2024年上海市長寧區(qū)中考三模數(shù)學試題

2024年上海市長寧區(qū)中考三模數(shù)學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列二次根式中，與省是同類二次根式的是（）

A.>/6B.79C.V12D.V18

2.用換元法解方程二+上=2時，若設二=>則原方程可化為關于y的方程是（）

X1-XX

A./—2y+1=0B.y~—2,y—1—0C.y2+—2=0D.—y—2.=0

3.我們經常將調查、收集得來的數(shù)據用各類統(tǒng)計圖進行整理與表示.下列統(tǒng)計圖中，能凸

顯由數(shù)據所表現(xiàn)出來的部分與整體的關系的是（）

A.條形圖B.扇形圖

C.折線圖D.頻數(shù)分布直方圖

4.如果反比例函數(shù)圖象經過點（4,-2）,則這個反比例函數(shù)的解析式為（）

2288

A.y=——B.y=-C.y=~~D.y=-

XXxx

5.下列命題中，真命題是（）

A.對角線互相垂直的梯形是等腰梯形

B.對角線互相垂直的平行四邊形是正方形

C.對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形

D.對角線平分一組對角的梯形是直角梯形

6.如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZC=4,BC=1，點。在邊8C上，CD=3,。工的

半徑長為3,與ON相交，且點B在。。外，那么。。的半徑長廠的取值范圍是（）

A.1<r<4B.2<r<4C.l<r<8D.2<r<8

試卷第1頁，共6頁

二、填空題

7.計算：2a-3ab=.

2

8.已知/（x）=,那么大3）的值是__.

x-1

9.已知正比例函數(shù)＞=區(qū)（左是常數(shù)，左片0）的圖象經過第二、四象限，那么了的值隨著x的

值增大而.（填“增大”或“減小”）

10.如果關于x的方程x?-4X+/M=0有兩個實數(shù)根，那么加的值是.

11.如果從1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中任意抽取一個數(shù)字，抽到的數(shù)是3的倍數(shù)的

概率是.

12.如果將拋物線y=x2向左平移3個單位，那么所得新拋物線的表達式是.

13.為了解某區(qū)六年級8400名學生中會游泳的學生人數(shù)，隨機調查了其中400名學生，結

果有170名學生會游泳，那么估計該區(qū)會游泳的六年級學生人數(shù)約為人.

14.《九章算術》中記載了一種測量井深的方法.如圖所示，在井口3處立一根垂直于井口

的木桿8D,從木桿的頂端。觀察水岸C,視線DC與井口的直徑交于點E,如果測得

48=1.6米，AD=1米，BE=0.2米，那么井深/C為米.

15.如圖，AC,AD是平行四邊形ABCD的對角線，設就=Z，CA=b，那么向量而用向

量表示為

試卷第2頁，共6頁

16.小明從家步行到學校需走的路程為1800米.圖中的折線0/8反映了小明從家步行到學

校所走的路程s（米）與時間（分鐘）的函數(shù)關系，根據圖象提供的信息，當小明從家出發(fā)去學

校步行15分鐘時，到學校還需步行一米.

18001M一.

M60...

》4分鐘I

17.如圖，在AABC中，AB=8,3c=14,18=60。，點、D在邊3c上，CD=6,連接

如果將A/C￡＞沿直線NO翻折后，點C的對應點為點￡,那么點￡到直線3。的距離

為.

18.在矩形48C。中,4B=12,8c=16,點。在對角線/C上，。。的半徑為4,如果0。

與矩形/BCD的各邊都沒有公共點，那么線段/O長的取值范圍是.

19.計算：64§+

2x+l>x

20.解不等式（組），x+5

I2

21.如圖，在直角梯形N3CD中，48〃DC,/￡M3=90。，AB=16,CD=1ftBC=6/5.

⑴求梯形/BCD的面積；

（2）連接2。，求ND8C的正切值.

22.某“綜合與實踐”小組開展了測量本校旗桿高度的實踐活動.他們制訂了測量方案，并利

試卷第3頁，共6頁

用課余時間完成了實地測量.他們在該旗桿底部所在的平地上，選取兩個不同測點，分別測

量了該旗桿頂端的仰角以及這兩個測點之間的距離.為了減小測量誤差，小組在測最仰角的

度數(shù)以及兩個測點之間的距離時，都分別測量了兩次并取它們的平均值作為測量結果，測量

數(shù)據如下表（不完整）.

