河南省鄭州市2025屆高三數(shù)學(xué)第二次質(zhì)量預(yù)測二模試題文含解析

PAGE21-河南省鄭州市2025屆高三數(shù)學(xué)其次次質(zhì)量預(yù)料（二模）試題文（含解析）一、選擇題（每小題5分）.1．設(shè)集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，則A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿意（1+i）z＝2i，則|z|＝（）A． B． C． D．23．如圖是某統(tǒng)計部門網(wǎng)站發(fā)布的《某市2024年2～12月國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》中居民消費價格指數(shù)（CPI）月度漲跌幅度折線圖（注：同比是今年第n個月與去年第n個月相比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計周期和上一個統(tǒng)計周期相比）下列說法錯誤的是（）①2024年9月CPI環(huán)比上升0.5%，同比上漲2.1%②2024年9月CP1環(huán)比上升0.2%，同比無改變③2024年3月CPI環(huán)比下降1.1%，同比上漲0.2%④2024年3月CPI環(huán)比下降0.2%，同比上漲1.7%A．①③ B．①④ C．②④ D．②③4．?dāng)€尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式．宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．以四角攢尖為例，它的主要部分的輪席可近似看作一個正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為α，則側(cè)棱長與底面外接圓的直徑的比為（）A． B． C． D．5．若直線x+ay﹣a﹣1＝0與圓C：（x﹣2）2+y2＝4交于A，B兩點，當(dāng)|AB|最小時，劣弧的長為（）A． B．π C．2π D．3π6．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，假如a、b、c成等差數(shù)列，B＝30°，△ABC的面積為，則b等于（）A． B． C． D．7．執(zhí)行如圖的程序框圖，假如輸入的?為0.01，則輸出s的值等于（）A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣8．皮埃爾?德?費馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對數(shù)學(xué)作出了重大貢獻(xiàn)，其中在1636年發(fā)覺了：若p是質(zhì)數(shù)，且a，p互質(zhì)，那么a的（p﹣1）次方除以p的余數(shù)恒等于1，后來人們稱該定理為費馬小定理．依此定理，若在數(shù)集{2，3，5，6，8}中任取兩個數(shù)，其中一個作為p，另一個作為a，則所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）（c＞0），過點P（，0）的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，且＝﹣3，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．f（x）＝2cos（） B．不等式f（x）＞1的解集為（2kπ﹣，2kπ+π），k∈Z C．函數(shù)f（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間為[，] D．若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)記為g（x），則g（x）是奇函數(shù)11．已知a﹣5＝ln＜0，b﹣4＝ln＜0，c﹣3＝ln＜0，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a12．已知三棱錐P﹣ABC的各個頂點都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是線段AB上一點，且AD＝5DB．過點D作球O的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為28π，則球O的表面積為（）A．128π B．132π C．144π D．156π二、填空題（每小題5分）.13．直線y＝x+b是曲線y＝lnx的一條切線，則實數(shù)b的值為．14．已知向量與的夾角為60°，||＝3，||＝6，則2﹣在方向上的投影為．15．假如函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的隨意x1，x2，…，xn，都有≤f（）．若y＝sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是．16．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝1，A＝，若λb+c有最大值，則實數(shù)λ的取值范圍是．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：每題12分，共60．17．2024年2月25日，在全國脫貧攻堅總結(jié)表彰大會上，習(xí)近平總書記莊重宣告：我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面成功．