人教版初中數(shù)學(xué)同步講義八年級下冊第08講 專題3 平行四邊形（特殊的平行四邊形）中的動點問題（解析版）

第08講專題3平行（特殊平行）四邊形中的動點問題類型一：平行四邊形中的動點問題類型二：矩形中的動點問題類型三：菱形中的動點問題類型四：正方形中的動點問題類型一：平行四邊形中的動點問題1．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，點P從點A出發(fā)，沿射線AD以每秒2個單位長度的速度向右運動，同時點Q從點C出發(fā)，沿CB方向以每秒1個單位長度的速度向點B運動．當(dāng)點Q到達點B時，點P，Q停止運動，設(shè)點Q運動時間為t秒．在運動的過程中，當(dāng)t＝2或6時，使以P，D，C，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？【解答】解：由題意知，可分兩種情況：①當(dāng)CD為平行四邊形的邊，則P在D點左側(cè)，PD＝6﹣2t，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴6﹣2t＝t，解得t＝2；②當(dāng)CD為平行四邊形的對角線，P在D點右側(cè)，PD＝2t﹣6，CQ＝t，∵PD＝CQ，∴2t﹣6＝t，解得t＝6，綜上所述，當(dāng)t＝2或6時，以P，D，C，Q為頂點的四邊形為平行四邊形．故答案為：2或6．2．如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，點P在AD邊上以每秒1cm的速度從點A向點D運動，點Q在BC邊上以每秒2.5cm的速度從點C出發(fā)，在CB間往返運動，兩個點同時出發(fā)，當(dāng)點P到達點D時停止運動，同時點Q也停止運動．設(shè)運動時間為ts，開始運動以后，當(dāng)t為何值時，以P，D，Q，B為頂點的四邊形是平行四邊形？（）A． B． C．或 D．或【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴PD∥BQ．若要以P、D、Q、B四點組成的四邊形為平行四邊形，則PD＝BQ．設(shè)運動時間為t．當(dāng)0＜t≤4時，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t，∴10﹣t＝10﹣2.5t，1.5t＝0，∴t＝0（舍去）；當(dāng)4＜t≤8時，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10，∴10﹣t＝2.5t﹣10，解得：t＝；當(dāng)8＜t≤10時，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t，∴10﹣t＝30﹣2.5t，解得：t＝（舍去）；綜上所述，t的值為時，以P，D，Q，B為頂點的四邊形是平行四邊形．故選：B．3．如圖，?ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，動點E從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B運動，動點F從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿著CD向D運動，當(dāng)點E到達點B時，兩個點同時停止．則EF的長為10cm時點E的運動時間是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s【解答】解：在?ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如圖，過點D作DG⊥AB于點G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，過點F作FH⊥AB于點H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，當(dāng)F點在E點左側(cè)時，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵點E到達點B時，兩點同時停止運動，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合題意，舍去，∴EF的長為10cm時點E的運動時間是8s，故選：C．4．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一點，且BM＝9cm，點E從點A出發(fā)以1cm/s的速度向點D運動，點F從點C出發(fā)，以3cm/s的速度向點B運動，當(dāng)其中一點到達終點，另一點也隨之停止，設(shè)運動時間為t（s），則當(dāng)以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形時，t的值是（）A． B．3 C．3或 D．或【解答】解：①當(dāng)點F在線段BM上，AE＝FM時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝9+3t﹣12，解得t＝，②當(dāng)F在線段CM上，AE＝FM時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，則有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，綜上所述，t＝或時，以A、M、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形．故選：D．5．