課題測量旗桿的高度

成員組長XXX組員：XXX,XXX,XXX

測量工具測量角度的儀器、皮尺等

說明：線段表示學校旗桿，測量

角度的儀器的高度

測重:示意圖

AC=BD=l.5m,測點4B馬H

在同一條水平直線上，A,3之間的

距離可以直接測得，且點G,H,A,

E

71BAB,C,。都在同一豎直平面內.點C,

D,E在同一條直線上，點E在G"

上.

測量項第一第二平均a

目次次值i

ZGCE

25.6°25.8°25.7°

的度數(shù)

ZGDE

31.2°30.8°31°

測量數(shù)據的度數(shù)

A,B之

間的距5.4m5.6m

離

任務一：兩次測量，A,3之間的距離的平均值是.m.

試卷第4頁，共6頁

任務二：根據以上測量結果，請你幫助該“綜合與實踐”小組求出學校旗桿G"的高度.

(參考數(shù)據：sin25.7°?0.43,cos25.7°~0.90,tan25.7°~0.48,sin3130.52,cos31°M).86,

tan31°?0.60)

任務三：該“綜合與實踐”小組在制訂方案時，討論過“利用物體在陽光下的影子測量旗桿的

高度”的方案，但未被采納，你認為其原因可能是什么？

23.已知：如圖，在菱形/BCD中，點E、下分別在邊48、AD±,BE=DF,CE的延長線

交DA的延長線于點G,CF的延長線交BA的延長線于點H.

(1)求證：ABECs博通

(2)如果3￡2=/小4￡,求證：AG=DF.

24.如圖，在平面直角坐標系xQy中，已知點/(-l,0)、J8(3,0)、C(0,3),拋物線廣加+6x+c

經過/、B兩點.

(1)當該拋物線經過點C時，求該拋物線的表達式；

(2)在(1)題的條件下，點尸為該拋物線上一點，且位于第三象限，當/尸=時，

求點尸的坐標；

(3)如果拋物線了=依2+歷;+。的頂點。位于00(?內，求。的取值范圍.

25.已知是OO的一條弦，點C在。。上，連結CO并延長，交弦48于點。，且CD=CB.

試卷第5頁，共6頁

圖I圖2招用圖

(1)如圖1,如果8。平分//3C,求證：AB=BC；

(2)如圖2,如果求的值；

(3)延長線段/O交弦8C于點￡,如果AEOB是等腰三角形，且。。的半徑長等于2,求弦BC

的長.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.c

【分析】先把每個二次根式進行化簡，化成最簡二次根式，后比較被開方數(shù)即可.

【詳解】A.C與百的被開方數(shù)不相同，故不是同類二次根式；

B.囪=3,與右不是同類二次根式；

C.712=273,與省被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；

D."i=3收，與百被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式.

故選：C.

【點睛】本題考查了二次根式的化簡，同類二次根式，熟練掌握根式化簡的基本方法，靈活

運用同類二次根式的定義判斷解題是求解的關鍵.

2.A

【分析】本題主要考查了解分式方程，先把原方程變成＞+工=2,再去分母即可得到答案.

y

【詳解】解：^+—=2

X1-x

、幾m.i1

設一廠—y9則■—--,

x1-xy

?,?原方程為■—=2,即/一2〉+1=0,

y

故選：A.

3.B

【分析】根據統(tǒng)計圖的特點判定即可.

【詳解】解：統(tǒng)計圖中，能凸顯由數(shù)據所表現(xiàn)出來的部分與整體的關系的是扇形圖.

故選：B.

【點睛】本題考查了統(tǒng)計圖的特點，條件統(tǒng)計圖能反映各部分的具體數(shù)值，扇形統(tǒng)計圖能反

映各個部分占總體的百分比，折線統(tǒng)計圖能反映樣本或總體的趨勢，頻數(shù)分布直方圖能反映

樣本或總體的分布情況，熟練掌握各統(tǒng)計圖的特點是解題的關鍵.

4.C

【分析】利用待定系數(shù)法即可求得.

k

【詳解】解：設這個反比例函數(shù)的解析式為＞=—（左W0）,

答案第1頁，共17頁

由題意，將點（4,-2）代入>=々后40）得：左=_2x4=-8,

X

則這個反比例函數(shù)的解析式為y=

X

故選：C.

【點睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關鍵.

5.C

【分析】利用特殊四邊形的判定定理對每個選項逐一判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】A.對角線互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故錯誤；

B.對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故錯誤；

C.對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形，正確；

D.對角線平分一組對角的梯形是菱形，故錯誤.

故選：C.

