2024年高考數(shù)學一輪復習（新高考版） 空間直線、平面的垂直

§7.5空間直線、平面的垂直

【考試要求】I.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系2掌握直線與平

面、平面與平面垂直的判定與性質，并會簡單應用.

?落實主干知識

【知識梳理】

1.直線與平面垂直

(1)直線和平面垂直的定義

一般地，如果直線/與平面a內的任意一條直線都垂直,就說直線/與平面a互相垂直.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一條直線與一個平mUa、

1

nUa

面內的兩條相交直線垂

T

判定定理HZG加=尸

直，那么該直線與此平

/_L-

面垂直/_L〃J

ab

垂直于同一個平面的兩a-La\

性質定理

條直線平行2742

2.直線和平面所成的角

⑴定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的

角.一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是塑；一條直線和平面平行，或在平面內，

我們說它們所成的角是

(2)范圍：［0,2■

3.二面角

(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.

(2)二面角的平面角：如圖，在二面角a—/一產(chǎn)的棱/上任取一點。，以點。為垂足，在半平

面a和￡內分別作垂直于棱/的射線OA和OB,則射線OA和OB構成的叫做二面角

的平面角.

(3)二面角的范圍：［0,兀］.

4.平面與平面垂直

(1)平面與平面垂直的定義

一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個平面互相垂直.

(2)判定定理與性質定理

文字語言圖形表示符號表示

如果一個平面過另一個%

判定定理平面的垂線,那么這兩/

a±/3\"

個平面垂直/L

兩個平面垂直，如果一

a_L￡、

個平面內有一直線垂直

aG6=。

性質定理于這兩個平面的交線,/>=/_La

l-La

那么這條直線與另一個L/￡7/u￡,

平面垂直

【常用結論】

1.三垂線定理

平面內的一條直線如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這

條斜線垂直.

2.三垂線定理的逆定理

平面內的一條直線如果和穿過該平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在該平面內的射

影垂直.

3.兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“或“X”)

(1)若直線/與平面a內的兩條直線都垂直，則/_La.(X)

(2)若直線a_La,b_La,則。〃6.(V)

(3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.(X)

(4)若a_L￡,則a〃a.(X)

【教材改編題】

1.(多選)下列命題中不正確的是()

A.如果直線a不垂直于平面a,那么平面a內一定不存在直線垂直于直線a

B.如果平面a垂直于平面￡,那么平面a內一定不存在直線平行于平面￡

C.如果直線。垂直于平面a,那么平面a內一定不存在直線平行于直線。

D.如果平面a_L平面￡,那么平面a內所有直線都垂直于平面￡

答案ABD

解析若直線。垂直于平面a,則直線。垂直于平面a內的所有直線，故C正確，其他選項

均不正確.

2.如圖，在正方形SGiG2G3中，E,尸分別是G1G2，G2G3的中點，。是EF的中點，現(xiàn)在沿

SE,SP及EF把這個正方形折成一個四面體，使Gi,G2,G3三點重合，重合后的點記為G,

則在四面體S-EFG中必有()

A.SG_LZ\EPG所在平面

B.Sr>_LZ\E/G所在平面

GP_LZ\SEP所在平面

D.G￡)_LZ^SEr所在平面

答案A

解析四面體S—EFG如圖所示，由SG_LGE,SG±GF,

GECGF=G且GE,GPU平面EFG得SGLAEFG所在平面.

3.已知尸。垂直于正方形ABCD所在的平面，連接尸8,PC,PA,AC,BD,則一定互相垂

直的平面有對.

答案7

解析如圖，由于尸。垂直于正方形A8CD,故平面PD4J_平面ABC。,平面平面A8C7),

平面POC_L平面ABCD,平面PZM_L平面PDC,平面B4C_L平面PDB,平面B48J_平面PAD,

平面PBC1平面PDC,共7對.

?探究核心題型

題型一直線與平面垂直的判定與性質

例1(1)己知/，根是平面a外的兩條不同直線.給出下列三個論斷：

①/_1_機；②加〃a；③/_La.

以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題.

答案②③=①(或①③=②)

解析已知/,根是平面a外的兩條不同直線，由①/_!_m與②加〃a,不能推出③/_La,因為

/可以與a平行，也可以相交不垂直；由①/J_〃z與③/J_a能推出②機〃a；由②機〃a與③/J_a

可以推出①人機

⑵(2023?婁底模擬汝口圖，在三棱柱ABC—ABC中，點所在底面ABC內的射影恰好是點C.

