2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章向量的數(shù)量積與三角恒等變換8.2.2兩角和與差的正弦正切課時(shí)素養(yǎng)檢測含解析新人教B版必修第三冊

PAGE課時(shí)素養(yǎng)檢測十八兩角和與差的正弦、正切(30分鐘60分)一、選擇題(每小題4分,共24分,多選題全部選對得4分,選對但不全對的得2分,有選錯(cuò)的得0分)1.計(jì)算sin8°cos38°-sin82°sin38°等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.-QUOTE【解析】選C.逆用兩角差的正弦公式,得sin8°cos38°-sin82°sin38°=sin8°cos38°-cos8°sin38°=sin(8°-38°)=sin(-30°)=-sin30°=-QUOTE.2.sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE= ()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】選A.逆用兩角和的正弦公式,得sinQUOTEcosQUOTE+cosQUOTEsinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTE=QUOTE.3.QUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選A.QUOTE=tan(82°-22°)=tan60°=QUOTE.4.已知cosQUOTE=2cos(π-α),則tanQUOTE=()A.-4 B.4 C.-QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因?yàn)閏osQUOTE=2cos(π-α),所以-sinα=-2cosα,所以tanα=QUOTE=2,所以tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.5.已知A,B,C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角,且tanA,tanB是方程3x2-5x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則△ABC是()A.鈍角三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.無法確定【解析】選A.因?yàn)閠anA,tanB是方程3x2-5x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則tanA+tanB=QUOTE,tanAtanB=QUOTE,所以tan(A+B)=QUOTE=QUOTE,所以0<A+B<QUOTE,得QUOTE<C<π,所以△ABC是鈍角三角形.【補(bǔ)償訓(xùn)練】在△ABC中,∠C=120°,tanA+tanB=QUOTE,則tanAtanB的值為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選B.因?yàn)椤螩=120°,所以∠A+∠B=60°,所以tan(A+B)=QUOTE=QUOTE,所以tanA+tanB=QUOTE(1-tanAtanB)=QUOTE,解得tanAtanB=QUOTE.6.(多選題)下列敘述正確的為 ()A.對于隨意θ∈R,總有sinQUOTE=cosθB.存在α、β,滿意sin(α―β)=sinα―sinβC.不存在α、β,滿意sin(α+β)=sinα+sinβD.對隨意α、β,sin(α+β)=sinα+sinβ【解析】選AB.sinQUOTE=sinQUOTEcosθ+cosQUOTEsinθ=cosθ,A正確.存在α=π、β=π,滿意sin(α―β)=sinα―sinβ,B正確.存在α=0、β=QUOTE,滿意sin(α+β)=sinα+sinβ,C不正確.對隨意α、β,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,D不正確.二、填空題(每小題4分,共8分)7.若點(diǎn)P(cosα,sinα)在直線y=-2x上,則tanQUOTE=.

【解析】由題意得tanα=-2,所以tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE8.已知α、β均為銳角,且tanβ=QUOTE,則tan(α+β)=.

