高三數學二輪總復習 訓練22 不等式選講 理

常考問題22不等式選講1．(·江蘇卷)解不等式：x＋|2x－1|＜3.解原不等式可化為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1≥0，,x＋2x－1＜3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＜0，,x－2x－1＜3.))解得eq\f(1,2)≤x＜eq\f(4,3)或－2＜x＜eq\f(1,2).所以不等式的解集是{x|－2＜x＜eq\f(4,3)}．2．設函數f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.(1)解不等式f(x)>2；(2)求函數y＝f(x)的最小值．解(1)f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－5，x<－\f(1,2)，,3x－3，－\f(1,2)≤x<4，,x＋5，x≥4.))當x<－eq\f(1,2)時，由f(x)＝－x－5>2得x<－7，∴x<－7；當－eq\f(1,2)≤x<4時，由f(x)＝3x－3>2得x>eq\f(5,3)，∴eq\f(5,3)<x<4；當x≥4時，由f(x)＝x＋5>2，得x>－3，∴x≥4.故原不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－7或x>\f(5,3))))).(2)畫出f(x)的圖象如圖：∴f(x)min＝－eq\f(9,2).3．設a，b，c為正實數，求證：eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3).證明因為a，b，c為正實數，由均值不等式可得eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3))，即eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥eq\f(3,abc).所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥eq\f(3,abc)＋abc.而eq\f(3,abc)＋abc≥2eq\r(\f(3,abc)·abc)＝2eq\r(3)，所以eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)＋abc≥2eq\r(3).4．已知a，b，c均為正數，證明：a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))2≥6eq\r(3)，并確定a，b，c為何值時，等號成立．證明法一因為a、b、c均為正數，由平均值不等式得a2＋b2＋c2≥3(abc)eq\f(2,3)， ①eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥3(abc)－eq\f(1,3)， ②所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))2≥9(abc)－eq\f(2,3).故a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))2≥3(abc)eq\f(2,3)＋9(abc)－eq\f(2,3).又3(abc)eq\f(2,3)＋9(abc)－eq\f(2,3)≥2eq\r(27)＝6eq\r(3)， ③所以原不等式成立．當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立．當且僅當3(abc)eq\f(2,3)＝9(abc)－eq\f(2,3)時，③式等號成立．即當且僅當a＝b＝c＝3eq\f(1,4)時，原式等號成立．法二因為a，b，c均為正數，由基本不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac. ①同理eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)≥eq\f(1,ab)＋eq\f(1,bc)＋eq\f(1,ac)， ②故a2＋b2＋c2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))2≥ab＋bc＋ac＋3eq\f(1,ab)＋3eq\f(1,bc)＋3eq\f(1,ac)≥6eq\r(3). ③所以原不等式成立，當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當且僅當a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立．即當且僅當a＝b＝c＝3eq\f(1,4)時，原式等號成立．5．若對任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，求a的取值范圍．解∵a≥eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)對任意x>0恒成立，設u＝x＋eq\f(1,x)＋3，∴只需a≥eq\f(1,u)恒成立即可．∵x>0，∴u≥5(當且僅當x＝1時取等號)．由u≥5，知0<eq\f(1,u)≤eq\f(1,5)，∴a≥eq\f(1,5).6．(·沈陽模擬)已知關于x的不等式|ax－2|＋|ax－a|≥2(a>0)．(1)當a＝1時，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集為R，求實數a的取值范圍．解(1)當a＝1時，不等式為|x－2|＋|x－1|≥2，由絕對值的幾何意義知，不等式的意義可解釋為數軸上的點x到1、2的距離之和大于等于2.∴x≥eq\f(5,2)或x≤eq\f(1,2).∴不等式的解集為eq\b\