【點睛】本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解特殊四邊形的判定定理，難度不

大.

6.B

【分析】連接根據勾股定理得到幺。=5,根據圓與圓的位置關系得到r>5-3=2,

由點B在。。外，于是得到廠<4,即可得到結論.

【詳解】解:連接

/￡)=初+42=5

；。工的半徑長為3,與。/相交,

r>5—3=2j

BC=7,

?**BD=4,

,點5在。。外,

答案第2頁，共17頁

r<4,

???OD的半徑長一的取值范圍是2<r<4,

故選：B.

【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系，點與圓的位置關系，設點到圓心的距離為d,則當

d=/時，點在圓上；當d>，時，點在圓外；當/時，點在圓內.

7.6a2b.

【分析】利用單項式乘單項式的法則進行計算即可.

【詳解】解：2a，3ab=6a2b

故填：6a2b.

【點睛】單項式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字

母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.

8.1.

2

【分析】根據小尸-將x=3代入即可求解.

x-1

2

【詳解】解：由題意得：危尸-

x-1

???將x=3代替表達式中的工,

故答案為：1.

【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，解答本題的關鍵是明確題意，利用題目中新定義解答.

9.減小

【分析】此題主要考查了正比例函數(shù)的性質，關鍵是掌握正比例函數(shù)的性質：正比例函數(shù)

>=6（左wo）的圖象是一條經過原點的直線，當％>o時，該直線經過第一、三象限，且y的

值隨尤的值增大而增大；當上<0時，該直線經過第二、四象限，且了的值隨x的值增大而減

小.根據正比例函數(shù)的性質進行解答即可.

【詳解】解：函數(shù)了=h（左/0）的圖象經過第二、四象限，那么了的值隨x的值增大而減小，

故答案為：減小.

10.4

【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程??+瓜+。=0（.豐0）,

若A=62-4ac>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若A=6。-4ac=0,則方程有兩個相等

答案第3頁，共17頁

的實數(shù)根，若A=/-4ac<0,則方程沒有實數(shù)根，據此求解即可.

【詳解】解：\?關于x的方程尤2-4x+加=0有兩個實數(shù)根，

AA=(-4)2-4m=0,

???加=4,

故答案為：4.

H.A

10

【分析】用抽到的數(shù)是3的倍數(shù)的結果數(shù)除以所有等可能結果數(shù)即可.

【詳解】解：\?任意抽取一個數(shù)字共有10種等可能結果，其中抽到的數(shù)是3的倍數(shù)的有3、

6、9這3種結果，

.3

抽到的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是正，

一,3

故答案為：—.

【點睛】此題考查了概率公式，熟記事件/的概率公式：尸(/)=事件/可能出現(xiàn)的結果數(shù)

士所有可能出現(xiàn)的結果數(shù).

12.y=(x+3)~

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移問題，根據“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律

求解即可.

【詳解】解：將拋物線>=/向左平移3個單位，那么所得新拋物線的表達式是y=(x+3『，

故答案為：y=(x+3)2.

13.3570

【分析】本題主要考查了用樣本估計總體，用8400乘以樣本中會游泳的人數(shù)占比即可得到

答案.

【詳解】解：8400x蕓=3570人，

400

???估計該區(qū)會游泳的六年級學生人數(shù)約為3570人，

故答案為：3570.

14.7

【分析】由題意易得則有去AC=能AF，然后問題可求解.

BDBE

答案第4頁，共17頁

【詳解】解：???，C〃皿

???AACESABDE,

.ACAE

??茄一康’

,.?43=1.6米，BZ)=1米，8￡=0.2米，

.AC1.6-0.2

??一，

10.2

解得/C=7米，

故答案為7.

【點睛】本題主要考查相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題

的關鍵.

15.2q+g.

【分析】利用平行四邊形的性質，三角形法則求解即可.

【詳解】解：,??四邊形45C。是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC,AB=CD,AB//CD,

?**AD=BC=a，

，-"CD=CA+AD=b+a>

BA=CD=b+a，

""BD=BA+^D，

BD=b+a+a=2a+b-

故答案為：2a+b-

【點睛】本題考查平行四邊形的性質，三角形法則等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識,

屬于中考?？碱}型.

16.350.

【分析】當8WW20時，設5=虹+匕將(8,960)、(20,1800)代入求得s=70t+400,求出t=15

時s的值，從而得出答案.

