教師資格認(rèn)定考試初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題2020年下半年

教師資格認(rèn)定考試初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)真題2020年下半年一、單項(xiàng)選擇題1.

極限的值為_(kāi)_____。

A．

B．

C．∞

D．不存在正確答案：A[解析]故本題選A。

2.

若α為向量m=(2，2，1)和n=(-1，2，2)的夾角，則cosα=______。

A．

B．

C．

D．正確答案：B[解析]利用向量?jī)?nèi)積的定義，故本題選B。

3.

設(shè)，x∈(0，1]，則下列說(shuō)法不正確的是______。A.f(x)在(0，1]上連續(xù)B.f(x)在(0，1]上一致連續(xù)C.f(x)在(0，1]上可導(dǎo)D.f(x)在(0，1]上單調(diào)遞減正確答案：B[解析]因?yàn)楹瘮?shù)是初等函數(shù)，且在(0，1]上有定義，所以f(x)在(0，1]上連續(xù)、可導(dǎo)。此外，由于在(0，1]上恒成立，所以f(x)在(0，1]上(嚴(yán)格)單調(diào)遞減，因此，A，C，D三項(xiàng)說(shuō)法正確。對(duì)于B項(xiàng)，取ε0=1，令，則，且，所以函數(shù)在(0，1]上不一致連續(xù)。故本題選B。

4.

空間曲面x2-4y2+z2=25被平面x=-3截得的曲線是______。A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓正確答案：B[解析]將x=-3代入曲面方程x2-4y2+z2=25得，，這是一個(gè)雙曲線。故本題選B。

5.

甲、乙兩位棋手通過(guò)五局三勝制比賽爭(zhēng)奪1000元獎(jiǎng)金，前三局比賽結(jié)果為甲勝兩局負(fù)一局，現(xiàn)因故停止比賽。設(shè)在每局比賽中，甲、乙獲勝的概率都是，如果按照甲、乙最終獲勝的概率大小分配獎(jiǎng)金，甲應(yīng)得獎(jiǎng)金______元。A.250B.500C.666D.750正確答案：D[解析]由題意，在每局比賽中，甲、乙獲勝的概率都是，且前三局比賽結(jié)果為甲勝兩局負(fù)一局，所以若乙最終贏得比賽，則第四局與第五局都是乙獲勝，其概率為，從而甲最終贏得比賽的概率為。因此甲應(yīng)得獎(jiǎng)金。故本題選D。

6.

已知球面方程為x2+y2+z2=1，在z軸上取一點(diǎn)P作球面的切線，與球面相切于點(diǎn)M，線段PM長(zhǎng)為，則在點(diǎn)P的坐標(biāo)(0，0，z)中，|z|的值為_(kāi)_____。

A．

B．2

C．3

D．4正確答案：C[解析]連接坐標(biāo)原點(diǎn)O與點(diǎn)M。由于PM與球面相切于點(diǎn)M，所以△OPM是直角三角形，于是，又由球面方程知，球面半徑為1，所以O(shè)M=1，再結(jié)合題中條件，OP=|z|，得。故本題選C。

7.

數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)卷的編制步驟一般為_(kāi)_____。A.制訂命題原則→明確測(cè)驗(yàn)?zāi)康摹帞M雙向細(xì)目表→精選試題B.明確測(cè)驗(yàn)?zāi)康摹朴喢}原則→精選試題→編擬雙向細(xì)目表C.明確測(cè)驗(yàn)?zāi)康摹帞M雙向細(xì)目表→精選試題→制訂命題原則D.明確測(cè)驗(yàn)?zāi)康摹朴喢}原則→編擬雙向細(xì)目表→精選試題正確答案：D[解析]數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)卷的編制步驟一般為明確測(cè)驗(yàn)?zāi)康?、制訂命題原則、編擬雙向細(xì)目表、精選試題。其中，雙向細(xì)目表是測(cè)驗(yàn)卷考查目標(biāo)或能力與內(nèi)容之間的列聯(lián)表，由考查能力或素養(yǎng)維度和內(nèi)容維度構(gòu)成，它能夠幫助測(cè)驗(yàn)卷編制者決定考查哪些內(nèi)容以及各類(lèi)題型應(yīng)占的比例。故本題選D。

8.

解二元一次方程組用到的數(shù)學(xué)方法主要是______。A.降次B.放縮C.消元D.歸納正確答案：C[解析]解二元一次方程組主要是利用消元法消去其中一個(gè)未知數(shù)，把二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程，從而先求出一個(gè)未知數(shù)，然后再求出另一個(gè)未知數(shù)。故本題選C。

二、簡(jiǎn)答題(每小題7分，共35分)1.

求行列式正確答案：

2.

設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，證明：正確答案：證：令x=a+b-t，則有，得

設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，已知η1，η2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同解，其中3.

用η1，η2構(gòu)造Ax=0的一個(gè)解，并寫(xiě)出Ax=0的通解；正確答案：已知η1，η2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同解，所以Aη1=b，Aη2=b，兩式相減得，A(η1-η2)=0，即得Ax=0的一個(gè)非零解(η1-η2)。

因?yàn)榫仃嘇是3×4矩陣，且r(A)=3，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系的解的個(gè)數(shù)為4-r(A)=1，又(η1-η2)是Ax=0的一個(gè)非零解，所以Ax=0的通解為k(η1-η2)，k為任意常數(shù)。

4.

求Ax=b的通解。正確答案：由第一小題知，非齊次線性方程組Ax=b的導(dǎo)出組Ax=0的通解為k(η1-η2)，結(jié)合η1是Ax=b的一個(gè)特解得，Ax=b的通解為k(η1-η2)+η1，k為任意常數(shù)。

5.

簡(jiǎn)述進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)的基本流程。正確答案：進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計(jì)的基本流程如下。

①學(xué)情分析。在教學(xué)開(kāi)始前，分析該階段學(xué)生的身心特點(diǎn)、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，以及學(xué)生學(xué)習(xí)該單元內(nèi)容的認(rèn)知起點(diǎn)、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)障礙、學(xué)習(xí)難度等。

②單元結(jié)構(gòu)構(gòu)建。單元結(jié)構(gòu)構(gòu)建首先要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行整體分析，要關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的整體性，在理解內(nèi)容的基礎(chǔ)上，繪制出單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖，并根據(jù)內(nèi)容及其重要性，對(duì)教學(xué)形式和課時(shí)進(jìn)行合理的安排。

③單元教學(xué)目標(biāo)制定。結(jié)合單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)圖，依據(jù)新課程教育教學(xué)理念、以及學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，從知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀三方面制定教學(xué)目標(biāo)，注意將三維教學(xué)目標(biāo)有機(jī)地聯(lián)系在一起。

④教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)。教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)要兼顧“本課內(nèi)容”的教學(xué)和“單元內(nèi)容”的貫通，構(gòu)建一條圍繞核心內(nèi)容展開(kāi)教學(xué)活動(dòng)的主線，教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)要突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)，內(nèi)容安排合理，體現(xiàn)出創(chuàng)新性和可操作性。

⑤教學(xué)反思與評(píng)價(jià)。在單元教學(xué)結(jié)束后，教師重點(diǎn)總結(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)的特色和亮點(diǎn)，反思教學(xué)實(shí)施過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，進(jìn)行自我評(píng)價(jià)。

6.

簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)運(yùn)算的基本內(nèi)涵。正確答案：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)。主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等。

通過(guò)初中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體驗(yàn)從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)符號(hào)的過(guò)程，理解有理數(shù)、實(shí)數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)；掌握必要的運(yùn)算(包括估算)技能，能有效借助數(shù)學(xué)運(yùn)算方法解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

三、解答題(本大題共10分)已知一束光線在空氣中從點(diǎn)A到達(dá)水面上的點(diǎn)P，然后折射到水下的點(diǎn)B(如圖所示)，設(shè)光在空氣中的速度為c，在水中的速度為c'，光線在點(diǎn)P的入射角為θ，折射角為θ'。

1.

若OP長(zhǎng)為x0，請(qǐng)寫(xiě)出光線從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B所需時(shí)間T(x0)的表達(dá)式；正確答案：解：若OP=x0，則光線從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的時(shí)間為；光線從點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B的時(shí)間為從而光線從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B所需的時(shí)間為

2.

若T(x0)為光線從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B時(shí)間的極小值，證明：正確答案：解：在水面上取一點(diǎn)P'，設(shè)OP'=x(0＜x＜l)，則光線從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P'的時(shí)間為；光線從點(diǎn)P'到達(dá)點(diǎn)B的時(shí)間為，從而光線沿A-P'-B從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)所需的時(shí)間為

由于T(x0)為光線從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B時(shí)間的極小值，所以由費(fèi)馬定理知，注意到，，所以即有

四、論述題(本大題共15分)1.

伴隨著大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)，數(shù)據(jù)分析已經(jīng)深入到現(xiàn)代社會(huì)生活的各個(gè)方面，結(jié)合實(shí)例，闡述在中學(xué)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的意義。正確答案：數(shù)據(jù)分析是指針對(duì)研究對(duì)象獲取數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、分析和推斷，形成關(guān)于研究對(duì)象知識(shí)的素養(yǎng)。

①培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，能使其形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力。在數(shù)據(jù)分析過(guò)程中，滲透分類(lèi)思想、歸納思想、類(lèi)比思想和統(tǒng)計(jì)思想等數(shù)學(xué)思想方法，能促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展。

②培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，能使其提升數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用能力。數(shù)據(jù)分析涉及生活各個(gè)方面，學(xué)生在獲取有價(jià)值信息并進(jìn)行定量分析時(shí)，能增強(qiáng)基于數(shù)據(jù)表達(dá)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)，形成通過(guò)數(shù)據(jù)認(rèn)識(shí)事物的思維品質(zhì)，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

③培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，使其掌握必要的知識(shí)技能，是時(shí)代發(fā)展的要求。數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，是大數(shù)據(jù)時(shí)代數(shù)學(xué)應(yīng)用的主要方法，也是“互聯(lián)網(wǎng)+”相關(guān)領(lǐng)域的主要數(shù)學(xué)方法。從學(xué)生時(shí)代培養(yǎng)起來(lái)的數(shù)據(jù)分析能力對(duì)學(xué)生今后的學(xué)習(xí)和發(fā)展有著重要的意義。

五、案例分析題(本大題共20分)閱讀案例，并回答問(wèn)題。

案例：“三角形中位線定理”是八年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容，下面是兩位教師的教學(xué)片段：

(一)教師甲

在講授中位線定理這一內(nèi)容時(shí)，利用“數(shù)學(xué)軟件A”作了兩次測(cè)量，一次是驗(yàn)證三角形中位線定理，另一次是驗(yàn)證順次連接四邊形的中點(diǎn)所圍成的圖形為平行四邊形。教師甲發(fā)現(xiàn)，當(dāng)他讓學(xué)生動(dòng)手測(cè)量的時(shí)候，有一部分學(xué)生懶散地坐著，沒(méi)有剛開(kāi)始接觸該軟件時(shí)那樣積極，課后教師向幾位同學(xué)詢問(wèn)情況，有學(xué)生說(shuō)這兩道題書(shū)上都有結(jié)論，早就看過(guò)了，再去測(cè)量是不是有點(diǎn)兒傻?

(二)教師乙

教師首先讓學(xué)生探究問(wèn)題，如圖1，五邊形ABCDE中，點(diǎn)F，G，H，I分別是AB，BC，CD，DE的中點(diǎn)，J，K分別是FH，GI的中點(diǎn)，AE與JK有什么關(guān)系?

學(xué)生們馬上打開(kāi)“數(shù)學(xué)軟件A”進(jìn)行測(cè)量，很快發(fā)現(xiàn)AE=4JK，能不能證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論呢?學(xué)生們沒(méi)有一點(diǎn)頭緒。

教師提示說(shuō)當(dāng)遇到問(wèn)題解決不了的時(shí)候，我們是不是進(jìn)一步先解決容易的問(wèn)題?教師引導(dǎo)學(xué)生去研究三角形中位線定理和順次連接四邊形中點(diǎn)所圍成的圖形是平行四邊形兩個(gè)問(wèn)題，經(jīng)過(guò)師生的共同研究，取AD的中點(diǎn)L后，學(xué)生不僅驗(yàn)證了AE=4JK，而且高興地發(fā)現(xiàn)AE和JK還存在平行關(guān)系，如圖2。

圖1

圖2

問(wèn)題：1.

請(qǐng)分別對(duì)教師甲和乙的教學(xué)進(jìn)行評(píng)價(jià)；正確答案：教師甲在講授中位線定理內(nèi)容時(shí)，沒(méi)有遵循學(xué)生由易到難的認(rèn)知順序，缺乏自主探究過(guò)程，直接利用“數(shù)學(xué)軟件A”來(lái)驗(yàn)證結(jié)論不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，違背了以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的教學(xué)原則，不利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，作為學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、合作者、引導(dǎo)者，教師甲有很多不足之處。

教師乙借助一個(gè)比較困難的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)“數(shù)學(xué)軟件A”發(fā)現(xiàn)結(jié)論，并思考如何證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化來(lái)逐步解決問(wèn)題。教師乙的教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程，這不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，也可以激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

2.

請(qǐng)畫(huà)出適用于本節(jié)課教學(xué)的“三角形中位線定理”證明的示意圖(圖中輔助線用虛線表示)；正確答案：如圖1，已知△ABC中，D，E分別是AB，AC兩邊的中點(diǎn)。求證：DE平行于BC且等于。

圖1

圖2

證明示意圖：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作AB的平行線交DE的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)。

證明過(guò)程：因?yàn)镃F∥AD，所以∠A=∠ACF，進(jìn)而由可得，AD=CF。又因?yàn)镈是AB的中點(diǎn)，所以AD=BD=CF，于是有，因此四邊形BCFD是平行四邊形，進(jìn)而可得DF∥BC且DF=BC，，即證得三角形中位線定理成立。

3.

結(jié)合本案例，請(qǐng)談?wù)勑畔⒓夹g(shù)在數(shù)學(xué)中的作用。正確答案：信息技術(shù)在數(shù)學(xué)的教學(xué)和學(xué)習(xí)中起到重要的輔助作用。

①利用信息技術(shù)展示知識(shí)的形成過(guò)程，將抽象的知識(shí)形象化。在三角形中位線定理的教學(xué)過(guò)程中，教師可以利用軟件呈現(xiàn)圖形及圖形的變化，讓學(xué)生更直觀地理解三角形中位線定理的內(nèi)涵。

②利用信息技術(shù)探究、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。本案例中，通過(guò)“數(shù)學(xué)軟件A”開(kāi)展探究活動(dòng)，測(cè)量并發(fā)現(xiàn)結(jié)論，進(jìn)而添加輔助線證明結(jié)論。

③利用信息技術(shù)可以把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由課內(nèi)延伸到課外，開(kāi)闊知識(shí)視野，培養(yǎng)自主探究知識(shí)的能力，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

六、教學(xué)設(shè)計(jì)題(本大題共30分)針對(duì)“分式的基本性質(zhì)”一課完成下列教學(xué)設(shè)計(jì)。1.

寫(xiě)出教學(xué)重點(diǎn)；正確答案：教學(xué)重點(diǎn)：理解分式基本性質(zhì)，掌握分式的分子和分母都乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變的算理，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用分式的基本性質(zhì)。

2.

設(shè)計(jì)新課程(性質(zhì)、約分)導(dǎo)入和探索過(guò)程；正確答案：導(dǎo)入環(huán)節(jié)

回顧分式的概念、分式有意義的條件——分式的分母不能為0，以及約分的過(guò)程。

我們知道分?jǐn)?shù)的分母不能為0，而分式的分母也不為0，那分式的性質(zhì)是不是可以類(lèi)比分?jǐn)?shù)的性質(zhì)呢?大家可以對(duì)進(jìn)行約分嗎?引出課題。

探索環(huán)節(jié)

創(chuàng)設(shè)一列火車(chē)勻速行駛的情境，th行駛skm，2th行駛2skm，3t行駛3skm，…，nth行駛nskm。教師提問(wèn)：火車(chē)行駛的速度可以如何表示?

預(yù)設(shè)學(xué)生表示的方式多樣

教師通過(guò)提問(wèn)在行駛過(guò)程中變化及不變的量，引導(dǎo)學(xué)生想到時(shí)間、路程在變，行駛的速度不變。

從而根據(jù)“速度不變”得出

組織學(xué)生觀察等式，思考分式的分子和分母是如何變化的。

學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)分式的分子和分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小了相同的倍數(shù)。

結(jié)合學(xué)生的回答，教師規(guī)范總結(jié)分式的基本性質(zhì)：分式的分子和分母都乘(或除以)同一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變，并用字母表示

教師提問(wèn)：應(yīng)用分式的基本性質(zhì)時(shí)需要注意什么?

學(xué)生獨(dú)立思