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中點．點P以每秒1個單位長度的速度從點A出發(fā)，沿AD向點D運動；點Q同時以每秒3個單位長度的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B運動．點P停止運動時，點Q也隨之停止運動．當(dāng)運動時間t為（）秒時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形A．1 B．1.5 C．1或3.5 D．1.5或2【解答】解：∵E是BC的中點，∴BE＝CE＝BC＝8，由題意可知：AP＝t，則DP＝6﹣t，CQ＝3t，①當(dāng)Q運動到E和B之間，設(shè)運動時間為t，∴3t﹣8＝6﹣t，解得：t＝3.5；②當(dāng)Q運動到E和C之間，設(shè)運動時間為t，∴8﹣3t＝6﹣t，解得：t＝1，∴當(dāng)運動時間t為1秒或3.5秒時，以點P，Q，E，D為頂點的四邊形是平行四邊形，故選：C．6．如圖，在?ABCD中，BD為對角線，EF垂直平分BD分別交AD、BC的于點E、F，交BD于點O．（1）試說明：BF＝DE；（2）試說明：△ABE≌△CDF；（3）如果在?ABCD中，AB＝5，AD＝10，有兩動點P、Q分別從B、D兩點同時出發(fā)，沿△BAE和△DFC各邊運動一周，即點P自B→A→E→B停止，點Q自D→F→C→D停止，點P運動的路程是m，點Q運動的路程是n，當(dāng)四邊形BPDQ是平行四邊形時，求m與n滿足的數(shù)量關(guān)系．（畫出示意圖）【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ODE＝∠OBF，∵EF垂直平分BD，∴OB＝OD，在△OBF和△ODE中，，∴△BOF≌△DOE（ASA），∴BF＝DE；（2）∵四邊新ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠A＝∠C，AD＝BC，∵BF＝DE，∴AE＝CF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），（3）解：∵EF垂直平分BD，∴BF＝DF，∵△ABE≌△CDF，∴DF＝BE，AE＝CF，∴△DFC的周長是DF+CF+CD＝BF+CF+CD＝BC+CD＝15，△ABE的周長也是15，①當(dāng)P在AB上，Q在CD上，∵AB∥CD，∴∠BPO＝∠DQO，∵∠POB＝∠DOQ，OB＝OD，∴△BPO≌△DQO，∴BP＝DQ，∴m+n＝BP+DF+CF+CQ＝DF+CF+CQ+DQ＝DF+CF+CD＝15②當(dāng)P在AE上，Q在CF上，∵AD∥BC，∴∠PEO＝∠QFO，∵△EOD≌△FOB，∴OE＝OF，∵∠PEO＝∠QFO，∠EOP＝∠FOQ，∴△PEO≌△QFO，∴PE＝QF，∵AE＝CF，∴CQ＝AP，m+n＝AB+AP+DF+PQ＝CD+CQ+DF+FQ＝DF+CF+CD＝15；③當(dāng)P在BE上，Q在DF上，∵AD＝BC，AE＝CF，∴DE＝BF，∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴BE＝DF，BE∥DF，∴∠PEO＝∠FQO，∵∠EOP＝∠FOQ，OE＝OF，∴△PEO≌△FQO，∴PE＝FQ，∴m+n＝AB+AE+PE+DQ＝CD+CF+QF+DQ＝DF+CF+CD＝15．類型二：矩形中的動點問題7．如圖，在長方形ABCD中，AD＝16cm，AB＝8cm．點P從點A出發(fā)，沿折線A﹣B﹣C方向運動，速度2cm/s；點Q從點B出發(fā)沿線段BC方向向點C運動，速度4cm/s；點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)一方到達終點時，另一方同時停止運動，設(shè)運動時間是t（s）．下列說法錯誤的是（）A．點P運動路程為2tcm B．CQ＝（16﹣4t）cm C．當(dāng)時，PB＝BQ D．運動中，點P可以追上點Q【解答】解：A．由點P的速度為2cm/s，時間為t（s），得點P運動路程為2tcm，正確，故本選項不符合題意；B．由點Q的速度為4cm/s，時間為t（s），得點Q運動路程為4tcm，則CQ＝（16﹣4t）cm，正確，故本選項不符合題意；C．當(dāng)t＝時，PB＝8﹣2t＝8﹣2×＝，BQ＝4t＝4×＝，則PB＝BQ正確，故本選項不符合題意；D．假設(shè)運動中點P可以追上點Q，則2t﹣4＝4t，解得：t＝﹣2，假設(shè)不成立，原表述錯誤，故本選項符合題意；故選：D．8．在平面直角坐標(biāo)系中，長方形ABCD按如圖所示放置，O是AD的中點，且A、B、C的坐標(biāo)分別為（5，0），（5，4），（﹣5，4），點P是BC上的動點，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時，則點P的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．【解答】解：如圖，∵A、B、C的坐標(biāo)分別為（5，0），（5，4），（﹣5，4），∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠C＝∠CDO＝90°，設(shè)BC與y軸交于E，當(dāng)DP＝DO＝5，∴CP＝＝3，∴PE＝2，∴P（﹣2，4），當(dāng)OD＝OP＝5時，PE＝＝3，∴P（﹣3.4）或（3，4），綜上所述，點P的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），故答案為：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．