【變量代換在數(shù)學(xué)探析中的應(yīng)用探究4700字（論文）】

變量代換在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u11474變量代換在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用研究 1166961引言 1267102變量代換概述 282512.1變量代換法的定義 287712.2變量代換法的意義 2191242.3變量代換的分類 36923用變量代換計(jì)算極限 3204664用變量代換來計(jì)算積分 6115014.1變量代換在第一類換元積分中的應(yīng)用 667974.4變量代換在不定積分中的應(yīng)用 830495變量代換在多元函數(shù)微分中的應(yīng)用 10290076總結(jié) 117197參考文獻(xiàn) 12摘要：變量代換在很多數(shù)學(xué)問題中都有應(yīng)用，涵蓋了高數(shù)中的很多內(nèi)容，例如變量代換可以應(yīng)用在高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)、微分、極限和積分等數(shù)學(xué)問題中，掌握這種數(shù)學(xué)方法是非常重要且必須的.在這篇文章中討論了變量代換法在一些常見數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用及一般計(jì)算方法，為更好的理解和學(xué)習(xí)變量代換法提供一些參考.關(guān)鍵詞：極限；積分；變量代換；求導(dǎo)1引言變量代換法的核心部分就是將難以解決的問題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題.因其具有非常靈活及多樣的特性，因此對(duì)于變量代換的應(yīng)用可以簡(jiǎn)單也可以復(fù)雜，只要適合用這種解題方法就會(huì)大大提高計(jì)算的效率.其實(shí)變量代換也不是任意隨便的替換掉式子中的內(nèi)容，而是如果不代換掉沒辦法快速的解決問題，且代換的部分可以看做一個(gè)有機(jī)的整體，才將其進(jìn)行代換掉，否則就沒有代換掉的意義，也達(dá)不到代換掉的效果，一般是用一個(gè)簡(jiǎn)單的變量來代換掉某個(gè)復(fù)雜式子中的繁瑣部分，在高中階段其實(shí)已經(jīng)有接觸和使用變量代換法，高中階段稱為換元法，換元法即把某部分內(nèi)容用其他數(shù)值代換，其實(shí)核心就是對(duì)于新元的構(gòu)建和設(shè)置，即重新設(shè)置及構(gòu)建一個(gè)變量，但是須注意的是代換必須是等量才可以代換，即使是不同的對(duì)象但是必須等量，即把復(fù)雜的代數(shù)式轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的代數(shù)式，也可以理解為把問題從原本的繁瑣對(duì)象轉(zhuǎn)換成新的簡(jiǎn)單對(duì)象再進(jìn)行計(jì)算.這樣做的好處就是讓復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單容易處理，提高效率，把得到的代數(shù)式變得更加的標(biāo)準(zhǔn)化，如果不用變量代換是很難達(dá)到這樣一個(gè)效果的.本篇文章將變量代換的基本原理，基礎(chǔ)，運(yùn)用方法，一般應(yīng)用范圍等多個(gè)方面進(jìn)行闡述研究，將變量代換的核心思想理念及靈活應(yīng)用方法技巧進(jìn)行總結(jié)運(yùn)用，為更多人學(xué)習(xí)理解變量代換法提供方向及學(xué)習(xí)技巧，帶來整個(gè)思想上的啟發(fā)，其次將變量代換法用于解決一些比較抽象難以理解的相關(guān)題目提高學(xué)生的思維廣度，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的壓力，不斷提高其解題的速度及解題技巧能力，例如將變量代換的方法運(yùn)用于計(jì)算極限和積分，也讓學(xué)生學(xué)會(huì)將變量代換這種思維方法運(yùn)用到數(shù)學(xué)以外的其他領(lǐng)域，提高個(gè)人的學(xué)習(xí)及解決問題的能力.2變量代換概述2.1變量代換法的定義變量代換顧名思義即把某些結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜的部分引入一些新的變量將其進(jìn)行替換，一般運(yùn)用于繁瑣、復