目前，河南省53個貧困縣已經(jīng)全部脫貧摘帽，退出貧困縣序列.2016年起，我省某貧困地區(qū)創(chuàng)新開展產(chǎn)業(yè)扶貧，響應(yīng)第三產(chǎn)業(yè)的扶貧攻堅政策，經(jīng)濟(jì)收入逐年增加．該地的經(jīng)濟(jì)收入改變及構(gòu)成比例如圖所示：年份2016年2017年2024年2024年2024年年份代號x12345經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬元）59141720（Ⅰ）依據(jù)以上圖表，試分析：與2016年相比，2024年第三產(chǎn)業(yè)與種植業(yè)收入改變狀況；（Ⅱ）求經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于x的線性回來方程，并預(yù)料2025年該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)收入．參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回來直線＝x的斜率和截距的最小二乘估計分別為：＝＝，＝﹣．18．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且{bn}的前n項和為Sn，2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），___．在①b5＝4（b4﹣b3），②bn+1＝Sn+2這兩個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并完成下面問題的解答．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{an﹣bn}的前n項和Tn．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，點M，N分別在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN．證明：（Ⅰ）點D在平面B1MN內(nèi)；（Ⅱ）MN⊥BD．20．如圖，已知拋物線Γ：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，O為坐標(biāo)原點，A為拋物線Γ上一點，直線AO與l交于點C，直線AF與拋物線Γ的另一個交點為B．（Ⅰ）證明：直線BC∥x軸；（Ⅱ）設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點為E，連接BE，且BE⊥BF．證明：||AF|﹣|BF||＝8．21．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（x+1）．（Ⅰ）探討函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）對隨意x＞0，求證：﹣a（x+1）＞f（x）．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．在答題卷上將所選題號涂黑，假如多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程是（t是參數(shù)，α∈[0，）），以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ．（Ⅰ）寫出曲線C2的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）若曲線C1與C2有且僅有一個公共點，求sin2α﹣sinαcosα的值．[選修4-5：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題（每小題5分）.1．設(shè)集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，則A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5} B．{x|2＜x＜5} C．{3，4} D．{3，4，5}解：∵A＝{3，4，5}，B＝{x|0＜x﹣1＜4}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{3，4}．故選：C．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿意（1+i）z＝2i，則|z|＝（）A． B． C． D．2解：∵（1+i）z＝2i，∴（1﹣i）（1+i）z＝2i（1﹣i），z＝i+1．則|z|＝．故選：C．3．如圖是某統(tǒng)計部門網(wǎng)站發(fā)布的《某市2024年2～12月國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》中居民消費價格指數(shù)（CPI）月度漲跌幅度折線圖（注：同比是今年第n個月與去年第n個月相比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計周期和上一個統(tǒng)計周期相比）下列說法錯誤的是（）①2024年9月CPI環(huán)比上升0.5%，同比上漲2.1%②2024年9月CP1環(huán)比上升0.2%，同比無改變③2024年3月CPI環(huán)比下降1.1%，同比上漲0.2%④2024年3月CPI環(huán)比下降0.2%，同比上漲1.7%A．①③ B．①④ C．②④ D．②③解：依據(jù)折線圖（下圖）可得，其中上一條折線為月度同比折線圖，下一條為月度環(huán)比折線圖，所以依據(jù)數(shù)據(jù)可得，9月份月度環(huán)比比上年上漲0.5%，同比比上年上漲2.1%，故①正確；依據(jù)數(shù)據(jù)可得，3月份月度環(huán)比比上年下降0.2%，同比比上年上漲1.7%，故④正確；因此②③錯誤．