人教版初中九年級中考數(shù)學復習 開放性問題

開放性問題

【專題點撥】

開放探索問題是指已知條件、解題依據(jù)、解題方法、問題結(jié)論這四項要素中，缺少解題

要素兩個或兩個以上，或者條件、結(jié)論有待探求、補充等.

【解題策略】

在解決開放探索問題的時候，需解題者經(jīng)過探索確定結(jié)論或補全條件，將開放性問題轉(zhuǎn)

化為封閉性問題，然后選擇合適的解題途徑完成最后的解答.

【典例解析】

類型一：條件開放型問題

例題1：(2016?某某省濱州市?14分)如圖，已知拋物線y=-xs-x+2與x軸交于A、

B兩點，與y軸交于點C

(1)求點A,B,C的坐標；

(2)點E是此拋物線上的點，點F是其對稱軸上的點，求以A,B,E,F為頂點的平行

四邊形的面積；

(3)此拋物線的對稱軸上是否存在點M,使得AACM是等腰三角形？若存在，請求出點

M的坐標；若不存在，請說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【專題】壓軸題；函數(shù)及其圖象.

【分析】(1)分別令y=0,x=0,即可解決問題.

1/25

（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，易知點E坐標（-7,-等）或（5,一日），

由此不難解決問題.

（3）分A、C、M為頂點三種情形討論，分別求解即可解決問題.

【解答】解：（1）令y=0得-X2-x+2=0,

/.X2+2X-8=0,

x=-4或2,

...點A坐標（2,0）,點B坐標（-4,0）,

令x=0,得y=2,.?.點C坐標（0,2）.

（2）由圖象可知AB只能為平行四邊形的邊，

VAB=EF=6,對稱軸x=-L

.?.點E的橫坐標為-7或5,

...點E坐標（-7,-號）或（5,-號），此時點F（-1,-彳）,

.?.以A,B,E,F為頂點的平行四邊形的面積=6X日善.

42

（3）如圖所示，①當C為頂點時，CM=CA,CM=CA,作MN_LOC于N,

121

在RT4CMJ中，加犬-

...點”坐標（-1,2+，］），點4坐標（-1,2-V7）.

②當心為頂點時，,.直線AC解析式為y=-x+l,

線段AC的垂直平分線為y=x,

...點M坐標為（-1,-1）.

3

③當點A為頂點的等腰三角形不存在.

綜上所述點M坐標為（-1,-1）或（-1,2+V7）或（-L2-五）.

2/25

【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握拋物線與坐標軸交點的求法，學會分類討論的思想，屬于中考壓軸題.

變式訓練1：

(2016?某某某某)如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標為(3,0),

與y軸交于點C(0,-3)

(1)求拋物線的解析式；

(2)點P在拋物線位于第四象限的部分上運動，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P

的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

(3)直線1經(jīng)過A、C兩點，點Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運動，直線m經(jīng)過點

B和點Q,是否存在直線m,使得直線1、m與x軸圍成的三角形和直線1、m與y軸圍成的三

角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由.

類型二：結(jié)論開放型問題

例題2：(2016?某某隨州?3分)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO)的部分圖象如圖所示，

圖象過點(-1,0),對稱軸為直線x=2,下列結(jié)論:(l)4a+b=0；(2)9a+c>3b；(3)8a+7b+2c

>0；(4)若點A(-3,y)、點B(-專1，y)、點C(《7，y)在該函數(shù)圖象上，則y<y<

1z2z313

3/25

y；(5)若方程a(x+1)(x-5)=-3的兩根為x和x,且x<x,則xV-IV5Vx.其中

2121212

正確的結(jié)論有()

A.2個B.3個C.4個D.5個

【解析】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.(1)正確.根據(jù)對稱軸公式計算即可.

(2)錯誤，利用x=-3時，y<0,即可判斷.

(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(-1,0)和(5,0),列出方程組求出a、b即可判

斷.

(4)錯誤.利用函數(shù)圖象即可判斷.

(5)正確.利用二次函數(shù)與二次不等式關(guān)系即可解決問題.

【解答】解：(1)正確.：-g=2,

za

4a+b=0.故正確.

(2)錯誤.：x=-3時,y<0,

...9a-3b+c<0,

.,.9a+c<3b,故(2)錯誤.

