2024年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：圓的概念與性質(zhì)培優(yōu)講義

圓的概念與性質(zhì)培優(yōu)講義

考點直擊

1.圓的有關(guān)概念：

⑴圓的定義：在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫作圓.

定點--圓心

⑵確定一個圓的條件：定長一一半徑

（3）等圓：能夠重合的兩個圓叫作等圓（兩個全等的圓）.

⑷圓心角：頂點在圓心的角叫作圓心角.

（5）圓周角：頂點在圓上，兩邊分別與圓還有另一個交點的角叫作圓周角.

（6）弧：圓上任意兩點間的部分叫作圓弧，簡稱弧，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧.

⑺等?。和瑘A或等圓中，能夠完全重合的兩段弧.

⑻弦：連接圓上任意兩點的線段叫作弦，經(jīng)過圓心的弦叫作直徑.

⑼圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸；圓又是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心.

2.垂徑定理及其推論：

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

注意：對于一個圓和一條直線，如果具備了下列五個條件中的任何兩個，那么一定可以推出其他三個：①過圓心；②垂直弦；③

平分弦；④平分弧（優(yōu)弧、劣弧）；⑤平分圓心角.

3.圓周角定理

圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，并且等于所對圓心角的一半.

推論1：直徑（或半圓）所對的圓周角為90°,90。圓周角所對的弦是直徑.

總結(jié)：同圓或等圓中，①弧相等，則弦相等，圓心角相等，所對圓周角相等；②圓心角相等，則弧相等，弦相等，所對圓周角

相等；③弦相等，則弧相等，圓心角相等，同弧或等弧所對的圓周角相等.（注意：弦所對的圓周角有兩種）

4.圓內(nèi)接四邊形：頂點都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形.圓內(nèi)接四邊形對角互補，它的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的對角.

W例題精講

例1如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,AB=CD,A為防中點,NBDC=60。廁NADB等于

（）BD

A.40°B.50°

C.60°D.70°

舉一反三1如圖,四邊形ABCD是。O的內(nèi)接四邊形，點D是正的中點，點E是BC上的一點，若乙CED=40。,,則NADC=_

_度.

舉一反三2已知0O的直徑CD=10,AB是0O的弦,AB_LCD,垂足為M,且AB=8,則AC的長為

例2如圖,AB是。O的直徑弦(CD14B于點E,點G為弧BC上一動點,CG與AB的延長線交于點F,連接OD.

⑴判定/AOD與NCGD的大小關(guān)系為—;

(2)求證:GB平分NDGF;

(3)DE=4,BF=4年在G點運動過程中，當(dāng)(GD=GF時.求。O的半徑.

舉一反三3如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于，點E在對角線AC上,EC=BC=DC,連接BE.

(1)若乙CBD=39。,求NB4D的度數(shù)；

⑵求證:Zl=Z2.

例3如圖,。0的半徑為1,A,P,B,C是。0上的四個點，乙4PC=乙CPB=60°.

(1)判斷△4BC的形狀:.

(2)試探究線段PA,PB,PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

⑶當(dāng)點P位于防的什么位置時，四邊形APBC的面積最大?求出最大面積.

舉一反三4如圖.AB,BC是。0的弦,NB=60。,圓心。在NB內(nèi)，點D為公上的動點，點M,N,P分別是AD,DC,CB的中點.若。O

的半徑為2,則.PN+MN的最大值是()

,4.1+73B.1+2V3

C.2+2V3D.2+V3

舉一反三5在△4BC中，已知.BC=4cm,Z.BAC=45。,則△4BC的最大面積是

A.8cm2B.16cm2

C.4（l+V2）cm2D.8（l+V2）cm2

例4如圖1,?O中AB是直徑,C是。O上一點,N4BC=45°,,等腰直角三角形DCE中.NDCE是直角.點D在線段AC上.

（2）若M是線段BE的中點,N是線段AD的中點，證明:MN=V2OM.

⑶將&DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a（0。<a<90。）后,記為AD】CEi（如圖2）,若如是線段.BE1的中點，刈是線段4Di的中點，

M1N1=是否成立?若是，請證明；若不是，說明理由.

過關(guān)檢測

1.如圖,。0的直徑CD過弦EF的中點G,連接CF,ZC=30°,CF=2低則OG的長是()

A.1B.V3C.2D.2V3

2.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,連接BD.若前=BC,Z.BDC=50。,貝!!NADC=()

A.125°B.130°C.135°D.140°

3.如圖，已知BC是。O的直徑，半徑OA_LBC,點D在劣弧AC上（不與點A、點C重合）,BD與OA交于點E.設(shè)NAED=a,/AOD邛,

則（）

c

A.3a+P=180°B,2a+P=180°

C.3a-P=90°D.2a-0=90°

4.如圖，已知四邊形ABCD為0O的內(nèi)接四邊形,BD平分ZABC,DH_LAB于點H,DH=W/ABC=120。,則AB+BC的值為（）

D.V5

5.如圖,AB,CE是圓O的直徑,且AB=4,BD=DC=點M是AB上一動點.有下列結(jié)論:①ZCED=：/BOD;②DM_LCE;③CM

+DM的最小值為4;?設(shè)OM為*,則SAOMc=V5x.上述結(jié)論中,正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6如圖，將0O沿弦AB折疊，點C在AmB上，點D在.油上若ZACB=70°,貝［J/ADB三

7.如圖，方格紙上每個小正方形的邊長均為1個單位長度，點O,A,B,C在格點（兩條網(wǎng)格線的交點叫格點）上,以點O為原點

建立直角坐標(biāo)系，則過A,B,C三點的圓的圓心坐標(biāo)為

8.如圖,正方形ABCD的頂點A.B和正方形EFGH的頂點G,H在一個半徑為5cm的。0上，點E,F在線段CD上,正方形ABCD

的邊長為6cm,則正方形EFGH的邊長為cm.

9.如圖.AB為。O的直徑點C在。O上,連接AC和BC,ZACB的平分線交。0于點D.

(1)求證:AC+BC=V2CD;

(2)已知。O的半徑為5,CD=7或若AC<BC,求弦AC的長

能力拓展

10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OP的圓心坐標(biāo)是(3,a)(a>3),半徑為3,函數(shù)y=x的圖象被。P截得的弦AB的長為4位,，則a的

A.4B.3+V2

C.3V20.3+V3

11.P是OO內(nèi)一點,OO的半徑為15,P點到圓心的距離為9,通過P點、長度是整數(shù)的弦的條數(shù)是()

A.5B,7C.10D.12

12.如圖，一個半徑為1的圓紙片，第一次剪去半徑為扣勺圓，得到的圖形Pi的面積為Si,第二次剪去半徑為熱勺圓，得到的圖

形P2的面積為S2,第三次剪去半徑為色勺圓，得到的圖形P3的面積為S3……依此類推，第n次剪完后得到的圖形Pn的面積為S

n，則S2009—S2010=.

2P,

P,

13.⑴如圖1,多邊形ABDEC由邊長為2的等邊三角形ABC和正方形BDEC組成.0。過A,D,E三點,則OO的半徑等于一

⑵如圖2,若多邊形ABDEC由一個等腰三角形和一個矩形組成，AB=AC=BD=2,G>O過A,D,E三點，則。0的半徑是否改變?—.

14.如圖1.已知。。的半徑為1,PQ是。O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關(guān)于PQ對稱