故選：B．4．?dāng)€尖是中國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式．宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分．多見于亭閣式建筑，園林建筑．以四角攢尖為例，它的主要部分的輪席可近似看作一個正四棱錐，若此正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為α，則側(cè)棱長與底面外接圓的直徑的比為（）A． B． C． D．解：正四棱錐的底面是正方形，其外接圓的半徑為R，則正方形的邊長為，因為正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為α，設(shè)側(cè)棱長為l，則有，解得，所以側(cè)棱長與底面外接圓的直徑的比為．故選：D．5．若直線x+ay﹣a﹣1＝0與圓C：（x﹣2）2+y2＝4交于A，B兩點，當(dāng)|AB|最小時，劣弧的長為（）A． B．π C．2π D．3π解：直線x+ay﹣a﹣1＝0可化為：（x﹣1）+a（y﹣1）＝0，則當(dāng)x﹣1＝0且y﹣1＝0，即x＝1且y＝1時，等式恒成立，所以直線恒過定點M（1，1），設(shè)圓的圓心為C（2，0），半徑r＝2，當(dāng)MC⊥直線AB時，|AB|取得最小值，且最小值為2＝2＝2，此時弦長AB對的圓心角為，所以劣弧長為×2＝π，故選：B．6．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，假如a、b、c成等差數(shù)列，B＝30°，△ABC的面積為，則b等于（）A． B． C． D．解：由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB①，又S△ABC＝acsinB＝ac＝，∴ac＝6，②∵a、b、c成等差數(shù)列，∴a+c＝2b，③，將②③代入①得b2＝4b2﹣12﹣6，化簡整理得b2＝4+2，解得b＝1+．故選：A．7．執(zhí)行如圖的程序框圖，假如輸入的?為0.01，則輸出s的值等于（）A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣解：第一次執(zhí)行循環(huán)體后，s＝1，x＝，不滿意退出循環(huán)的條件x＜0.01；再次執(zhí)行循環(huán)體后，s＝1+，x＝，不滿意退出循環(huán)的條件x＜0.01；再次執(zhí)行循環(huán)體后，s＝1++，x＝，不滿意退出循環(huán)的條件x＜0.01；…由于＞0.01，而＜0.01，可得：當(dāng)s＝1++++…，x＝，此時，滿意退出循環(huán)的條件x＜0.01，輸出s＝1+++…＝2﹣．故選：C．8．皮埃爾?德?費馬，法國律師和業(yè)余數(shù)學(xué)家，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”，對數(shù)學(xué)作出了重大貢獻(xiàn)，其中在1636年發(fā)覺了：若p是質(zhì)數(shù)，且a，p互質(zhì)，那么a的（p﹣1）次方除以p的余數(shù)恒等于1，后來人們稱該定理為費馬小定理．依此定理，若在數(shù)集{2，3，5，6，8}中任取兩個數(shù)，其中一個作為p，另一個作為a，則所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為（）A． B． C． D．解：在數(shù)集{2，3，5，6，8}中任取兩個數(shù)，其中一個作為p，另一個作為a，基本領(lǐng)件總數(shù)n＝＝20，所取兩個數(shù)（p，a）符合費馬小定理包含的基本領(lǐng)件有：（2，3），（2，5），（3，2），（3，5），（3，8），（5，2），（5，3），（5，6），（5，8），共9個，∴所取兩個數(shù)符合費馬小定理的概率為P＝．故選：B．9．已知雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）（c＞0），過點P（，0）的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，且＝﹣3，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．解：由＝﹣3可知，F(xiàn)1A∥F2B，所以△AF1P∽△BF2P，且，即，化簡可得，即e2＝2，所以e＝（負(fù)值舍去），故選：A．10．已知函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．f（x）＝2cos（） B．不等式f（x）＞1的解集為（2kπ﹣，2kπ+π），k∈Z C．函數(shù)f（x）的一個單調(diào)遞減區(qū)間為[，] D．若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)記為g（x），則g（x）是奇函數(shù)解：依據(jù)函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象，可得A＝2，?＝+，∴ω＝．結(jié)合五點法作圖，可得?+φ＝0，∴φ＝﹣，f（x）＝2cos（﹣），故A錯誤；不等式f（x）＞1，即cos（﹣）＞，∴2kπ﹣≤﹣≤2kπ+，求得4kπ﹣≤x≤4kπ+π，故不等式的解集為（4kπ﹣，4kπ+π），k∈Z，故B錯誤；當(dāng)x∈[，]時，﹣∈[﹣，]，f（x）沒有單調(diào)性，故C錯誤；將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個單位長度后所得圖象對應(yīng)的函數(shù)記為g（x）＝2cos（﹣﹣）＝2sin，則g（x）是奇函數(shù)，故D正確．