4.3組合（第1課時）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

4.3

組合第1課時組合與組合數(shù)第4章計數(shù)原理湘教版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊課標(biāo)要求1.理解組合與組合數(shù)的概念,正確認(rèn)識組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系;2.會推導(dǎo)組合數(shù)公式,并會應(yīng)用公式進(jìn)行計算;3.理解組合數(shù)的性質(zhì),并能應(yīng)用性質(zhì)求值、化簡和證明.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識一遍過知識點(diǎn)1組合的概念一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,

地構(gòu)成一組,叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

不論次序

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同.(

)(2)組合概念中的“從n個不同元素中取出m個不同元素”,即從n個不同的元素中進(jìn)行m次不放回地取出.(

)2.一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的排列與組合的區(qū)別是什么?√√提示排列要求取出的元素要有順序的排成一組,而組合只要求取出后構(gòu)成一組即可,不要求順序.知識點(diǎn)2組合數(shù)與組合數(shù)公式組合數(shù)定義及表示從n個不同元素中取出m(m≤n)個不同的元素,___________

叫作從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號

表示

組合數(shù)公式乘積形式

(n,m∈N+,m≤n)階乘形式

(n,m∈N+,m≤n)性質(zhì)

(n,m∈N+,m≤n)備注規(guī)定

=

所有不同組合的個數(shù)

1名師點(diǎn)睛

過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)從5個不同元素中取出3個不同元素的組合數(shù)與從5個不同元素中取出2個不同元素的組合數(shù)相同.(

)(2)從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名組成一組,有3種不同的選法.(

)2.如何理解組合與組合數(shù)這兩個概念?√√提示同“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念一樣,“組合”與“組合數(shù)”也是兩個不同的概念,“組合”是指“從n個不同元素中取m(m≤n)個元素合成一組”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事;“組合數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)”,它是一個數(shù).例如,從3個不同元素a,b,c中取出兩個元素的組合為ab,ac,bc,其中每一種都叫一個組合,這些組合共有3個,則組合數(shù)為3.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一組合概念的理解【例1】判斷下列問題是排列問題還是組合問題,并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù).(1)10個人相互寫一封信,一共寫了多少封信?(2)10個人相互通一次電話,一共通了多少次電話?(3)從10個人中選3人去開會,有多少種選法?(4)從10個人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表,有多少種選法?解

(1)是排列問題,因?yàn)榘l(fā)信人與收信人是有順序區(qū)別的,排列數(shù)為

(2)是組合問題,因?yàn)榧着c乙通一次電話,也就是乙與甲通一次電話,沒有順序區(qū)別,組合數(shù)為

=45.(3)是組合問題,因?yàn)槿ラ_會的3個人之間沒有順序的區(qū)別,組合數(shù)為

=120.(4)是排列問題,因?yàn)?個人擔(dān)任哪一科的課代表是有區(qū)別的,排列數(shù)為

=720.規(guī)律方法

區(qū)分一個問題是排列問題還是組合問題,關(guān)鍵是看它有無“順序”,有順序就是排列問題,無順序就是組合問題.要判定它是否有順序的方法是:先將元素取出來,看交換元素的順序?qū)Y(jié)果有無影響,有影響就是“有序”,也就是排列問題;沒有影響就是“無序”,也就是組合問題.變式訓(xùn)練1(多選題)下列問題是組合問題的是(

)A.把當(dāng)日動物園的4張門票分給5個人,每人至多分一張,而且票必須分完的分配方法B.從2,3,5,7,11這5個質(zhì)數(shù)中,取2個數(shù)分別作為分子和分母構(gòu)成一個分?jǐn)?shù),能構(gòu)成不同的分?jǐn)?shù)的個數(shù)C.從9名學(xué)生中選出4名參加一個聯(lián)歡會的選法D.2024年元旦期間,某班10名同學(xué)互送賀年卡表示新年的祝福,送出賀年卡的張數(shù)AC解析

由于4張票是相同的(都是當(dāng)日動物園的門票),不同的分配方法取決于從5人中選擇哪4人,這和順序無關(guān),因此選項(xiàng)A是組合問題;由于選出的2個數(shù)作分子或分母,結(jié)果是不同的,因此選項(xiàng)B是排列問題;由于只考慮選出4名學(xué)生,不需要考慮排列他們的順序,因此選項(xiàng)C是組合問題;甲寫給乙賀年卡與乙寫給甲賀年卡是不同的,所以與順序有關(guān),因此選項(xiàng)D是排列問題.探究點(diǎn)二組合數(shù)公式分析

先考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)對原式進(jìn)行化簡,再利用組合數(shù)公式展開計算分析

式子中涉及字母,可以用階乘式證明.規(guī)律方法

關(guān)于組合數(shù)計算公式的選取

變式訓(xùn)練2探究點(diǎn)三組合問題的實(shí)際應(yīng)用【例3】在一次數(shù)學(xué)競賽中,某學(xué)校有12人通過了初試,學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn).在下列條件下,有多少種不同的選法?(1)任意選5人;(2)甲、乙、丙三人必須參加;(3)甲、乙、丙三人不能參加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加;(5)甲、乙、丙三人至少1人參加.分析

根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和分析.注意“至少”“至多”問題,運(yùn)用間接法求解會簡化思維過程.解

