山東省青島市西海岸2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市西海岸2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則的虛部為（）A. B.1 C. D.i〖答案〗A〖解析〗由題，，則，則，故的虛部為.故選：A.2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)縱坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)豎坐標(biāo)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的豎坐標(biāo)為，所以點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：C.3.已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，故B正確；對(duì)于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，，所以共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以共面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)共面，則存在，使得，則共面，這與可構(gòu)成空間的一個(gè)基底矛盾，所以不共面，故C正確；對(duì)于D，，所以共面，故D錯(cuò)誤.故選：C.5.如圖，圓錐的母線長(zhǎng)為3，底面半徑為1，一只螞蟻從點(diǎn)P處沿著該圓錐側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)P處，則螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為（）A. B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為半徑是3的扇形，如圖，一只螞蟻從點(diǎn)P出發(fā)繞著圓錐的側(cè)面爬行一圈回到點(diǎn)P的最短距離為，設(shè)，圓錐底面周長(zhǎng)為，所以圓弧的長(zhǎng)為，所以，在中，由，得.故選：D.6.正四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2和4，高是，則它的側(cè)面積為（）A6 B. C.24 D.44〖答案〗C〖解析〗如圖，過(guò)作平面，作，連接，根據(jù)題意得，，所以，所以此正四棱臺(tái)的側(cè)面是4個(gè)全等的高為2的等腰梯形，所以側(cè)面積為.故選：.7.若△ABC為斜三角形，，則的值為（）A B. C.0 D.1〖答案〗A〖解析〗由，可知或，又為斜三角形，所以，即，故選：A.8.已知平面，平面，，BD與平面所成的角為30°，，，則點(diǎn)C與點(diǎn)D之間的距離為（）A. B. C.或 D.或〖答案〗C〖解析〗如圖，作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，，平面，所以，所以，則或，易知，若，則，若，則.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則（）A.與為異面直線B.平面C.過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面為三角形D.平面〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，取中點(diǎn)，連接，則由題意，又，故與不平行，又與無(wú)公共點(diǎn)，所以與異面，故A正確；對(duì)于B，連接，則由題意可知為的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；對(duì)于C，連接、，由正方體性質(zhì)，所以由可唯一確定一個(gè)平面，因?yàn)槠矫?，所以平面是過(guò)點(diǎn)A，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面，該截面為為平行四邊形，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B可知，由正方體性質(zhì)，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，又由B可知，所以平面，故D正確.故選：ABD.10.已知向量在向量上的投影向量為，向量，則向量可以為（）A. B. C. D.〖答案〗AD〖解析〗由題意，所以，對(duì)于A，因?yàn)?，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋蔅錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋蔇正確.故選：AD.11.已知四面體的所有棱長(zhǎng)都等于6，點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（包含邊界），且與平面所成角的正切值為，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，則（）A.該四面體的高為B.該四面體的體積為C.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D.過(guò)的平面截該四面體內(nèi)最大球的截面面積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)在底面上的射影為點(diǎn)，連接，則是線段的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，在等邊中，，所以，，在中，，所以該四面體的高為，故A正確；對(duì)于B：，所以該四面體的體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由平面知，就是與平面所成角，即，而，所以，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，其軌跡長(zhǎng)度為，故C正確；對(duì)于D：設(shè)該四面體內(nèi)切球的半徑為，球心為，在截面中，取的中點(diǎn)，連接，則在線段上，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，而過(guò)的平面截該四面體內(nèi)最大球的截面就是其內(nèi)切球的大圓，所以該截面的面積為，故D正確．故選：ACD．三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分．12.如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為60°．已知禮物重量為2kg，每根繩子的拉力大小相同.