【詳解】解：當8至20時，設$=卜+15,

將(8,960)、(20,1800)代入,得：

j8k+b=960

|20k+b=1800,

答案第5頁，共17頁

k=70

解得：|b=400,

5=70^+400；

當？=15時，5=1450,

1800-1450=350,

,當小明從家出發(fā)去學校步行15分鐘時，到學校還需步行350米.

故答案為：350.

【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是理解題意，從實際問題中抽象出一次

函數(shù)的模型，并熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.

17.38

【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，折疊的性質，解直角三角形等等，過點

￡作于",，證明△48。是等邊三角形，進而求得44。。=120。，再由折疊得到

/ADE=ZADC=120°,進而求出NE/OE=60。，最后在RtzJffiD中使用三角函數(shù)即可求出

HE的長.

【詳解】解：如圖所示，過點E作EH工BD于H,

VBC=14,CD=6,

:.BD=BC-CD=8,

'：AB=BD=8,ZB=60°,

二△48。是等邊三角形，

408=60。，

：.ZADC=120°,

由折疊的性質可得。E=CD=6,ZADE=ZADC=120°,

：.ZHDE=60°,

?*.EH=DE-sinZHDE=3y/3,

點E到直線BD的距離為，

故答案為：3vL

答案第6頁，共17頁

A

【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，矩形的性質，相似三角形的判定與性質，勾股定

理，正確作出圖形是解題的關鍵.根據勾股定理得到/c=10,如圖1,設。。與邊相切

于點E,連接OE,如圖2,設。。與3C邊相切于尸，連接。尸，根據三角形相似的性質，

分別求出兩種情況下的AO的長，即可得到答案.

【詳解】解：在矩形/BCD中，/3=12,8。=16,

.-.AC=^AB2+BC2=20-￡)0=90。，CD=AB=n,

如圖1,設OO與AD邊相切于點E,連接OE,

圖1

I.ZAEO==90。，，

J.OE//CD,

:."OEs"CD,

OEAO4AO

/.——=——,即nn——=——，

CDAC1220

,八20

AO——；

3

如圖2,設。。與5c邊相切于尸，連接。尸，

答案第7頁，共17頁

圖2

同理可證明KOFSKAB,

OCOFOC4

——二——，n即n——二—，

ACAB2012

/.OC=—,

3

，八

/.A.0——40；

3

綜上所述，如果。。與矩形/BCD的邊沒有一個公共點，那么2與0</。<一40.

33

遼田山江2040

故答案為：—<AO<—.

33

19.0

【分析】本題主要考查了分母有理化，實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)累和分數(shù)指數(shù)累，先計算分

數(shù)指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)幕和分母有理化，再去絕對值，最后計算加減法即可.

，1

【詳解】解:643+

—_9+3-

4+(V5-2)(^+2)

V5+2

=4+-9+3-V5

5-4

=4+75+2-9+3-6

=0.

20.—1<x?3

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據“同大取

大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可.

2x+l八①

【詳解】解：尤+5

解不等式①得x>-l,

答案第8頁，共17頁

解不等式②得x43,

不等式組的解集為-1<XV3.

21.(1)156

⑵E

【分析】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質與判定，勾股定理，矩形的性質

與判定：

(1)過C作?！旯ぁ?于E,得出四邊形/DCE為矩形，得到=AE=CD=6,再

根據勾股定理得出CE,進而可求梯形/BCD的面積；

(2)過C作于77,由相似三角形性質可知要=g,再根據勾股定理得到8。，

ADBD

BH,進而求解即可.

【詳解】(1)解：過。作CE145于E,

：.ZADC=90°,

：.ZA=ZADC=ZAEC=90°,

；?四邊形/OCE是矩形，

AD=CE,AE=CD=IO,

：.BE=AB-AE=6,

BC=645,

**-CE=-JBC2-BE2=12，

梯形/BCD的面積g=j(10+16)xl2=156；

(2)解：過C作CH_La)于”，

答案第9頁，共17頁

DC

22.任務一：5.5；任務二：14.7m；任務三：答案不唯一：沒有太陽光，旗桿底部不可到

達，測量旗桿影子的長度遇到困難等.

【分析】任務一：兩數(shù)之和除以2,即可作答；

任務二：設EG=xm,解直角三角形即可得到結論；

任務三：根據題意得到沒有太陽光，或旗桿底部不可能達到相等(答案不唯一).