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)相關(guān)問題，之所以進(jìn)行替換是因?yàn)樵瓉淼慕Y(jié)構(gòu)太過于復(fù)雜不利于計(jì)算，只有經(jīng)過替換才能將原來的復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，這樣可以減輕解決問題的工作量及難度，其實(shí)變量代換的數(shù)學(xué)思想運(yùn)用很廣泛，只是應(yīng)用在不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域有不同的定義【1】.2.2變量代換法的意義變量代換是一種十分受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)研究者歡迎和喜愛的數(shù)學(xué)解題方法，應(yīng)用相當(dāng)廣泛，只要滿足一定條件就可以使用，可以很明顯的降低解題難度，提高解題效率，尤其是遇到一些復(fù)雜的不等式題目如果不用這種解題方法可能耗費(fèi)大量時(shí)間也不一定解決好，但是要注意的是有必要使用變量代換的時(shí)候才用，否則就不能達(dá)到簡(jiǎn)化解題的目的，運(yùn)用變量代換方法之后可以將題目中隱含的條件體現(xiàn)出來，能夠提供更多的解題思路，提高解題準(zhǔn)確度及解題速度，例如在解決不等式相關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，為了讓復(fù)雜的三角函數(shù)問題更好理解及計(jì)算簡(jiǎn)單，一般采用增量代換及三角代換方法，又比如倒數(shù)代換這種方法是解決極限問題的最好幫手，能夠讓求解的過程變得容易許多，其次在一重、二重、三重積分中變量代換都是其題目解決的最常用方法，無論是稍微復(fù)雜的問題還是非常復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題只要方法得當(dāng)就可以大大提高其計(jì)算效率，變量代換這一重要數(shù)學(xué)方法在整個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決中有著非常重要的地位【2】.2.3變量代換的分類按照變量代換的具體代換量大小多少以及整體局部的關(guān)系，一般可以分為局部部分代換法（常見的有整體中難以運(yùn)算的一部分進(jìn)行代換）、整體代換法（例如可以看做一個(gè)有機(jī)整體的函數(shù)進(jìn)行全部代換）、分式代換（一般是將已經(jīng)設(shè)置好的未知量代換掉原來復(fù)雜的分式，可以讓題目簡(jiǎn)單化）、三角代換（把復(fù)雜式子中的三角函數(shù)用設(shè)定好的未知數(shù)進(jìn)行快速代換）、增量代換法（把原來的增量式子用未知數(shù)進(jìn)行代換），通常是有以上幾種類型，不過在解決具體題目時(shí)還是需要靈活判斷及應(yīng)用，才能達(dá)到提高解題效率的最終目的【3】.3用變量代換計(jì)算極限3.1用變量代換來求函數(shù)的極限定義1假設(shè)，其中，.如果，，，，.有.證因?yàn)?，，，時(shí)，則有，，，時(shí)，，，則令，，當(dāng)，則有則，得證例1試計(jì)算：解令，，此時(shí)可得，.由于是定義在上的連續(xù)函數(shù)，則，，綜上所述，定義2假設(shè)，令，.如果，.證因?yàn)?，，時(shí)，則因?yàn)?，，時(shí)，則，，，，則，，得證.例2試計(jì)算.解假設(shè)，，此時(shí)存在，由于函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，因此綜上所述，.例3試計(jì)算.解假設(shè)，而，此時(shí)可以得到：，結(jié)合上述假設(shè)可知，定義3假設(shè)，令，，如果：，，那么，當(dāng)，的時(shí)候，.此時(shí)有：證因?yàn)?，，，時(shí)，則，，，，則有，，，令，，則，，可得，即得證.例4請(qǐng)嘗試計(jì)算解假設(shè)，，此時(shí)，，，由于函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，當(dāng)，時(shí)，由于，此時(shí)可得，.3.2用根式代換來求極限在解含根式的極限時(shí)，可以簡(jiǎn)單的運(yùn)用根式來進(jìn)行代換，然后再消去根號(hào)對(duì)其進(jìn)行下一步的求解.例5試計(jì)算.