①若點。是AC的中點，S.DA^DB,證明：ABXCCi.

②已知BiG=2,BiC=24,求△8CG的周長.

①證明：點3在底面A8C內的射影是點C,

平面ABC,

平面ABC,：.BiC±AB.

在△ABC中，DA=DB=DC,：.BC.LAB,

:BCCBiC=C,BC,BiCu平面3CCM

.?.AB_L平面BCCiBi,

：CC1u平面BCCtBi,AB±CC1.

②解如圖，延長8C至點E,使8C=CE,

連接CiE,則SG統(tǒng)CE,四邊形&CEG為平行四邊形,

則CiE^BiC.

由①知BiC_L平面ABC,；.GE_L平面ABC,

,：CE,BEU平面ABC,

ACrEl.CE,CiELBE,

,；CiE=BiC=2事,CE=BC=BC=2,BE=4,

：.CCi=AJC￡2+CIE2=4,BCi=、BE2+CIE2=2s,

/.ABCCi的周長為2+4+2幣=6+2巾.

思維升華證明線面垂直的常用方法及關鍵

(1)證明直線和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的傳遞性(a〃6,a_Lanb_La);

③面面平行的性質(a_La,a〃gal/J);④面面垂直的性質.

(2)證明線面垂直的關鍵是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.

跟蹤訓練1如圖，在正方體48C。一AiBCQi中，E,尸分別是棱C。，4。的中點.

⑴求證：ABi±BF；

(2)求證：AE±BF；

(3)棱CG上是否存在點P,使8尸，平面AEP?若存在，確定點P的位置，若不存在，說明

理由.

⑴證明如圖,連接42,則

因為AiP_L平面ABC平面ABB.,

所以AiFLABi,

又4BCAiP=Ai,

所以AS_L平面AiBR又BPU平面A}BF,所以A&_LBE

(2)證明如圖，取棱A。的中點G,連接尸G,BG,則尸GLAE,

因為A8=OA,AG=DE,ZBAG=ZADE,所以△BAGgAAOE,所以/A8G=NZME

所以AEJ_BG.又因為8GnfG=G,所以AEJ_平面BFG

又Bbu平面8FG,所以AE_LBF.

(3)解存在.如圖，取棱CG的中點尸，即為所求.連接EP,AP,C\D,因為E尸〃C。，

C1D//AB1,所以E尸〃ABi.

由(1)知A8i_LBF,所以8F_LEP

又由⑵知AE_L8F,且AECEP=E,

所以8口L平面AEP.

題型二平面與平面垂直的判定與性質

例2(2023?桂林模擬)如圖所示，已知在四棱錐產(chǎn)一A8CD中，底面ABCD是矩形，平面PAD1.

底面ABCZ)且A8=l,PA=AD=PD=2,E為PC的中點.

(1)求證：平面PC￡)_L平面ACE；

(2)求點B到平面ACE的距離.

⑴證明由24=A￡)=P。，E為尸。的中點，可得

因為CZ)_LA。，平面B4Z)_L平面ABC。，平面RWA平面A8CD=A。，CZ)u平面ABC。，所

以CZ)_L平面PAD,

而AEU平面以。，所以CD_LAE,

由CDDPD=D,則AE_L平面PCD,

又AEu平面ACE,所以平面PCD_L平面ACE

(2)解如圖，連接BO,與AC交于。，則。為8。的中點，

所以點。到平面ACE的距離即為點B到平面ACE的距離.

由平面PCZ)_L平面ACE,過D作。M_LCE,垂足為

則DML平面ACE,則DM為點、D到平面ACE的距離.

由CZ)_L平面PAD,可得CDLPD,

1'歷

又CD=DE=1,所以

即點2到平面ACE的距離為坐.

思維升華(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定義.②面面垂直的判定定理.

(2)面面垂直性質的應用

①面面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據(jù)，運用時要注意“平面內的直

線”.②若兩個相交平面同時垂直于第三個平面，則它們的交線也垂直于第三個平面.

跟蹤訓練2(2022啷鄲模擬)如圖，在四棱錐P—ABC。中，AB//CD,ABLAD,CD^2AB,

平面B4O_L平面A3CD,PALAD,E和尸分別是CZ)和PC的中點，求證：

(1)B4_L平面ABCD；

⑵平面2跖〃平面PAD-,

(3)平面平面PCD.