9．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E、F．求PE+PF＝．【解答】解：連接OP，如圖所示：∵矩形ABCD的兩邊AB＝3，BC＝4，∴S矩形ABCD＝AB?BC＝12，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝5，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝3，OA＝OD＝，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA?PE+OD?PF＝OA（PE+PF）＝×（PE+PF）＝3，∴PE+PF＝，故答案為：．10．如圖，在長方形ABCD中，AB＝DC＝3cm，BC＝AD＝2cm，現(xiàn)有一動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿長方形的邊A→B→C→D→A運動，到達點A時停止；點Q在邊DC上，DQ＝BC，連接AQ．設(shè)點P的運動時間為ts，則當(dāng)t＝1或2或7s時，以長方形的兩個頂點及點P為頂點的三角形與△ADQ全等．（不考慮兩個三角形重合的情況）【解答】解：當(dāng)t＝1s時，AP＝1cm，則BP＝2cm，如圖1，在△AQD和△CPB中，，∴△AQD≌△CPB（SAS）；當(dāng)t＝2時，AP＝2cm，如圖2，∴AP＝DQ，在△AQD和△DPA中，，∴△AQD≌△DPA（SAS）；當(dāng)t＝7時，AB+BC+CP＝7cm，如圖3，∴CP＝2cm，∴DQ＝CP，在△AQD和△BPC中，，∴△AQD≌△BPC（SAS）；故答案為：1或2或7．11．如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為對角線AC上與A，C不重合的一個動點，過點E作EF⊥AB于點F，EG⊥BC于點G，連接DE，F(xiàn)G，下列結(jié)論：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值為2．其中正確結(jié)論的有①②③④．（填序號）【解答】解：如圖所示，連接BE，交FG于點O，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四邊形EFBG為矩形，∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴DE＝FG，即①正確；∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠BFG＝∠ADE，即②正確，延長DE，交FG于M，交FB于點H，由①得，∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠OFB＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°，∴∠OFB+∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，∴DE⊥FG，即③正確；∵E為對角線AC上的一個動點，∴當(dāng)DE⊥AC時，DE最小，∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝4，∴DE＝AC＝2，由①知，F(xiàn)G＝DE，∴FG的最小值為2，即④正確，綜上，①②③④正確，故答案為：①②③④．12．已知，如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延長BC到點E，使CE＝3，連接DE．（1）動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BC﹣CD﹣DA向終點A運動，設(shè)點P運動的時間為t秒，求當(dāng)t為何值時，△ABP和△DCE全等？（2）若動點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度僅沿著BE向終點E運動，連接DP．設(shè)點P運動的時間為t秒，是否存在t，使△PDE為等腰三角形？若存在，請求出t的值；否則，說明理由．【解答】解：（1）若△ABP與△DCE全等，∴BP＝CE或AP＝CE，當(dāng)BP＝CE＝3時，則t＝3÷1＝3，當(dāng)AP＝CE＝3時，則t＝（6+6+4﹣3）÷1＝13，∴當(dāng)t為3或13時，△ABP和△DCE全等；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，CD⊥BC，在Rt△DCE中，CE＝3，∴DE＝＝5，若△PDE為等腰三角形，則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，當(dāng)PD＝DE時，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝3÷1＝3，當(dāng)PE＝DE＝5時，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝4÷1＝4，當(dāng)PD＝PE時，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，DP2＝CD2+PC2．∴（3+PC）2＝16+PC2，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝÷1＝，綜上所述：當(dāng)t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形．