解令，，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)有例6試計(jì)算.解設(shè)，，時(shí)，則4用變量代換來計(jì)算積分4.1變量代換在第一類換元積分中的應(yīng)用計(jì)算某些復(fù)雜函數(shù)積分的時(shí)候，可以把原函數(shù)先拆分成復(fù)合函數(shù)，然后利用變量代換進(jìn)行下一步的求解.例7試計(jì)算.解假設(shè)，，因?yàn)?，，因此可知：，此時(shí)將代入上述算式，可得：例8試計(jì)算.解，假設(shè)，此時(shí)當(dāng)把代入上述式子時(shí)，可得：4.2變量代換在含有指數(shù)的積分中的應(yīng)用當(dāng)在積分中存在指數(shù)或等形式時(shí)，這時(shí)便可以利用簡(jiǎn)單的指數(shù)代換，用以消掉指數(shù)或等形式，之后便可進(jìn)行下一步求解.例9試計(jì)算.解令，由于，此時(shí)有例10試計(jì)算.解令，因此，，此時(shí)，注意在對(duì)不定積分進(jìn)行計(jì)算時(shí)，一定不能忘了要加上常數(shù).4.3變量代換在定積分中的應(yīng)用在對(duì)不定積分進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以利用變量代換來求解.同樣，在對(duì)定積分進(jìn)行計(jì)算時(shí)，也是適用的.如果想要得到變量代換在定積分中的應(yīng)用，那么則需要對(duì)變量代換在不定積分中的應(yīng)用具有一定了解【3】.例11試計(jì)算.解令，因此，，此時(shí)，由此可知，例12試計(jì)算.解由于上式中存在著，這時(shí)，令，因此，由于，，因此，4.4變量代換在不定積分中的應(yīng)用如果復(fù)雜，而可以看成是，則可以令=u，原式則可以轉(zhuǎn)化為，如果容易計(jì)算，求出積分以后，再將u換回，則問題得到解決.例13求解.分析：首先仔細(xì)分析可以看出，則可以從這個(gè)方面入手進(jìn)行計(jì)算.解首先可以令，原式則變成，此時(shí)則很容易計(jì)算出結(jié)果.原式==令，其中單調(diào)可導(dǎo)，連續(xù)，0，可得上式為，若t的積分易算出，求出后再將t換成x則可.例14求解.解為了消除兩個(gè)根式，我們可以令，就可以達(dá)到這個(gè)目的，此時(shí)將原式化為：進(jìn)行完這種轉(zhuǎn)化以后，消除t，則積分過程變?yōu)槌Ｒ?guī)積分過程，積分簡(jiǎn)單.例15求解.解這個(gè)題中含有如上所說的，所以可以令x=asint，原式可以轉(zhuǎn)化為：得到這個(gè)式子以后就可以就變成常規(guī)的三角函數(shù)的積分.若式子中含有，還可以利用，則令x=acht化去根式；若式子中含有，令x=asht，變成簡(jiǎn)的單積分函數(shù).例16求解.解根據(jù)上文中的分析，首先令，則原式可以轉(zhuǎn)化為：若式子中含有或以及分母中含有x的冪，設(shè)消去根式得到關(guān)于t的有理式.例17求解.解可以令，則此時(shí)原式可以化為：此時(shí)只要圍繞進(jìn)行積分，便可以運(yùn)用常規(guī)方法進(jìn)行積分.對(duì)于三角函數(shù)有理式的積分，較為復(fù)雜，但是sinx，cosx與有關(guān)系，，，假設(shè)，則，，，原積分就可以化為關(guān)于t的有理函數(shù)的積分.例18求解.解可以令，原式可以化為，此時(shí)只需要圍繞t+2進(jìn)行積分即可，積分難度大大降低.有些題目沒有上文中提到的所有方法的一般規(guī)律，不容易直接積分，可以按照第二換元法的思想選擇作一變量代換，使被積函數(shù)形式關(guān)于新變量而言易于積分【4】.例19求解.解通過觀察可以發(fā)現(xiàn)lnx的特點(diǎn)，可以令=t，原式可以變?yōu)椋捍藭r(shí)只需要針對(duì)t進(jìn)行積分即可，問題順利得到解決.5變量代換在多元函數(shù)微分中的應(yīng)用 5.1變量代換求解多元函數(shù)的極限在對(duì)多元函數(shù)進(jìn)行求解時(shí)，若存在這一形式，那么便可以利用極坐標(biāo)代換的方法來把原式化簡(jiǎn)，再進(jìn)行下一步的求解【5】.例20試計(jì)算.解令，，當(dāng)時(shí)，可得因此，.例21試計(jì)算.解令，當(dāng)，=時(shí)，可得5.2變量代換求多元復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若為上二元函數(shù)，且在點(diǎn)處能夠偏導(dǎo)，當(dāng)在點(diǎn)可微時(shí)，存在以下求導(dǎo)公式：、對(duì)上述公式，我們稱為鏈?zhǔn)椒▌t.