證明(1)：平面B4￡>_L平面ABCD,

且PA垂直于這兩個平面的交線AD,

...朋_L平面A8CD

(2Y：AB//CD,CD=2AB,E是CD的中點，

C.AB//DE,3.AB^DE,

四邊形ABED是平行四邊形，：.AD//BE,

；區(qū)的平面B4￡),AOU平面出￡),...BE〃平面E4￡),

；E和尸分別是CD和PC的中點，EF//PD,

平面BW,POU平面出。，；.￡尸〃平面RW,

；BECEF=E,BE,EFU平面BEF,

平面BEP〃平面PAD.

(3Y：AB1.AD,；.平行四邊形ABED是矩形，：.BE±CD,ADLCD,

由①知B4_L平面ABCD,：.PA±CD,

,：PAHAD=A,

，CZ)_L平面外。，：.CD±PD,

和尸分別是CO和PC的中點，：.PD//EF,

J.CDLEF,又；BECEF=E,:.CD_L平面BEF,

：COu平面PCD,；.平面BEF1平面PCD.

題型三垂直關系的綜合應用

例3如圖，已知ABC。-421cbDi是底面為正方形的長方體，ZADiAi=60°,Ad=4,點

產(chǎn)是Ad上的動點.

(1)試判斷不論點P在ADi上的任何位置，是否都有平面平面AAiDiD,并證明你的結

論；

(2)當尸為A。的中點時，求異面直線AAi與a尸所成的角的余弦值；

⑶求PBi與平面AAiDiD所成的角的正切值的最大值.

解⑴是...?&41,平面441。。，8AU平面

二平面BB4J_平面AAiDiD,

無論點尸在AOi上的任何位置，都有平面BB4_L平面AAQiD

⑵過點P作PELAiOi,垂足為E,連接SE,如圖，

B

BI

則PE//AAi,

/SPE(或其補角)是異面直線A4i與BiP所成的角.

在RtAAAiD,中，

ZAJDIAI=60°,

ZAiADi=30°,

?*.AiBi=AiZ)i=1-ADi=2,

/.Ai￡=^AiDi=1,AAi=y[3AiDi=2\[3,

.,.PE—^AAi-yl3,BiE—yjAiB^+AiE2—y15,

：.在RtABiP￡中,

BIP=NBIE?+PE2=2小,

XPE小乖

cos/ZRBrPE-^p-^-4.

...異面直線A4i與SP所成的角的余弦值為坐.

(3)由⑴知,23」平面441AD,

ZBiPAi是PBt與平面AAxDrD所成的角，

tan/8iM=亦"=病

.?.當4P最小時,tan/田抬1最大，

這時AiP_LAZ)i,

4DA1D1AA1r-

A1P-AD,

得tanZBi/Mi=

即PBi與平面A41D1Z)所成的角的正切值的最大值為羋.

思維升華(1)三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化.

(2)對于線面關系中的存在性問題，首先假設存在，然后在該假設條件下，利用線面關系的相

關定理、性質進行推理論證.

跟蹤訓練3(2023?柳州模擬)如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2,PA=PB=PC=AC

=2嫄，。為AC的中點.

(1)證明：POJ_平面ABC；

(2)若點M在棱BC上，且PM與平面ABC所成角的正切值為《，求二面角M—B4—C的平

面角的余弦值.

⑴證明方法一如圖，連接0A

P

：AB=BC=2,AC=2幣,

：.AB2+BC2^AC2,

即△ABC是直角三角形，

又。為AC的中點，

；.OA=OB=OC,

又,：FA=PB=PC,

：.APOAgAPOB安△尸OC,

ZPOA=ZPOB=ZPOC=90°.

：.PO±AC,POA,OB,

'：OBC\AC^O,OB,ACU平面ABC,

平面ABC.

方法二如圖，連接。8,

VB4=PC,。為AC的中點，Bi=PB=PC=AC=2?

：.PO±AC,PO=y[6,

又?；AB=BC=2,

：.AB±BC,BO=yf2,

:.PU+OB2=PB2,

J.POLOB,

'：OBC\AC^O,OB,ACU平面ABC,

；.PO_L平面ABC.

(2)解由(1)知，尸。,平面ABC,

：.0M為PM在平面ABC上的射影，

ZPMO為PM與平面ABC所成角，

,：tanZPM0=-^=^=y[6,

：.0M=1,

在△ABC和△OMC中，由正弦定理可得MC=1,

:.M為BC的中點.