故選：D．11．已知a﹣5＝ln＜0，b﹣4＝ln＜0，c﹣3＝ln＜0，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．b＜c＜a B．a(chǎn)＜c＜b C．a(chǎn)＜b＜c D．c＜b＜a解：令f（x）＝x﹣lnx，則＝，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．故f（5）＞f（4）＞f（3），所以5﹣ln5＞4﹣ln4＞3﹣ln3，因為a﹣5＝ln＝lna﹣ln5＜0，b﹣4＝ln＝lnb﹣ln4＜0，c﹣3＝ln＝lnc﹣ln3＜0，所以a﹣lna＝5﹣ln5，b﹣lnb＝4﹣ln4，c﹣lnc＝3﹣ln3，故a﹣lna＞b﹣lnb＞c﹣lnc，所以f（a）＞f（b）＞f（c），因為a﹣4＝lna﹣ln4＜0得0＜a＜4，又a﹣lna＝4﹣ln4，所以f（a）＝f（4），則0＜a＜1，同理f（b）＝f（3），f（c）＝f（2），所以0＜b＜1，0＜c＜1，所以c＞b＞a．故選：C．12．已知三棱錐P﹣ABC的各個頂點都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是線段AB上一點，且AD＝5DB．過點D作球O的截面，若所得截面圓面積的最大值與最小值之差為28π，則球O的表面積為（）A．128π B．132π C．144π D．156π解：因為AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，所以，設(shè)面ABC所截的截面圓的圓心為O'，外接球的球心為O，則O'為BC的中點，且OO'⊥平面ABC，則有O'A＝O'B＝O'C＝，取AB的中點E，連結(jié)O'E，O'O，則O'E＝，因為AD＝5DB，AB＝8，E為AB的中點，所以DE＝2，所以，設(shè)OO'＝x，則有OD2＝O'D2+OO'2＝20+x2，則球的半徑R2＝O'A2+x2＝52+x2＝25+x2，故與OD垂直的截面圓的半徑，所以截面圓面積的最小值為πr2＝5π，截面圓面積的最大值為πR2，由題意可得πR2﹣5π＝28π，解得R2＝33π，所以球的表面積為S＝4πR2＝132π．故選：B．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．直線y＝x+b是曲線y＝lnx的一條切線，則實數(shù)b的值為ln3﹣1．解：y′＝（lnx）′＝，令＝，得x＝3，∴切點為（3，ln3），代入直線方程y＝x+b，∴l(xiāng)n3＝×3+b，∴b＝ln3﹣1．故答案為：ln3﹣1．14．已知向量與的夾角為60°，||＝3，||＝6，則2﹣在方向上的投影為3．解：向量與的夾角為60°，||＝3，||＝6，可得2﹣在方向上的投影為：＝＝＝3．故答案為：3．15．假如函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的隨意x1，x2，…，xn，都有≤f（）．若y＝sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值是．解：∵y＝sinx在區(qū)間（0，π）上是凸函數(shù)，且在△ABC中，A，B，C∈（0，π），A+B+C＝π，∴≤sin＝sin＝，∴sinA+sinB+sinC≤．故答案為：．16．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝1，A＝，若λb+c有最大值，則實數(shù)λ的取值范圍是（，）．解：因為a＝1，A＝，由正弦定理得：＝，所以λb+c＝（λsinB+sinC）＝λsinB+sin（﹣B）＝λsinB+（cosB﹣sinB）＝（λ﹣1）sinB+cosB＝sin（B+θ），其中tanθ＝，由B∈（0，），λb+c存在最大值，即B+θ＝有解，即θ∈（，），可得λ﹣1＞0，解得λ＞，又＞1，解得λ＜，則實數(shù)λ的取值范圍是（，）．故答案為：（，）．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答．第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答．（一）必考題：每題12分，共60．17．2024年2月25日，在全國脫貧攻堅總結(jié)表彰大會上，習(xí)近平總書記莊重宣告：我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得全面成功．目前，河南省53個貧困縣已經(jīng)全部脫貧摘帽，退出貧困縣序列.2016年起，我省某貧困地區(qū)創(chuàng)新開展產(chǎn)業(yè)扶貧，響應(yīng)第三產(chǎn)業(yè)的扶貧攻堅政策，經(jīng)濟(jì)收入逐年增加．該地的經(jīng)濟(jì)收入改變及構(gòu)成比例如圖所示：年份2016年2017年2024年2024年2024年年份代號x12345經(jīng)濟(jì)收入y（單位：百萬元）59141720（Ⅰ）依據(jù)以上圖表，試分析：與2016年相比，2024年第三產(chǎn)業(yè)與種植業(yè)收入改變狀況；（Ⅱ）求經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于x的線性回來方程，并預(yù)料2025年該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)收入．參考公式：對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回來直線＝x的斜率和截距的最小二乘估計分別為：＝＝，＝﹣．