\f(4,3)πRh－πh2.令V′＝0得h＝eq\f(4,3)R.當(dāng)0<h<eq\f(4,3)R時，V′>0；當(dāng)eq\f(4,3)R<h<2R時，V′<0.故當(dāng)h＝eq\f(4,3)R時，圓錐體積最大．11．(5分)設(shè)直線x＝t與函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝lnx的圖象分別交于M，N.則當(dāng)|MN|最小時t的值為()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(5),2) D．eq\f(\r(2),2)D解析：由題意，設(shè)F(t)＝t2－lnt(t>0)．令F′(t)＝2t－eq\f(1,t)＝0，得t＝eq\f(\r(2),2)或t＝－eq\f(\r(2),2)(舍去)．F(t)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，＋∞))上單調(diào)遞增，則t＝eq\f(\r(2),2)時，F(xiàn)(t)取最小值，即|MN|最小．12．(5分)內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長最大的矩形的寬和長分別為()A．eq\f(R,2)和eq\f(3,2)R B．eq\f(\r(5),5)R和eq\f(4\r(5),5)RC．eq\f(4,5)R和eq\f(7,5)R D．以上都不對B解析：設(shè)矩形的寬為x，則長為2eq\r(R2－x2)，則l＝2x＋4eq\r(R2－x2)(0<x<R)，l′＝2－eq\f(4x,\r(R2－x2))，令l′＝0，解得x1＝eq\f(\r(5),5)R，x2＝－eq\f(\r(5),5)R(舍去)．當(dāng)0<x<eq\f(\r(5),5)R時，l′>0；當(dāng)eq\f(\r(5),5)R<x<R時，l′<0，所以當(dāng)x＝eq\f(\r(5),5)R時，l取得最大值，即周長最大的矩形的寬和長分別為eq\f(\r(5),5)R，eq\f(4\r(5),5)R.13.(5分)函數(shù)y＝x＋2cosx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上取最大值時，x的值為________．eq\f(π,6)解析：y′＝1－2sinx．由y′≥0得0≤x≤eq\f(π,6)；由y′<0得eq\f(π,6)<x≤eq\f(π,2).所以原函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上遞增，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))上遞減．故當(dāng)x＝eq\f(π,6)時，函數(shù)取得極大值，同時也是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最大值.14.(5分)當(dāng)x∈[－1,1]時，函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,ex)的值域是________．[0，e]解析：∵f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x2,ex)))′＝eq\f(2x·ex－x2·ex,ex2)＝eq\f(2x－x2,ex)，x∈[－1,1]，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．∵f(－1)＝e，f(0)＝0，f(1)＝eq\f(1,e)，∴函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,ex)，x∈[－1,1]的值域為[0，e].15.(5分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(a,x2)＋2lnx，若當(dāng)a>0時，f(x)≥2恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．[e，＋∞)解析：由f(x)＝eq\f(a,x2)＋2lnx得f′(x)＝eq\f(2x2－a,x3)，又函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－eq\r(a)(舍去)或x＝eq\r(a).當(dāng)0<x<eq\r(a)時，f′(x)<0；當(dāng)x>eq\r(a)時，f′(x)>0.故x＝eq\r(a)是函數(shù)f(x)的極小值點，也是最小值點，且f(eq\r(a))＝lna＋1.要使f(x)≥2恒成立，需lna＋1≥2恒成立，則a≥e.16.(5分)某商場銷售某種商品，經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(千克)與銷售價格x(元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，x∈(3,6)．若該商品的成本為3元/千克，則當(dāng)銷售價格為________元/千克時，該商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．4解析：商場每日銷售該商品所獲得的利潤為f(x)＝(x－3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,x－3)＋10x－62))＝2＋10(x－3)·(x－6)2,3<x<6，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)·(x－6)．令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6(舍去)．函數(shù)f(x)在(3,4)上單調(diào)遞增，在(4,6)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝4時函數(shù)f(x)取得最大值f(4)＝42.故當(dāng)銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大，最大值為42元.17.(15分)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在[－1,0)∪(0,1]上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,0)時，f(x)＝2ax＋eq\f(1,x2)(a∈R)．(1)當(dāng)x∈(0,1]時，求