如圖，作ME_LAC交AC于E,

p

則E為。C的中點，作EF_LE4交P4于足連接MF,

：.MFLPA,

二/M在1即為所求二面角M—B4—C的平面角，ME=V，

功=當￡=9％2吸=乎，

MF=7M^+EF2=^,

：.cosZMFE=j^=^-,

故二面角M—E4—C的平面角的余弦值為呼之

課時精練

應基礎保分練

1.（多選）若平面a,4滿足aC.=l,PGa,Pil,則下列命題中是真命題的為（）

A.過點P垂直于平面a的直線平行于平面”

B.過點P垂直于直線/的直線在平面a內

C.過點P垂直于平面￡的直線在平面a內

D.過點P且在平面a內垂直于/的直線必垂直于平面￡

答案ACD

解析由于過點尸垂直于平面a的直線必平行于平面乃內垂直于交線的直線，則直線平行于

平面￡,因此A正確；過點尸垂直于直線/的直線有可能垂直于平面a,不一定在平面a內，

因此B不正確；根據(jù)面面垂直的性質定理知，選項C,D正確.

2.如圖，在四棱錐P-ABCD中,與&BC是正三角形,平面以B_L平面PBC,AC±BD,

則下列結論不一定成立的是（）

A.BP±ACB.PO_L平面ABC。

C.ACLPDD.平面平面ABC。

答案B

解析如圖，取線段BP的中點。，連接。4,0C,易得BPLOA,BP±OC,又。4noe=

0,所以BP_L平面O4C,所以BP_LAC,故選項A正確；又AC_LB。，BP<T\BD=B,所以

AC_L平面PBD,所以AC_LPD,故選項C正確；又ACU平面ABC。，所以平面尸8。_L平面

ABCD,故選項D正確.

A

;

3.如圖，在斜三棱柱ABC—A由1G中，N8AC=90。，BQ1AC,則Ci在底面ABC上的射影

H必在（）

A.直線上

B.直線8c上

C.直線AC上

D.△ABC內部

答案A

角翠析連接AG（圖略），由AC_LAB,ACIBCi,ABDBC^B,得ACJ_平面ABCi.：ACU平

面ABC,；.平面A3G_L平面ABC.：.Ci在平面ABC上的射影H必在平面ABCi與平面ABC

的交線AB上.

4.（多選）如圖，在以下四個正方體中，直線A8與平面CDE垂直的是（）

答案BD

解析對于A,顯然與CE不垂直，則直線與平面CDE不垂直；對于B,因為A8LCE,

AB±ED,且CECED=E,所以AB_L平面CDE；對于C,顯然A8與CE不垂直，所以直線

AB與平面CDE不垂直；對于D,因為即_L平面ABC,則ED±AB,同理CE1.AB,因為

EDHCE=E,所以A8J_平面CUE.

5.（多選X2022?齊齊哈爾模擬）若利，〃是兩條不同的直線，a,p,y是三個不同的平面，則下

列命題錯誤的是（）

A.若mU0,a邛,則7“J_a

B.若〃z〃a,n//a,貝!|

C.若m邛,m//a,則a_l_￡

D.若a_l_y,a.L/3,則尸J_y

答案ABD

解析由機，w是兩條不同的直線，a,p,y是三個不同的平面，

在A中，若mU￡,al./3,則機與a相交、平行或mUa,故A錯誤；

在B中，若機〃a,n//a,則機與“相交、平行或異面，故B錯誤；

在C中，若m邛,m//a,則由面面垂直的判定定理得故C正確；

在D中，若a_Ly,al.,則//與y相交或平行，故D錯誤.

6.（多選）在長方體ABCO-AIiGDi中，已知BQ與平面42C。和平面44出8所成的角均

為30。，則下列說法正確的是（）

A.AB=y/2AD

B.AB與平面ABC。所成的角為30。

C.AC=CBi

D.8。與平面3B1GC所成的角為45°

答案AD

解析如圖，連接BD,易知NBDBi是直線8。與平面A8CO所成的角，

所以在RtABDBi中，ZBDBi=30°,

設881=1,MilBiD=2BBi=2,

BD=NBID2—BBM=4

易知N48。是直線BiD與平面AAiBiB所成的角，

所以在RtAADBi中，ZABiD=30°.

因為囪。=2,所以暴1。=1,

ABi=鄧1。2一人。2=事,

所以在RtZ\ABBi中，AB=7AB1—BBq=p=巾AD,所以A項正確;

易知NBAS是直線AB與平面ABC。所成的角，

因為在RtAABBi中，

AD\JZ

所以NA4B1W30。，所以B項錯誤;

在RtACBBi中，CBi=y]BC2+BB^=y[2,

而AC=、AB2+BC2=V§,所以C項錯誤；

易知NDBiC是直線B1D與平面BB1C1C所成的角，

因為在RtZkDBC中，CB尸CD=?所以NZ56C=45。，所以D項正確.