類型三：菱形中動點問題13．如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠A＝120°，點E是BD上不與點B和點D重合的一個動點，過點E分別作AB和AD的垂線，垂足為F，G，則EF+EG的值為（）A． B．2 C． D．4【解答】解：連接AC交BD于O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝4，∵AB＝4，∴AO＝AB＝2，∴AC＝2AO＝4，OB＝＝2，∴，連接AE，∴S△ABD＝S△ABE+S△ADE，∴，∴EF+EG＝2，故選：A．14．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)同時從O點出發(fā)在線段AC上以1cm/s的速度反向運動（點E，F(xiàn)分別到達A，C兩點時停止運動），設(shè)運動時間為ts．連接DE，DF，BE，BF，已知△ABD是邊長為6cm的等邊三角形，當(dāng)t＝3s時，四邊形DEBF為正方形．【解答】解：由題意得OE＝OF＝tcm，∴EF＝2tcm，∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴OB＝OD，AC⊥BD，∴四邊形DEBF是菱形，∴當(dāng)EF＝BD時，四邊形DEBF是正方形，∵△ABD是邊長為6cm的等邊三角形，∴BD＝6cm，∴由EF＝BD得2t＝6，解得t＝3，∴當(dāng)t＝3s時，四邊形DEBF是正方形，故答案為：3．15．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5cm，∠ADC＝120°，點E、F同時由A、C兩點出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點B勻速移動（到點B為止），點E的速度為1cm/s，點F的速度為2cm/s，經(jīng)過t秒△DEF為等邊三角形，則t的值為（）A． B． C． D．【解答】解：連接BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ADB＝∠ADC＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝BD，又∵△DEF是等邊三角形，∴∠EDF＝∠DEF＝60°，又∵∠ADB＝60°，∴∠ADE＝∠BDF，在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE＝BF，∵AE＝t，CF＝2t，∴BF＝BC﹣CF＝5﹣2t，∴t＝5﹣2t∴t＝，故選：D．16．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，點P為AB邊上一動點（不與點A，B重合），PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，若AC＝16，BD＝12，則EF的最小值為（）A．8 B．6 C．4.8 D．2.4【解答】解：連接OP，作OH⊥AB于點H，∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝×16＝8，OB＝OD＝BD＝×12＝6，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝10，∵AB?OH＝OA?OB＝S△AOB，∴×10OH＝×8×6，解得OH＝4.8，∵PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°，∴四邊形PEOF是矩形，∴EF＝OP，∴OP≥OH，∴EF≥4.8，∴EF的最小值為4.8，故選：C．17．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，動點P從點A出發(fā)，以1cm/s的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線B﹣C﹣D向終點D運動，其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動，設(shè)運動時間為t秒．（1）用含t的式子表示PB．（2）當(dāng)t為何值時，直線PQ把四邊形ABCD分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形？（3）只改變點Q的運動速度，使運動過程中某一時刻四邊形PBCQ為菱形，則點Q的運動速度應(yīng)為多少？【解答】解：（1）由于P從A點以1cm/s向B點運動，∴ts時，AP＝t×1＝tcm，∵AB＝18cm，∴BP＝AB﹣AP＝（18﹣t）cm；（2）過B點作BN⊥CD于N點，∵AB∥CD，∠ADC＝90°，∴四邊形ACNB是矩形，∴BN＝AD＝12cm，AD＝DN＝18cm，∵CD＝23cm，∴CN＝CD﹣CN＝5cm，∴Rt△BNC中，根據(jù)勾股定理可得：BC＝＝＝13cm，則Q在BC上運動時間為13÷2＝6.5s，∵BC+CD＝23+13＝36cm，∴Q運動時間最長為36÷2＝18s，∴6.5s≤t≤18s時，Q在CD邊上，此時，直線PQ把四邊形ABCD分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形，分兩種情況：①四邊形PQCB是平行四邊形，如圖所示：∵AB∥CD即PB∥CQ，∴只需PB＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，∵Q以2cm/s沿沿折線B﹣C﹣D向終點D運動，∴運動時間為ts時，CQ＝2t﹣BC＝（2t﹣13）cm，∴18﹣t＝2t﹣13，解得：t＝s；②四邊形ADQP是平行四邊形，如圖所示：同理∵AP∥DQ，∴只需AP＝DQ，四邊形ADQP是平行四邊形，由（1）知：AP＝tcm，點DQ＝CD+CB﹣2t＝（36﹣2t）cm，∴36﹣2t＝t，解得：t＝12s，綜上所述：當(dāng)t＝s或12s時，直線PQ把四邊形ABCD分成兩個部分，且其中的一部分是平行四邊形；（3）設(shè)Q的速度為xcm/s，由（2）可知：Q在CD邊上，此時四邊形PBCQ可為菱形，∵PB∥CQ，∴只需滿足PB＝BC＝CQ即可，由（1）知：PB＝（18﹣t）cm，由（2）知：CQ＝（xt﹣13）cm，BC＝1cm，∴18﹣t＝13，xt﹣13＝13，解得：t＝5s，x＝5.2cm/s，∴當(dāng)Q點的速度為5.2cm/s時，四邊形PBCQ為菱形．