【詳解】任務一：平均值：(5.4+5.6)+2=5.5m,

故答案為：5.5；

任務二：由題意可得，四邊形NCD3,四邊形都是矩形,

：.EH=AC=1.5,CD=AB=5.5,

設EG=xm,

在RtVDEG中，NDEG=90°,/GDE=31°,

?：tan31。嚏,

答案第10頁，共17頁

在RtZXCEG中，ZCEG=90°,/GCE=25.7°,

…嚕

X

tan25.7°

,：CD=CE-DE,

tan25.7°tan31°

x=13.2,

：.GH=GE+EH=13.2+1.5=14.7(m),

答：旗桿GH的高度為14.7m.

任務三：答案不唯一：沒有太陽光，旗桿底部不可到達，測量旗桿影子的長度遇到困難等.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳

角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

23.（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【分析】（1）先證明△CD廠名△C3E,進而得到再由菱形對邊CD//38,得

到/，=NOCF,進而/BCE=NH即可求解.

RFAp1RF4G

⑵由5—得至喘=商，再利用W平行線分線段成比例定理得到商R

再結合已知條件即可求解.

【詳解】解：（1）；四邊形是菱形,

：.CD=CB,ZD=ZB,CD!IAB.

*：DF=BE,

：./\CDF^ACBE(SAS),

：.ZDCF=ZBCE.

*：CD//BH,

ZH=ZDCF9

：.ZBCE=ZH,且N5=N5,

???ABECsABCH.

(2)?：BE2=AB?AE,

,BE_AE

??方一商’

■:AGHBC,

答案第11頁，共17頁

AEAG

BEBC

BEAG

ABBC

,:DF=BE,BC=AB,

：.BE=AG=DF,

即AG=DF.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，平行線分線段成比

例定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

24.⑴拋物線的解析式為y=-/+2x+3

(3)拋物線了="2+云+(?的頂點。位于小。7內，a的取值范圍是-g<a<0

【分析】(1)已知拋物線與x軸的兩交點，設其交點式為V=a(x-3)(x+l)且再代入

C點坐標求得.即可；

(2)如圖1,設尸8交y軸于點￡,由點3、C坐標可得ASOC為等腰直角三角形，再由

ZACB=/PBC可得NOQ4=/PBO,利用tan/O。=tan/PB?？傻谩甑淖鴺?，然后由人

￡兩點坐標可得直線解析式，再與二次函數(shù)解析式聯(lián)立即可求得交點坐標；

(3)由二次函數(shù)與x軸兩交點可得其對稱軸為x=l,利用其交點式>=a(x-3)(x+l)且

可得頂點坐標為由點2、C坐標求得直線3C解析式令x=l可得拋物線頂點縱坐標

的最大值，若頂點。位于ASOC內，則頂點縱坐標要大于0,解不等式即可求得。的取值范

圍；

【詳解】(1)解：設拋物線的解析式為7=a(x-3)(x+l)且.40,

將點C的坐標(0,3)代入得：-3a=3,

解得：a=-1,

二拋物線的解析式為y=-(x-3)(x+l)=-/+2X+3；

(2)解：如圖1,設PB交y軸于點E,

答案第12頁，共17頁

圖1

V5（3,0）,C（0,3）,

OB=OC=3,

405=90。，

???NOCB=/OBC=45。,

又「ZACB=ZPBC,

AZACB-ZOCB=ZPBC-ZOBC,BPZOCA=ZPBO.

tanAOCA=tanZ.PBO,即,

OCOB

.1_OE

??—―j

33

OE=1,

?.?點P在第三象限，

.,.￡（0,-1）,

設直線PB的解析式為：y=H+6且后片0,

/\/\[b=—\

把磯0,-1和33,0代入得:

[3K4-Z7=0

b=-l

解得：Li,

k=—

I3

???直線尸8的解析式為：N=3T，

當直線尸8和二次函數(shù)相交時：$-l=-f+2x+3,

4

解得:再=3,x2=--,

答案第13頁，共17頁

代入一次函數(shù)可得交點坐標為P(3,0)或尸-葭■),

二?點P在第三象限，

???*弋/

(3)解：二?拋物線y=爾+bX+c經過4、5兩點，

對稱軸是：直線x=*^=l,

2

由8(3,0)、C(0,3),可得直線BC的解析式為：y=f+3,

可知當尤=1時，y=2,

設拋物線的解析式為V=a(x-3)(x+l)且

令x=1可得其頂點坐標為(l,-4a),

當頂點坐標剛好在直線8C上時可得：-4。=2,貝!]“=-；,

由圖可知當拋物線的頂點。位于ABOC內時，其頂點縱坐標取值范圍：0<-4a<2,

----<(7<0;

2

【點