則降落傘在勻速下落的過(guò)程中每根繩子拉力的大小為_(kāi)_____N．（重力加速度g?。即鸢浮健冀馕觥皆O(shè)水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為，因?yàn)?，所以在上的投影向量為，所?根繩子拉力的合力為，又因?yàn)榻德鋫銊蛩傧侣洌?，所以，，所?故〖答案〗為：.13.已知直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球的表面上，，，則此直棱柱的體積為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗設(shè)，如圖所示，在中，，設(shè)底面的外接圓的半徑為，由余弦定理得，所以，由正弦定理可得，所以，設(shè)的外心為，的外心為，則外接球的球心為的中點(diǎn)，所以外接球半徑，所以外接球表面積為，所以，解得，所以此直棱柱的體積為.故〖答案〗為：.14.在四面體中，面與面所成的二面角為，頂點(diǎn)在面上的射影是，的重心是，若，，則______．〖答案〗〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，連接，，，，且，又，且，平面，平面，平面，所以，面與面所成的二面角為，且在上，，又，，根據(jù)余弦定理可得．故〖答案〗為：．四、解答題：共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.如圖，圓臺(tái)上下底面半徑分別為1，2，，為其兩條母線，且母線長(zhǎng)為2．（1）證明：四邊形為等腰梯形；（2）若在圓臺(tái)內(nèi)部挖去一個(gè)以O(shè)為頂點(diǎn)，圓為底面的圓錐，求剩余部分的體積．解：（1）因?yàn)?，為圓臺(tái)兩條母線，所以，且它們都在同一個(gè)平面內(nèi)，又由于圓臺(tái)的上下底面都是圓，由圓的同心性和圓臺(tái)的形成可知，，故四邊形為等腰梯形.（2）如圖所示：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，所以由勾股定理得高，，，故剩余部分的體積.16.如圖，在三棱柱中，，，，平面底面，分別是的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．解：（1）連接，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn)，所以為的中位線，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)?，所以平面平?（2）因?yàn)椋?，所以是等邊三角形，取的中點(diǎn)為，連接，則，，又因?yàn)槠矫娴酌媲医痪€為，所以底面，因?yàn)?，，，所以，所以，所以，所以取的三分之一等分點(diǎn)，，連接，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，則，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，，令，則，所以，同理可得，，令，則，所以，所以，所以，所以平面與平面夾角的余弦值.17.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其外接圓的半徑為，且．（1）求B；（2）若B的角平分線交AC于點(diǎn)D，，點(diǎn)E在線段AC上，，求的面積．解：（1）由正弦定理得，故，因?yàn)?，所?（2）由正弦定理得，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)锽的角平分線交AC于點(diǎn)D，所以，由得：，即，在中，由余弦定理得，故，即，聯(lián)立與，解得，負(fù)值舍去，故，解得，由三線合一可得⊥，且，，故，.18.如圖1，直角梯形中，，，，，以為軸將梯形旋轉(zhuǎn)后得到幾何體W，如圖2，其中，分別為上下底面直徑，點(diǎn)P，Q分別在圓弧，上，直線平面.（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正切值等于，求P到平面的距離；（3）若平面與平面夾角的余弦值，求．解：（1）設(shè)平面交上底面于，在圓弧上，因?yàn)樯舷碌酌嫫叫校?，又因平面，平面，平面平面，所以，所以，由題意可知，又，平面，所以平面，所以平面，又平面，平面平面.（2）由（1）知平面，連接，所以是直線與平面所成角，所以由題意，又由題意，，所以，所以，即在圓弧的中點(diǎn)上，所以由知點(diǎn)P在圓弧中點(diǎn)上，故，所以，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)P到平面的距離即為F到平面的距離，又圓柱結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，平面，平面，所以平面，所以F到平面的距離即為C到平面的距離，設(shè)該距離為，因?yàn)?，，又，所以，即點(diǎn)P到平面的距離為.（3）過(guò)作垂直于底面，則由上知，所以可建立如圖所示的分別以為軸的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，且，所以，設(shè)平面的法向量為，則，所以即，取可求得，設(shè)平面的法向量為，則，所以即，取可求得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，且，整理得，所以，即，即，所以，所以，所以.19.如圖所示，用一個(gè)不平行于圓柱底面的平面，截該圓柱所得的截面為橢圓面.得到的幾何體稱(chēng)之為“斜截圓柱”．AB是底面圓O的直徑，，橢圓面過(guò)點(diǎn)B且垂直于平面ABC，且與底面所成二面角為45°，橢圓上的點(diǎn)在底面上的投影分別為，且均在直徑AB同一側(cè)．（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)時(shí)，若下圖中，點(diǎn)，，，…，將半圓平均分成7等分，求；（3）證明：．解：（1）如圖，取CD中點(diǎn)，過(guò)作與該斜截圓柱的底面圓平行且全等的圓面，交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作底面圓的垂線交平行圓面于點(diǎn)，由橢圓面過(guò)點(diǎn)B且與底面所成二面角為45°，則，因?yàn)樗?，過(guò)作GH的垂線，交圓于J、K兩點(diǎn)，過(guò)作交JK于點(diǎn)，又由圓M，因?yàn)閳AM，則，又因，平面，故平面，因平面，故，所以為橢圓面與圓所在平面的夾角，也即橢圓面與底面所成角，所以，則為等腰直角三角形，，設(shè)，如圖作圓所在平面的俯視圖，則，由，所以，則有，所以，即，當(dāng)時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）可得：所以，…，則.（3）由（1）知，也即是關(guān)于