解：（Ⅰ）①與2016年相比，2024年第三產(chǎn)業(yè)的收入占比大幅度增加；②2016年第三產(chǎn)業(yè)的收入為0.3百萬元，2024年第三產(chǎn)業(yè)的收入為6百萬元，收入大幅度增加；③與2016年相比，種植業(yè)收入占比削減，但種植業(yè)收入依舊保持增長；（Ⅱ）由表格中的數(shù)據(jù)可知，，，，則＝＝，所以＝﹣＝1.6，故經(jīng)濟(jì)收入y關(guān)于x的線性回來方程為＝3.8x+1.6，當(dāng)x＝10時，＝39.6，則2025年該地區(qū)的經(jīng)濟(jì)收入預(yù)料為39.6百萬元．18．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且{bn}的前n項和為Sn，2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），___．在①b5＝4（b4﹣b3），②bn+1＝Sn+2這兩個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并完成下面問題的解答．（Ⅰ）求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{an﹣bn}的前n項和Tn．解：等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，選①b5＝4（b4﹣b3），（Ⅰ）由2a1＝b1＝2，a5＝5（a4﹣a3），b5＝4（b4﹣b3），可得1+4d＝5d，2q4＝4（2q3﹣2q2），解得d＝1，q＝2，則an＝1+n﹣1＝n，bn＝2?2n﹣1＝2n；（Ⅱ）an﹣bn＝n﹣2n，則Tn＝（1+2+3+…+n）﹣（2+4+8+…+2n）＝n（n+1）﹣＝（n2+n）﹣2n+1+2．選②bn+1＝Sn+2，（Ⅰ）由2a1＝2，a5＝5（a4﹣a3），bn+1＝Sn+2，可得1+4d＝5d，解得d＝1，由b1＝2，bn+1＝Sn+2，①當(dāng)n≥2時，bn＝Sn﹣1+2，②①﹣②可得bn+1﹣bn＝Sn﹣Sn﹣1＝bn，即bn+1＝2bn，由n＝1時，b2＝S1+2＝b1+2＝4，所以bn＝b2?2n﹣2＝2n，上式對n＝1也成立，所以an＝1+n﹣1＝n，bn＝2?2n﹣1＝2n；（Ⅱ）an﹣bn＝n﹣2n，則Tn＝（1+2+3+…+n）﹣（2+4+8+…+2n）＝n（n+1）﹣＝（n2+n）﹣2n+1+2．19．在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，點M，N分別在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN．證明：（Ⅰ）點D在平面B1MN內(nèi)；（Ⅱ）MN⊥BD．【解答】證明：（Ⅰ）連接MD，∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，點M，N分別在棱AA1，CC1上，且AM＝2MA1，C1N＝2CN，∴由平行線性質(zhì)定理得到MD∥B1N，∴四邊形MDNB1是平面圖形，∴點D在平面B1MN內(nèi)；（Ⅱ）連接AC，BD，∵在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，點M，N分別在棱AA1，CC1上，∴AC⊥BD，AA1⊥BD，∵AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，∵M(jìn)N?平面ACC1A1，∴MN⊥BD．20．如圖，已知拋物線Γ：y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，O為坐標(biāo)原點，A為拋物線Γ上一點，直線AO與l交于點C，直線AF與拋物線Γ的另一個交點為B．（Ⅰ）證明：直線BC∥x軸；（Ⅱ）設(shè)準(zhǔn)線l與x軸的交點為E，連接BE，且BE⊥BF．證明：||AF|﹣|BF||＝8．解：（Ⅰ）證明：由拋物線的性質(zhì)可得焦點F（2，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣2，設(shè)A（，y1），B（，y2），所以直線AO的方程為：y＝x，由題意可得C（﹣2，﹣），設(shè)直線AB的方程為：x＝my+2，聯(lián)立，整理可得y2﹣8my﹣16＝0，所以y1y2＝﹣16，可得y2＝﹣，所以yC＝y(tǒng)2，所以BC∥x軸；（Ⅱ）證明：因為準(zhǔn)線方程為x＝﹣2，由題意可得E（﹣2，0），＝（﹣2﹣，﹣y2），＝（2﹣，﹣y2），因為BE⊥BF，所以?＝0，即y22+（﹣2﹣）（2﹣）＝0，解得y2＝，x2＝2+4，由（Ⅰ）可得x1x2＝＝＝4，所以x1＝2﹣4，|AF|＝x1+2，|BF|＝x2+2，所以可證：||AF|﹣|BF||＝|x1﹣x2|＝8．21．已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣a（x+1）．（Ⅰ）探討函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）對隨意x＞0，求證：﹣a（x+1）＞f（x）．解：（Ⅰ）由題意得f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）＝﹣a＝，當(dāng)a≤0時，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時，令f′（x）＞0，解得0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)遞減；（Ⅱ）證明：要證﹣a（x+1）＞f（x），即證?﹣lnx＞0，令g（x）＝?