【解析】已知α、β均為銳角,且tanβ=QUOTE,則tanβ=QUOTE,得tanα+tanβ=1-tanαtanβ,tan(α+β)=QUOTE=1.答案:1三、解答題(每小題14分,共28分)9.求下列各式的值:(1)sin245°sin125°+sin155°sin35°;(2)(1-tan59°)(1-tan76°).【解析】(1)sin245°sin125°+sin155°sin35°=-sin65°cos35°+cos65°sin35°=sin(35°-65°)=sin(-30°)=-QUOTE.(2)因?yàn)閠an135°=tan(59°+76°)=QUOTE,所以tan59°+tan76°=-(1-tan59°tan76°),所以(1-tan59°)(1-tan76°)=1-(tan59°+tan76°)+tan59°tan76°=1+1-tan59°tan76°+tan59°tan76°=2.【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知sinα=-QUOTE,α是第四象限角,分別求sinQUOTE,cosQUOTE,tanQUOTE的值.【解析】因?yàn)閟inα=-QUOTE,α是第四象限角,得cosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE,tanα=QUOTE=QUOTE=-QUOTE,于是有sinQUOTE=sinQUOTEcosα-cosQUOTEsinα=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.cosQUOTE=cosQUOTEcosα-sinQUOTEsinα=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.tanQUOTE=QUOTE=QUOTE=-7.10.已知sinQUOTE=QUOTE,cosQUOTE=QUOTE,且0<α<QUOTE<β<QUOTE,求cos(α+β).【解析】由sinQUOTE=QUOTE,cosQUOTE=QUOTE,且0<α<QUOTE<β<QUOTE,得QUOTE<α+QUOTE<π,-QUOTE<QUOTE-β<0,所以cosQUOTE=-QUOTE=-QUOTE,sinQUOTE=-QUOTE=-QUOTE,所以cos(α+β)=sinQUOTE=sinQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE-cosQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α,β,它們的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).已知A,B的橫坐標(biāo)分別為QUOTE,QUOTE.(1)求tan(α+β)的值.(2)求α+2β的值.【解題指南】解答本題可先由隨意角三角函數(shù)定義求cosα,cosβ,再求sinα,sinβ,從而求出tanα,tanβ,然后利用公式Tα+β求tan(α+β),最終利用α+2β=(α+β)+β求tan(α+2β)得到α+2β的值.【解析】(1)由三角函數(shù)的定義可知cosα=QUOTE,cosβ=QUOTE;所以sinα=QUOTE,sinβ=QUOTE,所以tanα=7,tanβ=QUOTE,于是tan(α+β)=QUOTE=-3.(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=QUOTE=QUOTE=-1.又0<α<QUOTE,0<β<QUOTE,所以0<α+2β<QUOTE,由tan(α+2β)=-1,得α+2β=QUOTE.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.計(jì)算cos58°sin32°+sin58°sin122°的值為 ()A.1 B.―1 C.0 B.―QUOTE【解析】選A.方法一:cos58°sin32°+sin58°sin122°=cos58°cos58°+sin58°sin(180°―58°)=cos58°cos58°+sin58°sin58°=cos(58°-58°)=cos0°=1.方法二:原式=cos258°+sin258°=1.2.已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,其終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-QUOTE,1),則sinQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因?yàn)榻铅鹊捻旤c(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的正半軸重合,其終邊經(jīng)過點(diǎn)P(-QUOTE,1),則|OP|=2,得sinθ=QUOTE,cosθ=-QUOTE,所以sinQUOTE=sinθcosQUOTE-cosθsinQUOTE=QUOTEsinθ-QUOTEcosθ=QUOTE+QUOTE=QUOTE.3.(2024·全國Ⅲ卷)已知sinθ+sinQUOTE=1,則sinQUOTE= ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.由題意可得:sinθ+QUOTEsinθ+QUOTEcosθ=1,則QUOTEsinθ+QUOTEcosθ=1,QUOTEsinθ+QUOTEcosθ=QUOTE,從而有:sinθcosQUOTE+cosθsinQUOTE=QUOTE,即sinQUOTE=QUOTE.4.在三角形ABC中,三個(gè)內(nèi)角分別是A,B,C,若sinC=2cosAsinB,則三角形ABC肯定是 ()A.直角三角形 B.正三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解析】選C.在三角形ABC中,A+B+C=π,由sinC=2cosAsinB,得sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=2cosAsinB,得sinAcosB+cosAsinB=2cosAsinB,所以sinAcosB-cosAsinB=0,sin(A-B)=0,得A-B=0,即A=B,則三角形ABC肯定是等腰三角形.二、填空題(每小題4分,共16分)5.計(jì)算cos89°cos31°-cos1°cos59°=.

【解析】cos89°cos31°-cos1°cos59°=sin1°cos31°-cos1°sin31°=sin(1°-31°)=sin(-30°)=―QUOTE.答案:―QUOTE6.已知tanQUOTE=2,則QUOTE的值為.

【解析】因?yàn)閠anQUOTE=2,所以QUOTE=2,解得tanα=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE7.已知tanQUOTE=-3,則tanQUOTE=.

【解析】tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE=-QUOTE.答案:-QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】計(jì)算QUOTE的值是.

【解析】因?yàn)閟in68°=sin60°cos8°+cos60°sin8°,cos68°=cos60°cos8°-sin60°sin8°,所以QUOTE=QUOTE=tan60°=QUOTE.答案:QUOTE8.關(guān)于函數(shù)f(x)=sinx+QUOTEcosx,有下述三個(gè)結(jié)論:①f(x)是偶函數(shù);②f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增;③當(dāng)x=θ時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值,則cosθ=QUOTE.其中,全部正確結(jié)論的編號是.

【解析】函數(shù)f(x)=sinx+QUOTEcosx=2QUOTE=2QUOTE=2sinQUOTE,明顯,f(x)不是偶函數(shù),①不正確;由-QUOTE+2kπ≤x+QUOTE≤QUOTE+2kπ,k∈Z,得-QUOTE+2kπ≤x≤QUOTE+2kπ,所以f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增,從而f(x)在QUOTE上單調(diào)遞增,②正確;函數(shù)f(x)的最大值為2,此時(shí)x+QUOTE=QUOTE+2kπ,x=QUOTE+2kπ,k∈Z,x=θ,所以cosθ=QUOTE,③正確.答案:②③三、解答題(共38分)9.(12分)求值: