高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 理

坐標(biāo)系與參數(shù)方程eqA組(供高考題型為填空題的省份使用)1．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)C(－3，－eq\r(3))，若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，則點(diǎn)C的極坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可寫(xiě)為_(kāi)_______．解析依題意知，ρ＝2eq\r(3)，θ＝－eq\f(5π,6).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，－\f(5π,6)))2．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝sinα，,y＝cosα＋1))(α為參數(shù))，若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，則曲線C的極坐標(biāo)方程可寫(xiě)為_(kāi)_______．解析依題意知，曲線C：x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，所以(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρsinθ＝0.化簡(jiǎn)得ρ＝2sinθ.答案ρ＝2sinθ3．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(π,6)))到直線l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距離是________．解析依題意知，點(diǎn)P(eq\r(3)，－1)，直線l為：x－eq\r(3)y＋2＝0，則點(diǎn)P到直線l的距離為eq\r(3)＋1.答案eq\r(3)＋14．在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A，B的極坐標(biāo)分別為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))，則△AOB(其中O為極點(diǎn))的面積為_(kāi)_______．解析由題意得S△AOB＝eq\f(1,2)×3×4×sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)×3×4×sineq\f(π,6)＝3.答案35．極坐標(biāo)方程ρ＝cosθ和參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))(t為參數(shù))所表示的圖形分別是________．解析由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋y2＝eq\f(1,4)，∴所表示的圖形為圓．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1－t，,y＝2＋3t))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝－t，,y－2＝3t，))消t得3x＋y＋1＝0，∴所表示的圖形為直線．答案圓，直線6．已知兩曲線參數(shù)方程分別為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(5)cosθ，,y＝sinθ))(0≤θ<π)和eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,4)t2，,y＝t))(t∈R)，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析消去參數(shù)θ得曲線方程為eq\f(x2,5)＋y2＝1(0≤y≤1)，表示橢圓的一部分．消去參數(shù)t得曲線方程為y2＝eq\f(4,5)x，表示拋物線，可得兩曲線有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立兩方程，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(5),5)))7．直線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù))與圓eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋2cosφ，,y＝2sinφ))(φ為參數(shù))相切，則此直線的傾斜角α＝________________.解析直線y＝xtanα，圓：(x－4)2＋y2＝4，如圖，sinα＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，∴α＝eq\f(π,6)或eq\f(5π,6).答案eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)8．若曲線的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則該曲線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)_______．解析將ρ＝2sinθ＋4cosθ兩邊同乘以ρ得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴曲線的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.答案x2＋y2－4x－2y＝09．已知拋物線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8t2，,y＝8t))(t為參數(shù))．若斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與圓(x－4)2＋y2＝r2(r>0)相切，則r＝________.解析消去參數(shù)t得拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x，其焦點(diǎn)為(2,0)，所以過(guò)點(diǎn)(2,0)且斜率為1的直線方程為x－y－2＝0，由題意得r＝eq\f(|4－2|,\r(2))＝eq\r(2).答案eq\r(2)10．在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲線ρ＝2sinθ與ρcosθ＝－1交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析∵ρ＝2sinθ，∴x2＋y2＝2y.∵ρcosθ＝－1，∴x＝－1，∴兩曲線交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－1,1)，∴交點(diǎn)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3π,4)))11．已知圓C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ＝1，則直線l與圓C交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)___________．解析圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－1)2＝1，直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝1.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y－12＝1，,y＝1))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1.))∴l(xiāng)與⊙C的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(－1,1)，(1,1)．答案(－1,1)，(1,1)12．在極坐標(biāo)系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1與ρ(sinθ－cosθ)＝1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi)_______．解析曲線ρ(cosθ＋sinθ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化為直角坐標(biāo)方程為y－x＝1.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,y－x＝1))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))則交點(diǎn)為(0,1)，對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))13．以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位．已知直線的極坐標(biāo)方程為θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)，它與曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα))(α為參數(shù))相交于兩點(diǎn)A和B，則|AB|＝________.