(3)正確.由圖象可知拋物線經(jīng)過(-1,0)和(5,0),

fa-b+c=0…fb=-4a

,「人解得「，

25a+5b+c=0Vc=-5a

/.8a+7b+2c=8a-28a-10a=-30a,

Va<0,

A8a+7b=2c>0,故(3)正確.

(4)錯誤，?.?點A(-3,%)、點B(-y,.)、點C(y,y3),

4/25

7315

v--2=-,2-

.-3</--5

"22

，點C離對稱軸的距離近,

?雙>%

Va<0,-3<-j<2,

:<y<y，故(4)錯誤.

123

(5)正確.Va<0,

，(x+1)(x-5)=-3/a>0,

即(x+1)(x-5)>0,

故x<-l或x>5,故(5)正確.

.?.正確的有三個，

故選B.

變式訓練2：

（2016?某某某某?3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（aWO）的對稱軸為直線x=l,與x

軸的一個交點坐標為（-1,0）,其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：

①4ac<b2；

②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x=-1,x=3；

12

③3a+c>0

④當y>0時，x的取值X圍是-lWx<3

5/25

⑤當x<0時，y隨x增大而增大

其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

類型三：解題策略開放型

例題3：（2014年某某襄陽）如圖Z3-1,在△ABC中，點D,E分別在邊AC,AB上，BD

與CE交于點0,給出下列三個條件：①NEB0=NDC0；②BE=CD；③OB=OC.

（1）上述三個條件中，由哪兩個條件可以判定aABC是等腰三角形？（用序號寫出所

有成立的情形）

（2）選擇其中的成立條件進行證明。

【解析】：⑴①②；①③.

(2)選①②證明如下：

VZEB0=ZDC0,ZE0B=ZD0C,BE=CD,

/.△BOE^ACOD(AAS).

6/25

.\BO=CO..*.Z0BC=Z0CB.

AZEBO+ZOBC=ZDC0+ZOCB.

即/ABC=NACB.，AB=AC.

/.△ABC是等腰三角形

【點評】對題設(shè)信息進行全面分析，綜合比較，判斷優(yōu)劣，從中得出適合題意的最佳方

案。

變式訓練3：

在一個服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料.現(xiàn)找出其中的一種，測得NC

=90°,AC=BC=4,今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊

緣半徑恰好都在^ABC的邊上，且扇形的弧與AABC的其他邊相切.請設(shè)計出所有符合題意的

方案示意圖，并求出扇形的半徑.(只要求畫出扇形，并直接寫出扇形半徑)

【能力檢測】

1.(2016?某某省某某市?3分)如圖，ZXABC中，AD±BC,CE±AB,垂足分別為D、E,

AD、CE交于點H,請你添加一個適當?shù)臈l件：，使AAEH絲ZXCEB.

2.(2015荊州)如圖1,在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延

長線上，且PA=PE,PE交CD于F.

(1)證明：PC=PE；

(2)求/CPE的度數(shù)；

(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變，當NABC=120。時，連接

CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

7/25

3.(2016?某某內(nèi)江)(12分)如圖15,已知拋物線C：y=x2—3x+m,直線1：y=kx(k

>0),當k=l時，拋物線C與直線1只有一個公共點.

⑴求m的值;

(2)若直線1與拋物線C交于不同的兩點A,B,直線1與直線」：y=-3x+b交于點P,

且小+/=求13的值；

⑶在⑵的條件下，設(shè)直線1與y軸交于點Q,問：是否存在實數(shù)k使S“『S創(chuàng)，若

存在，求k的值；若不存在，說明理由.

8/25

4.(2016某某某某)如圖，已知拋物線經(jīng)過原點0,頂點為A(1,1),且與直線y=x

-2交于B,C兩點.

(1)求拋物線的解析式及點C的坐標；

(2)求證：AABC是直角三角形；

(3)若點N為x軸上的一個動點，過點N作MNLx軸與拋物線交于點M,則是否存在以

0,M,N為頂點的三角形與AABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

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5.(2016?某某省某某市)如圖1,對稱軸為直線x=4■的拋物線經(jīng)過B(2,0)、C(0,

4)兩點，拋物線與x軸的另一交點為A

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，設(shè)四邊形COBP的面積為S,求S的最大值;

(3)如圖2,若M是線段BC上一動點，在x軸是否存在這樣的點Q,使AMaC為等腰三

角形且為直角三角形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.