例22試計(jì)算的偏導(dǎo).解令，，，此時(shí)有：例23試求的偏導(dǎo).解令，，，此時(shí)可得：6總結(jié)通過上面多個(gè)變量代換思想方法在不同類型數(shù)學(xué)問題中的具體應(yīng)用可以發(fā)現(xiàn)變量代換數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域都有涉及及其應(yīng)用，尤其是高等數(shù)學(xué)中的大多數(shù)數(shù)學(xué)問題的解決都離不開變量代換思想的應(yīng)用，但是這一數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用核心是必須理解其在變化中求具體問題的解，這種方法可以激發(fā)人們尋找問題答案是思考角度、途徑及具體可行方法，但是這種方法也不是萬(wàn)能的，必須要在某些特定的題目中滿足特定條件才可以使用，且具體題目應(yīng)用的變量代換也不是固定不變唯一的，最正確的做法是先確定所有可以使用的代換方法，然后在這些方法中選擇最合適最高效的才去解決這個(gè)問題.如果要熟練掌握變量代換方法的技巧及特點(diǎn)，就必須做大量的題目且不斷熟練總結(jié)，這樣可以確保自己能夠熟練高效的運(yùn)用等量代換方法解決大多數(shù)的數(shù)學(xué)難題.不難發(fā)現(xiàn)變量代換思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的廣度及深度，這些都是變量代換在數(shù)學(xué)中具有很高地位的原因，尤其是在高數(shù)學(xué)習(xí)中，這種數(shù)學(xué)方法必須學(xué)懂、學(xué)透、能夠熟練靈活的應(yīng)用，達(dá)到這樣的效果對(duì)于提高數(shù)學(xué)的解題速度及解題準(zhǔn)確度都是輕而易舉的.變量代換思想在數(shù)學(xué)中之所以有很重要的地位及重要的意義是因?yàn)槠鋺?yīng)用的廣泛性及大大提高學(xué)習(xí)者對(duì)于原本問題的理解及計(jì)算的效率，但是在運(yùn)用等量代換時(shí)還是有很多細(xì)節(jié)需要注意，嚴(yán)格區(qū)分，等量代換也包括簡(jiǎn)單初步的學(xué)習(xí)理解及應(yīng)用，也包括復(fù)雜抽象的理解及應(yīng)用，只有將初步簡(jiǎn)單的原理及應(yīng)用完全掌握才能更好的學(xué)習(xí)更多的關(guān)于變量代換的知識(shí).其次必須多做相關(guān)題目勤加練習(xí)才能熟練掌握其精髓及技巧，也能夠有效擺脫很多學(xué)生生搬硬套及難以靈活高效應(yīng)用此方法的問題，應(yīng)該達(dá)到看到題目快速判斷出相應(yīng)的解決方法的能力，其次需要注意，和做任何數(shù)學(xué)題目一樣必須認(rèn)真，嚴(yán)謹(jǐn)，才不會(huì)出現(xiàn)因?yàn)槭韬龃笠庖蛐∈Т蟮膯栴}，比如在對(duì)不定積分進(jìn)行求解時(shí)，很多同學(xué)總會(huì)將常數(shù)C忽略.其次不能對(duì)等量代換方法進(jìn)行誤解及復(fù)雜理解，必須加深其基本原理的理解及靈活應(yīng)用，其次在變量代換時(shí)一定要準(zhǔn)確判斷要代替的部分，多思考一會(huì)，考慮清楚不要出現(xiàn)代換錯(cuò)誤讓整個(gè)過程變得更加復(fù)雜的情況.參考文獻(xiàn)[1]黃明清.重視變量代換方法[J].成都教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，6：[2]蔣百華.淺談變量代換法在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].教育與教學(xué)學(xué)報(bào)，2012，10：[3]李金霞.變量代換法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用探討[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2008，3：[4]劉顯鳳.變量代換法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用[J].科技信息報(bào)，2010，15：[5]林見松.高等數(shù)學(xué)中求函數(shù)極限的若干方法舉例探析[J].科技創(chuàng)