解析極坐標(biāo)方程θ＝eq\f(π,4)(ρ∈R)對(duì)應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系中方程為y＝x，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋2cosα，,y＝2＋2sinα))(α為參數(shù))?(x－1)2＋(y－2)2＝4，圓心(1,2)，r＝2.圓心到直線y＝x的距離d＝eq\f(|1－2|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－\f(1,2))＝eq\r(14).答案eq\r(14)14．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直線ρsinθ＝2的距離等于________．解析極坐標(biāo)系中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為(eq\r(3)，1)，極坐標(biāo)系直線ρsinθ＝2對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)系中直線方程為y＝2，∴點(diǎn)到直線y＝2的距離為d＝1.答案115．圓心為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，半徑為3的圓的極坐標(biāo)方程為_(kāi)_______．解析如圖，設(shè)圓上任一點(diǎn)為P(ρ，θ)，則|OP|＝ρ，∠POA＝θ－eq\f(π,6)，|OA|＝2×3＝6，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|×cos∠POA，∴ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).∴圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6))).答案ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))B組(供高考題型為解答題的省份使用)1．在極坐標(biāo)系中，已知圓C的圓心坐標(biāo)為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，半徑R＝eq\r(5)，求圓C的極坐標(biāo)方程．解將圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))化成直角坐標(biāo)為(1，eq\r(3))，半徑R＝eq\r(5)，故圓C的方程為(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝5.再將C化成極坐標(biāo)方程，得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－eq\r(3))2＝5，化簡(jiǎn)得ρ2－4ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))－1＝0.此即為所求的圓C的極坐標(biāo)方程．2．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ.以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t＋1，,y＝\f(\r(2),2)t，))求直線l與曲線C相交所成的弦的弦長(zhǎng)．解曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ＝4cosθ化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)t＋1，,y＝\f(\r(2),2)t，))化為普通方程為x－y－1＝0，曲線C的圓心(2,0)到直線l的距離為eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，所以直線l與曲線C相交所成的弦的弦長(zhǎng)為2eq\r(4－\f(1,2))＝eq\r(14).3．(·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知曲線C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，直線l：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋t，,y＝2－2t))(t為參數(shù))．(1)寫(xiě)出曲線C的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過(guò)曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．解(1)曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝3sinθ))(θ為參數(shù))．直線l的普通方程為2x＋y－6＝0.(2)曲線C上任意一點(diǎn)P(2cosθ，3sinθ)到l的距離為d＝eq\f(\r(5),5)|4cosθ＋3sinθ－6|.則|PA|＝eq\f(d,sin30°)＝eq\f(2\r(5),5)|5sin(θ＋α)－6|，其中α為銳角，且tanα＝eq\f(4,3).當(dāng)sin(θ＋α)＝－1時(shí)，|PA|取得最大值，最大值為eq\f(22\r(5),5).當(dāng)sin(θ＋α)＝1時(shí)，|PA|取得最小值，最小值為eq\f(2\r(5),5).4．已知曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint，))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ.(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；(2)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ≥0,0≤θ<2π)．解(1)∵C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4＋5cost，,y＝5＋5sint，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5cost＝x－4，,5sint＝y(tǒng)－5，))∴(x－4)2＋(y－5)2＝25(cos2t＋sin2t)＝25，即C1的直角坐標(biāo)方程為(x－4)2＋(y－5)2＝25，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入(x－4)2＋(y－5)2＝25，化簡(jiǎn)得：ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y，解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－42＋y－52＝25，,x2＋y2＝2y，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))∴C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1)，(0,2)．∴C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2))).5．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝4sinθ，ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2eq\r(2).(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)．已知直線PQ的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t3＋a，,y＝\f(b,2)t3＋1))(t∈R為參數(shù))，求a，b的值．解(1)圓C1的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－2)2＝4，直線C2的直角坐標(biāo)方程為x＋y－4＝0.解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y－22＝4，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝2.))所以C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))，注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一．(2)由(1)可得，P點(diǎn)與Q點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,2)，(1,3)．故直線PQ的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2＝0，由參數(shù)方程可得y＝eq\f(b,2)x－eq\f(ab,2)＋1，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＝1，,－\f(ab,2)＋1＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝2.))6．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))．在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝2eq\r(5)sinθ.(1)求圓C的直角坐