【參考答案】

變式訓練1：

(2016?某某某某)如圖，拋物線y=xz+bx+c與x軸交于A、B兩點，B點坐標為(3,0),

與y軸交于點C(0,-3)

(1)求拋物線的解析式;

10/25

(2)點P在拋物線位于第四象限的部分上運動，當四邊形ABPC的面積最大時，求點P

的坐標和四邊形ABPC的最大面積.

(3)直線1經(jīng)過A、C兩點，點Q在拋物線位于y軸左側(cè)的部分上運動，直線m經(jīng)過點

B和點Q,是否存在直線m,使得直線1、m與x軸圍成的三角形和直線1、m與y軸圍成的三

角形相似？若存在，求出直線m的解析式，若不存在，請說明理由.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)由B、C兩點的坐標，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;

(2)連接BC,則AABC的面積是不變的，過P作PM〃y軸，交BC于點M,設(shè)出P點坐

標，可表示出PM的長，可知當PM取最大值時APBC的面積最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求

得P點的坐標及四邊形ABPC的最大面積；

(3)設(shè)直線m與y軸交于點N,交直線1于點G,由于/AGP=NGNC+NG,所以當4AGB

和ANGC相似時，必有NAGB=NCGB=90°,則可證得AAOC絲ZiNOB,可求得ON的長，可求出

N點坐標，利用B、N兩的點坐標可求得直線m的解析式.

【解答】解：

*9+3b+c=0fb=-2

(1)把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得C,解得

、c=-3X.c=-3

拋物線解析式為y=x2-2x-3；

(2)如圖1,連接BC,過Py軸的平行線，交BC于點M,交x軸于點H,

11/25

在y=x2-2x-3中，令y=0可得0=x2-2x-3,解得x=-1或x=3,

.二A點坐標為(-1,0),

/.AB-3-(-1)=4,且OC=3,

SABOCX4X3=6>

??AAB4-4

VB(3,0),C(0,-3),

???直線BC解析式為y二x-3,

設(shè)P點坐標為(x,X2-2x-3),則M點坐標為(x,x-3),

???P點在第四限,

PM=x-3-(X2-2X-3)=-X2+3X,

AS=4-PM-0H+-J-PM??(OH+HB)±PM?OB=^PM,

△PBC22222

.?.當PM有最大值時，APBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，

PM=-X2+3X=-(x-2+-^-,

24

...當x=3[?時，QPMT，則S=3日義9經(jīng)271

止匕時P點坐標為(盤，-工^)，S=S+S=6+-^-=-^-,

24四邊形ABPCAABCAPBCgg

即當P點坐標為(亮，-牛)時，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為3；

248

(3)如圖2,設(shè)直線m交y軸于點N,交直線1于點G,

12/25

當4AGB和ANGC相似時，必有/AGB=NCGB,

又NAGB+/CGB=180°,

：.ZAGB=ZCGB=90°,

，NACONOBN,

在RtAAON和RtANOB中

"ZAOC=ZNOB

<OC=OB

,ZAC0=ZNB0

ARtAAON^RtANOB(ASA),

.*.ON=OA=1,

???N點坐標為（0,-1）,

3k+d=0

設(shè)直線m解析式為丫=1?+（1,把B、N兩點坐標代入可得d-，解得

d=-1

，直線m解析式為y=^-x-1,

即存在滿足條件的直線m,其解析式為y《x-l.

【點評】本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、相

似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等.在（2）中確定出PM的值最時四邊形ABPC

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的面積最大是解題的關(guān)鍵，在（3）中確定出滿足條件的直線m的位置是解題的關(guān)鍵.本題考

查知識點較多，綜合性較強，特別是第（2）問和第（3）問難度較大.

變式訓練2：

（2016?某某某某?3分）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（aWO）的對稱軸為直線x=l,與x

軸的一個交點坐標為（-1,0）,其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：

①4ac<bz；

②方程ax2+bx+c=0的兩個根是x=-1,x=3；

12

③3a+c>0

④當y>0時，x的取值X圍是-lWx<3

⑤當x<0時，y隨x增大而增大

其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【解析】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.利用拋物線與x軸的交點個數(shù)可對①進行判斷；

利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的一個交點坐標為（3,0）,則可對②進行判斷；由對

稱軸方程得到b=-2a,然后根據(jù)x=-1時函數(shù)值為負數(shù)可得到3a+c<0,則可對③進行判斷;

根據(jù)拋物線在x軸上方所對應的自變量的X圍可對④進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對⑤進

行判斷.

