貴州省六盤水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1貴州省六盤水市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，務(wù)必在答題卡上填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)等相關(guān)信息并貼好條形碼.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試題卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所?故選：B2.若復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.4〖答案〗B〖解析〗，則，故選：B3.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.13 B.45 C.65 D.130〖答案〗C〖解析〗，故選：C.4.甲、乙兩位學(xué)生的5次化學(xué)考試成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908999乙8990918892下列結(jié)論正確的是（）A.甲的極差小于乙的極差 B.乙的平均數(shù)大于甲的平均數(shù)C.乙的成績(jī)比甲的成績(jī)更穩(wěn)定 D.甲的中位數(shù)小于乙的中位數(shù)〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A項(xiàng)，甲的極差為：，乙的極差為：，則A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，甲的平均數(shù)為：，乙的平均數(shù)為：，則B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)極差，易知乙的成績(jī)比甲的成績(jī)更穩(wěn)定，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，甲的成績(jī)從小到大排成一列為：，其中位數(shù)為：，乙的成績(jī)從小到大排成一列為：，其中位數(shù)為：，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C5.已知為銳角，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)闉殇J角，，所以，聯(lián)立，解得，因?yàn)?，所以，所?故選：A6.關(guān)于的方程對(duì)應(yīng)的曲線不可能是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時(shí)，方程為：，對(duì)應(yīng)的圖象為選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，方程為：，對(duì)應(yīng)的圖象為選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，方程為：，得，對(duì)應(yīng)的圖象為選項(xiàng)C，選項(xiàng)D圖形是四條線段，沒(méi)有方程與之對(duì)應(yīng)，故選：D7.已知線段的長(zhǎng)度為4，動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離是它與點(diǎn)的距離的倍，則面積的最大值為（）A. B.8 C. D.〖答案〗A〖解析〗以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，且，由，得，化簡(jiǎn)得的軌跡方程為圓，半徑，如下圖，有．故選：A8.如圖，從一個(gè)半徑為的圓形紙板中剪出一塊最大的正三角形紙板，并將此正三角形紙板折疊成一個(gè)正四面體，則該正四面體外接球的表面積為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗圓內(nèi)最大正三角形即圓內(nèi)接正三角形.設(shè)該圓內(nèi)接正三角形的半徑為，邊長(zhǎng)為，則，解得，如圖，設(shè)折疊后正四面體的棱長(zhǎng)為，高為，則，過(guò)點(diǎn)作平面，為底面正三角形的中心，連接，則在中，由正弦定理得，則，所以高，設(shè)正四面體外接球球心，于是外接球的半徑，在中，，則，所以，解得，則其外接球的表面積為．故選：B.二，選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B.函數(shù)的最小正周期為C.函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象〖答案〗AD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以是函?shù)的周期，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋栽趨^(qū)間至少有兩個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，即，D正確.故選：AD10.已知函數(shù)，則（）A.與互為反函數(shù)B.若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則C.若，則D.點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由對(duì)數(shù)定義可知，所以與互為反函數(shù)，A正確；對(duì)于B，，則，若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則必有，即，兩邊取對(duì)數(shù)得，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，作出的圖象如圖：因?yàn)榕c的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，直線與直線垂直，所以直線與和的交點(diǎn)關(guān)于直線與的交點(diǎn)對(duì)稱，聯(lián)立求解可得，所以，C正確；對(duì)于D，由上圖和對(duì)稱性可知，的最小值等于點(diǎn)到直線的最小距離的2倍，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的切線平行于直線時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，令解得，所以此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的最小值為，所以，D正確.故選：ACD11.圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)處發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線在點(diǎn)處反射后，反射光線所在直線經(jīng)過(guò)另一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線在點(diǎn)處的切線平分．如圖，對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線過(guò)點(diǎn)，其左、右焦點(diǎn)分別為．若從發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線右支上一點(diǎn)反射的光線為，點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.雙曲線的方程為B.過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線平分C.若，則D.若，則〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，所以，解得，得到雙曲線的方程為，正確，對(duì)于B，如圖，由題知，，所以，若，所以，正確，對(duì)于C，記，所以，又，得到，又，所以，又，由，得，錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，，由，得，又，得到，得到，從而有，得到，由，得到，從而有，解得，正確，故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，若，則______．〖答案〗-2〖解析〗因?yàn)椋?，得，解得，故〖答案〗為?213.現(xiàn)有3名男同學(xué)和2名女同學(xué)，從中抽取3名同學(xué)去兩個(gè)不同的地方參加志愿者服務(wù)活動(dòng)，且每個(gè)地方至少要有1名男同學(xué)，則不同的分配方式共有______種．〖答案〗30〖解析〗抽取3名同學(xué)可以分為兩類：當(dāng)抽取2名男生，1名女生時(shí)，分配方法數(shù)為：，當(dāng)抽取3名男生時(shí)，分配方法數(shù)為：，則總的方法數(shù)為：，故〖答案〗為：3014.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且．若，則______．〖答案〗2024〖解析〗幾何法：由得的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；再根據(jù)可作出的一個(gè)符合要求的函數(shù)圖象如下，從而．代數(shù)法：由得；結(jié)合得；于是，從而；于是，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)．由，得，所以；由，得，所以；由，得，從而；從而，所以．故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且．（1）求的值；（2）若點(diǎn)滿足，求的長(zhǎng)度．解：（1）由，得，從而，將代入得．（2）方法1：，將代入得，解得．因?yàn)?，所以，由余弦定理得．方?：將代入得，解得．因?yàn)?，所以，兩邊平方得，所以?6.某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒脾胃虛弱．采用有放回的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到如下數(shù)據(jù)：抽到接受甲種療法的患兒55名，其中未治愈10名；抽到接受乙種療法的患兒45名，其中治愈30名．（1）請(qǐng)補(bǔ)全如下列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好；療法療效合計(jì)未治愈治愈甲乙合計(jì)（2）從接受乙種療法的患兒中，按照療效采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣法抽取6人，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人，求這3人中未治愈人數(shù)的分布列及期望；附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）列聯(lián)表如下：療法療效合計(jì)未治愈治愈甲104555乙153045合計(jì)2575100零假設(shè)為：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒(méi)有差異．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認(rèn)為成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒(méi)有差異．（2）抽樣比為，未治愈人數(shù)為2人，治愈人數(shù)為4人隨機(jī)變量的所有可能取值為．所以隨機(jī)變量的分布列為012從而，所以隨機(jī)變量的期望為1．17.已知長(zhǎng)方體中，．（1）在長(zhǎng)方體中，過(guò)點(diǎn)作與平面平行的平面，并說(shuō)明理由；（2）求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）如圖，所作平面為平面．理由如下：因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以，而平面平面，得平面，同理得平面，而平面，所以平面平面．?）方法1：以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)建系如圖，則，．，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)與平面所成的角為，則．方法2：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，依題，因?yàn)?，所以，從而，解得，設(shè)與平面所成的角為，則．18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）在數(shù)列中，是曲線在點(diǎn)處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2），曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令得，于是（為常數(shù)），所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．由得，于是，所以．19.定義：若橢圓上的兩個(gè)點(diǎn)滿足，則稱為該橢圓的一個(gè)“共軛點(diǎn)對(duì)”．如圖，為橢圓的“共軛點(diǎn)對(duì)”，已知，且點(diǎn)在直線上，直線過(guò)原點(diǎn)．（1）求直線的方程；（2）已知是橢圓上的兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且．（i）求證：線段被直線平分；（ii）若點(diǎn)在第二象限，直線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求面積的最大值．解：（1）由已知，點(diǎn)在