7.如圖所示，在四棱錐尸一ABC。中，PA±^ABCD,且底面各邊都相等，M是PC上的

一動點，當點M滿足條件：①②DM1PC,③中的時，平面

M2。，平面PC￡>（只要填寫一個你認為是正確的條件序號即可）.

答案②（或③）

解析連接AC（圖略）：E4_L底面ABCD,；底面各邊都相等，：.AC±BD.

VB4nAC=A,，臺。，平面B4C,：.BD±PC.

當。M_LPC（或BALLPC）時，即有PC_L平面

而PCU平面PCD,平面平面PCD

8.在矩形ABC。中，AB<BC,現(xiàn)將△A8。沿矩形的對角線8。所在的直線進行翻折，在翻

折的過程中，給出下列結論：

①存在某個位置，使得直線AC與直線BD垂直；

②存在某個位置，使得直線AB與直線CD垂直；

③存在某個位置，使得直線AD與直線BC垂直.

其中正確結論的序號是.

答案②

AE1BD]

解析①假設AC與垂直，過點A作于點E,連接CE,如圖所示.貝（）,

BD±AC]

=2。，平面AEC,則而在平面BC。中，CE與2。不垂直，故假設不成立，①不

正確；

②假設AB_LC￡?,CDCA￡）=。，，人臺，平面AC。，由AB<BC可知,

存在這樣的直角三角形，使ABLAC,故假設成立，②正確；

③假設AO_LBC,'：CD±BC,ADHCD=D,.?.BC，平面AC。，：.BC±AC,即△ABC為直

角三角形，且AB為斜邊，而A8<BC,故矛盾，假設不成立，③不正確.

9.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是NZM3=60。且邊長為a的菱形，側面PAD

為正三角形，其所在平面垂直于底面A8C。，若G為的中點.

(1)求證：3G_L平面B4。；

(2)求證：ADLPB；

(3)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點尸，使平面。平面ABC。？并證明你

的結論.

⑴證明在菱形ABC。中，ZDAB=60°,G為的中點，

所以BGLAD.

又平面B4Z)_L平面ABC。，平面B4OC平面A8CO=A。，8GU平面ABC。，所以BGJ_平面

PAD.

(2)證明如圖，連接PG,因為△以。為正三角形，G為線段的中點，

所以PGLAD.

由(1)知BG_LA。，又PGCBG=G,所以AO_L平面PGB.

因為PBU平面尸GB,所以AO_LP8.

(3)解能，當尸為線段PC的中點時，平面。平面ABCD證明如下：

如圖，取線段PC的中點居連接。E,EF,DF.

在△PBC中，F(xiàn)E//PB,在菱形42c。中，GB//DE.

而FEU平面。￡/，DEU平面DEF,EFCDE=E,PBU平面PGB,GBU平面PG2,PBCGB

=B,所以平面。EP〃平面PGA

因為平面B4O_L平面ABC。，平面E4￡>n平面A2Cr)=AD,PGu平面力。，PG±AD,所以

PG_L平面ABCD

又尸GU平面PG8,所以平面PG8J_平面ABCD,

所以平面平面ABCD.

10.(2023?廣州模擬)如圖，在三棱錐尸一A8C中，平面膽CJ_平面PBC,必，平面ABC.

C

(1)求證：8C_L平面E4C；

(2)若AC=BC=E4,求二面角A-PB-C的平面角的大小.

⑴證明如圖，作AOLPC交PC于點。，

因為平面B4C_L平面尸3C,平面mCCI平面P8C=PC,ADU平面B4C,

所以AO_L平面PBC,

又BCU平面PBC,所以AO_L8C,

又因為B4_L平面ABC,8CU平面ABC,

所以PA1.BC,

又B4,AZJU平面出C,B4AA￡)=A,

所以BC_L平面PAC.

(2)解如圖，作AOLPC交尸C于點。，DE工PB交PB于點E,連接AE,

由⑴知AO_L平面PBC,

因為尸8<=平面PBC,則ADA.PB,

又A。，OEU平面AOE,ADC\DE=D,

所以PB_L平面ADE,

因為AEU平面ADE,

所以尸8_LAE,

則即為二面角A—PB—C的平面角.