【解答】解：..?拋物線與x軸有2個交點，

/.ba-4ac>0,所以①正確；

???拋物線的對稱軸為直線x=l,

而點（-1,0）關(guān)于直線x=l的對稱點的坐標為（3,0）,

14/25

，方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1=-1,x2=3,所以②正確;

L

Vx=--=1,即b=-2a,

2a

而x=-1時，y<0,即a-b+cVO,

a+2a+c<0,所以③錯誤；

???拋物線與x軸的兩點坐標為(-1,0),(3,0),

.?.當-l<x<3時，y>0,所以④錯誤；

???拋物線的對稱軸為直線x=l,

...當x<l時，y隨x增大而增大，所以⑤正確.

故選B.

變式訓練3：

在一個服裝廠里有大量形狀為等腰直角三角形的邊角布料.現(xiàn)找出其中的一種，測得NC

=90°,AC=BC=4,今要從這種三角形中剪出一種扇形，做成不同形狀的玩具，使扇形的邊

緣半徑恰好都在^ABC的邊上，且扇形的弧與AABC的其他邊相切.請設(shè)計出所有符合題意的

方案示意圖，并求出扇形的半徑.(只要求畫出扇形，并直接寫出扇形半徑)

【解析】：由題意，考慮圓心在頂點、直角邊和斜邊上，設(shè)計出

符合題意的方案示意圖如圖所示四種方案：

半徑分別是r24，r—1-,r2,r4O

115/2111

15/25

【點評】策略開放題要結(jié)合分類討論思想來解題，先選擇一個分類的標準，再進行討論

解題，做到不重不漏.

【能力檢測】

1.（2016?某某省某某市?3分）如圖，ZSABC中，ADJLBC,CE1AB,垂足分別為D、E,

AD、CE交于點H,請你添加一個適當?shù)臈l件：AH=CB等（只要符合要求即可）,使

AAEH^ACEB.

【解析】全等三角形的判定.開放型題型，根據(jù)垂直關(guān)系，可以判斷AAEH與4CEB有兩

對對應角相等，就只需要找它們的一對對應邊相等就可以了.

【解答】解：???ADLBC,CEXAB,垂足分別為D、E,

.?.ZBEC=ZAEC=90°,

在RtZkAEH中，ZEAH=90°-ZAHE,

又：NEAH=/BAD,

Z.ZBAD=90°-ZAHE,

在RtAAEH和RtACDH中，ZCHD=ZAHE,

.*.ZEAH=ZDCH,

/.ZEAH=90°-ZCHD=ZBCE,

所以根據(jù)AAS添加AH=CB或EH=EB；

根據(jù)ASA添加AE=CE.

可證AAEH/ZkCEB.

故填空答案：AH=CB或EH=EB或AE=CE.

2.（2015荊州）如圖1,在正方形ABCD中，P是對角線BD上的一點，點E在AD的延

長線上，且PA=PE,PE交CD于F.

16/25

(1)證明：PC=PE；

(2)求NCPE的度數(shù);

(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變，當NABC=120°時，連接

CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC,

ZABP=ZCBP=45°,

在4ABP和4CBP中，

"物BC

-ZABP=ZCBP,

PB=PB

/.△ABP^ACBP（SAS）,

.\PA=PC,

VPA=PE,

.\PC=PE；

（2）由（1）知，AABP^ACBP,

.*.ZBAP=ZBCP,

ZDAP=ZDCP,

VPA=PC,

，ZDAP=ZE,

ZDCP=ZE,

VZCFP=ZEFD（對頂角相等），

180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

17/25

即NCPF=/EDF=90°；

(3)在正方形ABCD中,AB=BC,ZABP=ZCBP=45°

在AABP和ACBP中，

.,.△ABP^ACBP(SAS),

"AB二BC

-ZABP=ZCBP

,PB=PB

.\PA=PC,ZBAP=ZBCP,

VPA=PE,

.\PC=PE,

ZDAP=ZDCP,

VPA=PC,

，ZDAP=ZE,

，ZDCP=ZE

VZCFP=ZEFD(對頂角相等)，

，180°-ZPFC-ZPCF=180°-ZDFE-ZE,

即NCPF=NEDF=180°-ZADC=180°-120°=60°,

...△EPC是等邊三角形，

.\PC=CE,

.,.AP=CE；

3.（2016?某某內(nèi)江）（12分）如圖15,已知拋物線C：y=x2—3x+m,直線1：y=kx（k

>0）,當k=l時，拋物線C與直線1只有一個公共點.

