遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市郊聯(lián)體2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1.已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，故，圖中陰影部分表示的元素在中而不在中，故對應(yīng)的集合為，故選：D2.已知函數(shù)的圖象如圖所示，下面四個圖象中的圖象大致是A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)y＝xf′（x）的圖象可知：當(dāng)x＜﹣1時，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此時f（x）增，當(dāng)﹣1＜x＜0時，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時f（x）減，當(dāng)0＜x＜1時，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時f（x）減，當(dāng)x＞1時，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時f（x）增．故選C．3.函數(shù)的最大值為（）A.8 B. C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，即，所以，因為，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最大值為.故選：A4.已知函數(shù)的定義域為R，且是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，則下列選項中值一定為0的是（）．A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由為偶函數(shù)，得，由為奇函數(shù)，得，即，則有，于是，即，因此，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由，，得，由，，得，B正確；令，則有，，即，定義在上的函數(shù)滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，此時，A錯誤；，C錯誤；，D錯誤.故選：B5.中國古代許多著名數(shù)學(xué)家對推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳析九章算法》和《算法通變本末》中，所討論的二階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是后項減前項之差組成的新數(shù)列是等差數(shù)列.現(xiàn)有一個“堆垛”，共50層，第一層2個小球，第二層5個小球，第三層10個小球，第四層17個小球，...，按此規(guī)律，則第50層小球的個數(shù)為（）A.2400 B.2401 C.2500 D.2501〖答案〗D〖解析〗不妨設(shè)第層小球個數(shù)為，由題意，，……，即各層小球之差成以3為首項，2為公差的等差數(shù)列.所以.故有，累加可得：，故故選:D6.函數(shù)在上單調(diào)遞減的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由于是定義在上的遞減函數(shù)，故命題等價于在上單調(diào)遞增且取值恒為正.若，則，從而在上取值不恒為正，不滿足條件；若，則對任意都有，且由知對任意都有.故在上單調(diào)遞增且取值恒正，滿足條件.所以使得原命題成立的充分必要條件是，從而觀察選項可知A是充分不必要條件，B是充要條件，C，D是既不充分也不必要條件.故選：A.7.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且恒成立，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗令，則，即為，即設(shè)，則，因為對于任意的，都有成立，所以對任意，都有，所以為單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以的解集為，即，即所以不等式的解集為，故選D.8.已知函數(shù)，若實數(shù)，滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，所以，即有，所以關(guān)于點中心對稱，又，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分、共18分．在每小題垥出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題為真命題的是（）A.若，則B.函數(shù)的定義域為，則的定義域為C.若冪函數(shù)的圖像過點，則D.函數(shù)的零點所在區(qū)間可以是〖答案〗AC〖解析〗對于A，假設(shè)，則，所以，故，矛盾，所以，故A正確；對于B，由于的定義域為，故的定義域為，所以的定義域為，故B錯誤；對于C，由于是冪函數(shù)，故可設(shè)，而的圖像過點，故，所以，即，故C正確；對于D，由于當(dāng)時有，所以在上沒有零點，故D錯誤.故選：AC.10.已知，，且，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗對于A，有當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故A正確；對于B，，，有，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，從而，故B正確；對于C，由，知，所以故，從而，所以，故C正確；對于D，由于當(dāng)時，有，，但，故D錯誤.故選：ABC.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)存在兩個不同的零點B.函數(shù)既存在極大值又存在極小值C.當(dāng)時，方程有且只有兩個實根D.若時，，則的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗對于A．，解得，所以A正確；對于B．，當(dāng)時，，當(dāng)時，或，所以是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，所以是函數(shù)的極小值，是函數(shù)的極大值，所以B正確．對于C．當(dāng)時，，根據(jù)B可知，函數(shù)的最小值是，再根據(jù)單調(diào)性可知，當(dāng)時，方程有且只有兩個實根，所以C正確；對于D：由圖象可知，t的最大值是2，所以D不正確．故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，則________．〖答案〗3〖解析〗依題意，，則．故〖答案〗為：313.若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是_____．〖答案〗〖解析〗由題意，f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），故f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上是增函數(shù)，在（﹣2，0）上是減函數(shù)，作其圖象如圖，令x3+x2得，x＝0或x＝﹣3；則結(jié)合圖象可知，；解得，a∈[﹣3，0）；故選C．14.已知函數(shù)則函數(shù)有_________個零點．〖答案〗4〖解析〗令，由可得，，作與的圖象，如圖，由圖象知有兩個交點，分別設(shè)橫坐標(biāo)為，則，由可知或，有兩個根，由，顯然有兩個根，綜上，有4個根，即有4個零點.故〖答案〗為：4四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.設(shè)集合，.（1）當(dāng)時，求.（2）若，求m的取值范圍.解：（1）當(dāng)時,,又因為，所以（2）若,則分以下兩種情形討論：情形一：當(dāng)集合為空集時，有，解不等式得情形二：當(dāng)集合不為空集時，由以上情形以可知，此時首先有，其次若要保證，在數(shù)軸上畫出集合如下圖所示：由圖可知，解得；結(jié)合可知.綜合以上兩種情形可知：m的取值范圍為.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）由題意知，當(dāng)時，，則，故曲線在處的切線方程為．（2）的定義域為，且，當(dāng)時，則，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，則有：若，則，令，則單調(diào)遞增；令，則或單調(diào)遞減；若，則，令，則單調(diào)遞增；令，則或單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．17.已知函數(shù)f(x)的定義域是{x|x≠0}，對定義域內(nèi)的任意，都有f(·)＝f()＋f()，且當(dāng)x>1時，f(x)>0，f(2)＝1.(1)證明：(x)是偶函數(shù)；(2)證明：(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)；(3)解不等式(2－1)<2.解：(1)令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．∴f(x)是偶函數(shù)．(2)設(shè)x2>x1>0，則f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()，∵x2>x1>0，∴>1.∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0.∴f(x2)>f(x1)．∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(3)∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.又∵f(x)是偶函數(shù)，∴不等式f(2x2－1)<2可化為f(|2x2－1|)<f(4)．又∵函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∴|2x2－1|<4.解得－<x<，又，解得：即不等式的解集為．18.已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且對任意的都有.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，且數(shù)列的前項和為，問是否存在正整數(shù)，對任意正整數(shù)有恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，請說明理由.解：（1）因為，，當(dāng)時，，兩式相減得（），即（）.又當(dāng)時，，得，滿足上式.故，.（2）由（1）可得，，則，即.又，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以.因為對任意正整數(shù)有恒成立，所以，解得.又，所以.所以存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)有恒成立，且的最大值為1010.19.已知函數(shù)，其中為常數(shù).（1）若，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，設(shè)函數(shù)在上的極值點為，求證：.解：（1）當(dāng)時，，定義域為，，令，得.極大值當(dāng)時，的極大值為，無極小值.（2），由題意對恒成立.，，對恒成立，對恒