又。EU平面PBC,則ADLDE,

不妨設AC=BC=B4=1,

貝1PC="AD=,=號

又由(1)知BC_L平面PAC,

因為ACU平面PAC,

所以BC±AC,

所以AB=啦，平面ABC,

又ABU平面ABC,

貝IIPALAB,貝IPB=4AE=1=坐

近

則sin/AED=^=巫=當,

3

由圖知二面角A—PB—C的平面角為銳角,

TT

所以NAED巧,

rr

即二面角A—PB—C的平面角的大小為I.

合提升練

11.如圖，正三角形B4。所在平面與正方形ABC。所在平面互相垂直，。為正方形A8CD的

中心，〃為正方形ABC。內一點，且滿足MP=MC,則點M的軌跡為()

A

答案A

解析如圖，取A。的中點E,連接PE,PC,CE.

因為△B4。為正三角形，

所以PELAD,

又平面R1￡)_L平面ABCD,平面E4OCI平面ABCZ)=AD,

所以PE_L平面43CD,

從而平面PEC_L平面A2CZ）,分別取PC,A3的中點尸，G,連接DG,FG,

由PD=DC知DFLPC,易得DG±EC,

則DG_L平面PEC,

又PCU平面PEC,

所以DGLPC,

又DFCDG=D,

所以PC_L平面DFG,

又點尸是PC的中點，

因此，線段。G上的點滿足MP=MC.

12.（多選）如圖所示，一張A4紙的長、寬分別為2吸a,2a,A,B,C,D分別是其四條邊的

中點.現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得尸1,P2,P3,尸4四點重合為一點H從而得到一個多面

體.下列關于該多面體的命題正確的是（）

「'I~

八

/、

/\

/\

代----------）c

X、/

\/

p,y1%

A.該多面體是四棱錐

B.平面8AO_L平面

C.平面8AC_L平面ACD

D.該多面體外接球的表面積為汕

答案BC

解析由題意得該多面體是一個三棱錐，故A錯誤；

平面BCD.

又：APU平面R4。，.?.平面R4Z5_L平面BCD,故B正確；同理可證平面A4C_L平面AC￡）,

故C正確；通過構造長方體可得該多面體的外接球半徑R=晉0,所以該多面體外接球的表

面積為5m2,故D錯誤.

13.（多選）如圖，在正方體ABC。一AiBiCiOi中，點尸在線段SC上運動，則下列說法正確

的是（）

A.直線BA_L平面AiG。

B.三棱錐尸一AiG。的體積為定值

jrjr

C.異面直線”與AQ所成角的取值范圍是由f

D.直線CiP與平面AiCiD所成角的正弦值的最大值為由

答案ABD

解析A項，如圖，連接Bid,

由正方體可得AiCi±BiDi,

且班」平面AiBiCQi,

又4GU平面AiBCQi,

則BBi±AiCi,

因為8。1口281=21,

所以AiG，平面BDB,

又BAU平面BDiBi,

所以4Ci_LBG.

同理，連接AOi,易證得AbD_LBOi,

因為4?？?(71=4,AiD,A1QU平面AC。，

所以8口，平面AiCi。，故A正確；

B項，匕棱黜_46。=上棱錐G-A?。'

因為點尸在線段BiC上運動，

所以=51DAB，為定值，

且G到平面A1P。的距離即為G到平面AiBiC。的距離，也為定值，

故三棱錐尸一4G。的體積為定值，故B正確；

C項，當點P與線段31c的端點重合時，AP與4。所成角取得最小值，最小值為全故C錯

誤；

D項，因為直線2d，平面AC。，

所以若直線CP與平面AiG。所成角的正弦值最大，

則直線GP與直線2。所成角的余弦值最大，

即點P運動到中點處，直線GP與直線所成角為/GBA,

設正方體棱長為1,在Rt^DC山中，

“nnCiB仍加撈「下油

cosz.CiBZ)i—BD]—^2—3'故D正確.

2

14.如圖，在矩形ABC。中，點E,尸分別在線段AB,AD±,AE=EB=AF=qFD=4,沿

直線EF將翻折成△?!'EF,使平面A'EB_L平面8ER則二面角A'一尸。一C的平

面角的余弦值為.

答案坐

解析如圖，取線段EF的中點H,AF的中點G,連接A'G,A'H,GH.

由題意，知A'E=A'尸及X是EP的中點，

所以A'H±EF.

又因為平面A'EF_L平面平面A'EPC平面A'?u平面A'EF,

所以A'H_L平面B