18/25

⑴求m的值;

(2)若直線1與拋物線C交于不同的兩點A,B,直線1與直線y=-3x+b交于點P,

且/+/"=■-'求13的值；

(3)在⑵的條件下，設(shè)直線1與y軸交于點Q,問：是否存在實數(shù)k使S人=S-，若

1AAPQABPQ

存在，求k的值；若不存在，說明理由.

圖15答案圖

【解析】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，三角形的相似，推理論證的能力。

【解答】：(1)，?當k=l時，拋物線C與直線1只有一個公共點,

...方程組V梵3X5有且只有一組解.

yx

消去y，得X2—4x+m=0,所以此一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根.

/.△=0,即(-4)2—4m=0.

/.m=4.

⑵如圖，分別過點A,P,B作y軸的垂線，垂足依次為C,D,E,

nppn

則△0ACSZV)PD,???冷=會.

閂工田

同理'施0P■—一PD醞.

..—1=2.OP,0P=9

,orwor***orOB--

.PD,PD_9

??葡+露一-

.1,1_2BnACBE_2

??葡十西一西'四ACBEPD-'

,ykx,hh

解方程組；I得x=4,即PD=4.

y3xbk3k3

19/25

ykx,

由方程組消去y,得X2—（k+3）x+4=0.

yx23x4

VAC,BE是以上一元二次方程的兩根，

.*.AC+BE=k+3,AC?BE=4.

.k3_2

k3

解得b=8.

（3）不存在.理由如下：

假設(shè)存在，則當“=5人時有AP=PB,

△APQABPQ

于是PD—AC=PE—PD,即AC+BE=2PD.

由⑵可知AC+BE=k+3,PD=/F，

k3

：.k+3=2Xi8",即（k+3）2=16.

k3

解得k=l（舍去k=—7）.

當k=l時，A,B兩點重合，ZXQAB不存在.

二不存在實數(shù)k使S=S.

AAPQABPQ

4.（2016某某某某）如圖，已知拋物線經(jīng)過原點0,頂點為A（1,1）,且與直線y=x

-2交于B,C兩點.

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）求證：AABC是直角三角形；

（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MNLx軸與拋物線交于點則是否存在以

0,M,N為頂點的三角形與AABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

20/25

【解析】二次函數(shù)綜合題.(1)可設(shè)頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯(lián)

立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；

(2)分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結(jié)合A、B、C三點的坐標

可求得/AB0=NCB0=45°,可證得結(jié)論；

(3)設(shè)出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當AMON和4ABC

相似時，利用三角形相似的性質(zhì)可得馨罌或需瞿，可求得N點的坐標.

ADDUDUAD

【解答】解：

(1)?.?頂點坐標為(1,1)，

.,?設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2+1,

又拋物線過原點，

/.0=a(0-1)2+1,解得a=-l,

...拋物線解析式為y=-(x-1)2+1,

即y=-xz+2x,

y~—K+2x(x=2*——1

聯(lián)立拋物線和直線解析式可得，，解得c或0

y=x-2I廠0〔尸-3

AB(2,0),C(-1,-3)；

(2)如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點,

則AD=OD=BD=1,BE=OB+OE=2+1=3,EC=3,

AZAB0=ZCB0=45°,即NABC=90°,

...△ABC是直角三角形；

(3)假設(shè)存在滿足條件的點N,設(shè)N(x,0),則M(x,-x2+2x),

21/25

:.ON=|x|,MN=|-X2+2XI,

由（2）在RtZXABD和RtZXCEB中，可分別求得AB個仞B(yǎng)C=3-^,

???MNLx軸于點N

.,.ZABC=ZMN0=90°,

ASAABC和視0相似時有瞿=黑或需瞿，

ABBCBCAB

①當黑黑時，則有.「辛紅匕翱,即|x||-x+2[|x|,

ABBC42W23

???當x=0時M、0、N不能構(gòu)成三角形，

；?x力0,

1157

?*.I-x+2=-T-,即-x+2=±-,解得x=Q或X=—,

57

此時N點坐標為嘮，0）或0）；

②當翳瞿時,則有卜；2尸二/gp|x||-X+2|=3|X|,

DUAD3V2v2

/.|-x+21=3,即-x+2=±3,解得x=5或x=-1,

此時N點坐標為（-1,0）或（5,0）,

57

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為