類型四：正方形中動點問題18．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延長BC到點E，使CE＝1cm，連接DE，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向終點A運動．設(shè)點P的運動時間為t秒，當(dāng)△PBC和△DCE全等時，t的值為2或7．【解答】解：∵△DCE是直角三角形，∴△PBC為直角三角形，∴點P只能在AB上或者CD上，當(dāng)點P在AB上時，有BP＝CE，∴BP＝CE＝1，∴AP＝2，∴t＝2÷1＝2，當(dāng)點P在CD上時，有CP＝CE＝1，∴t＝（3+3+1）÷1＝7，故答案為：2或7．19．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊DC，CB上的動點，且始終滿足DE＝CF，AE，DF交于點P，則∠APD的度數(shù)為90°；連接CP，線段CP的最小值為﹣1．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADE＝∠DCF＝90°，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴∠DAE＝∠CDF，∵∠CDF+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠DAE＝90°，∴∠APD＝90°，取AD的中點O，連接OP，則OP＝AD＝×2＝1（不變），根據(jù)兩點之間線段最短得C、P、O三點共線時線段CP的值最小，在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理得，CO＝＝＝，所以，CP＝CO﹣OP＝﹣1．故答案為：90°，﹣1．20．如圖，在正方形ABCD中，AB＝6，E為CD上一動點，AE交BD于F，過F作FH⊥AE交BC于點H，過H作GH⊥BD于G，連結(jié)AH．以下四個結(jié)論中：①AF＝HE；②∠HAE＝45°；③；④△CEH的周長為12．正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：①連接FC，延長HF交AD于點L，如圖1，∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠ADB＝∠CDF＝45°．∵AD＝CD，DF＝DF，∴△ADF≌△CDF（SAS）．∴FC＝AF，∠ECF＝∠DAF．∵∠ALH+∠LAF＝90°，∴∠LHC+∠DAF＝90°．∵∠ECF＝∠DAF，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC．∴FH＝AF，∵FH⊥AE，∴FH＜EH，∴AF＜EH，故①錯誤；∵FH⊥AE，F(xiàn)H＝AF，∴∠HAE＝45°，故②正確；∵F是動點，∴FG的長度不是定值，不可能，故③錯誤；④延長AD至點M，使AD＝DM，過點C作CI∥HL，如圖2，則四邊形LHCI為平行四邊形，∴LI＝HC，∵HL⊥AE，CI∥HL，∴AE⊥CI，∴∠DIC+∠EAD＝90°，∵∠EAD+∠AED＝90°，∴∠DIC＝∠AED，∵ED⊥AM，AD＝DM，∴EA＝EM，∴∠AED＝∠MED，∴∠DIC＝∠DEM，∴180°﹣∠DIC＝180°﹣∠DEM，∴∠CIM＝∠CEM，∵CM＝MC，∠ECM＝∠CMI＝45°，∴△MEC≌△CIM（AAS），∴CE＝IM，∵E，F(xiàn)，H共圓，∠HFE＝90°，∴HE為直徑，∵∠HCF＝90°，∴點C在以HE為直徑的圓上，∴∠FHE＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠FAD＝∠FHE，∵∠AFL＝∠HFE，AF＝HF，∴△AFL≌△FHE（ASA），∴AL＝HE，∴HE+HC+EC＝AL+LI+IM＝AM＝12．故△CEH的周長為12，④正確．綜上所述，②④正確．故選：B．21．如圖，正方形ABCD的邊長為2cm，E是邊AD的中點，P為對角線BD上一動點，連接PA、PE，當(dāng)點P移動到使∠BPA＝∠DPE時，AP+PE的值為（）A． B． C． D．【解答】解：取CD的中點F．∵正方形ABCD的邊長為2cm，E是邊AD的中點，∴∠ADB＝∠CDB，DE＝DF＝1cm，∵DP＝DP，∴△DPE≌△DPF，∴∠DPF＝∠DPE，PE＝PF，∴AP+PE＝AP+PF．∵∠BPA＝∠DPE，∴∠DPF＝∠BPA．∵∠BPA+∠APE+∠DPE＝180°，∴∠DPE+∠APE+∠DPE＝180°，∴A，P，F(xiàn)共線，∴AP+PE＝AP+PF＝AF．∵，∴．故選：B．22．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，點E為AB上一動點．連接OE，作