(1)任意選5人,則有

=792種不同的選法

(2)甲、乙、丙三人必須參加,只需從另外的9人中選2人,共有

=36種不同的選法.(3)甲、乙、丙三人不能參加,只需從另外的9人中選5人,共有

=126種不同的選法.變式探究若本例條件不變,甲、乙、丙三人至多有2人參加,有多少種不同的選法?解

(方法1

直接法)甲、乙、丙三人至多2人參加,可分為三類:規(guī)律方法

常見的含限制條件組合問題的解法(1)特殊元素:若要選取的元素中有特殊元素,則要以有無特殊元素,特殊元素的多少作為分類依據(jù).(2)含有“至多”“至少”等限制語句:要分清限制語句中所包含的情況,可以此作為分類依據(jù),或采用間接法求解.(3)分類討論思想:解題的過程中要善于利用分類討論思想,將復(fù)雜問題分類表達(dá),逐類求解.變式訓(xùn)練3某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名參加某項(xiàng)義診活動,其中這10名醫(yī)療專家中有4名是外科專家.問:(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是外科專家的抽調(diào)方法有多少種?(2)至少有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種?(3)至多有2名外科專家的抽調(diào)方法有多少種?本節(jié)要點(diǎn)歸納1.知識清單:(1)組合的概念;(2)組合數(shù)的計算方法;(3)組合數(shù)的性質(zhì).2.方法歸納:公式法求解與組合數(shù)有關(guān)的計算,直接法、間接法、分類討論法求解“在”與“不在”,“至少”與“至多”型組合問題.3.注意事項(xiàng):不能準(zhǔn)確計算組合數(shù),涉及含參數(shù)的組合數(shù)計算,不能準(zhǔn)確求出參數(shù)的取值范圍,“至少”與“至多”型組合問題,分類討論不全面.學(xué)以致用·隨堂檢測促達(dá)標(biāo)12345678910111213141516A級必備知識基礎(chǔ)練1.學(xué)校要求學(xué)生從物理、歷史、化學(xué)、生物、政治、地理這6科中選3科參加考試,規(guī)定先從物理和歷史中任選1科,然后從其他4科中任選2科,不同的選法種數(shù)為(

)A.5 B.12

C.20 D.120B解析

第一步,從物理和歷史中任選1科,有

=2種選法;第二步,從其他4科中任選2科,有

=6種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有2×6=12種選法.故選B.123456789101112131415162.某新農(nóng)村社區(qū)共包括n個自然村,且這些村莊分布零散,沒有任何三個村莊在一條直線上,現(xiàn)要在該社區(qū)內(nèi)建“村村通”工程,共需建公路的條數(shù)為28,則n=(

)A.6 B.8

C.9 D.10B解析

由于“村村通”公路的修建,是組合問題,故共需要建公路的條數(shù)為

123456789101112131415163.某中學(xué)招聘5位老師,其中安排2位老師去高一,安排2位老師去高二,安排1位老師去高三,則不同的安排方法有(

)A.30種

B.60種

C.90種

D.120種A解析

根據(jù)題意,不同的安排方法可以分三步完成:第一步,在5個老師中選出2人,安排去高一,有

=10種選法;第二步,在剩下3人中,選出2人,安排到高二,有

=3種選法;第三步,將最后1人安排到高三,有1種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有10×3×1=30種不同的安排方法.故選A.123456789101112131415164.國慶期間,甲、乙等6人計劃分兩組(每組3人)去旅行,每組將在云南麗江、廣西桂林、河北石家莊、內(nèi)蒙古呼和浩特選1個地方,且每組去的地方不同.已知甲不想去云南,乙只想去廣西,其余4人這4個地方都想去,則他們分組旅行的方案種數(shù)為(

)A.24 B.30

C.18 D.36A123456789101112131415165.在某社會實(shí)踐活動中,某班有一個7人小組參加燒烤活動,老師將從小組成員中選出2名同學(xué)整理燒烤架,再選出3名同學(xué)生火.若小組中的甲、乙兩位同學(xué)至多有1人生火,則不同的安排方案種數(shù)為(

)A.120 B.150

C.180 D.240C解析

小組中的甲、乙兩位同學(xué)都生火,共有

=30種,故甲、乙兩位同學(xué)至多有1人生火的不同的安排方案種數(shù)為

-30=180.故選C.123456789101112131415166.[2023新高考Ⅰ,13]某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有

種(用數(shù)字作答).

6412345678910111213141516123456789101112131415168因?yàn)閚∈N+,且n≥3,解得n=8.123456789101112131415162∵0≤x≤5,∴x2-23x+42=0,解得x=21(舍去)或x=2,即x=2為原方程的解.123456789101112131415169.生物興趣小組有12名學(xué)生,其中正、副組長各1名,組員10名.現(xiàn)從該小組選派3名同學(xué)參加生物學(xué)科知識競賽.(1)如果正、副組長2人中有且只有1人入選,共有多少種不同的選派方法?(2)如果正、副組長2人中至少有1人入選,且組員甲沒有入選,共有多少種不同的選派方法?解

(1)正、副組長2人中有且只有1人入選,則選派方法數(shù)為

=90.(2)正、副組長2人都入選,且組員甲沒有入選,選派方法數(shù)為

=9.正、副組長2人中有且只有1人入選,且組員甲沒有入選,選派方法數(shù)為

=72.故正、副組長2人中至少有1人入選,且組員甲沒有入選的選派方法數(shù)為9+72=81.12345678910111213141516B級關(guān)鍵能力提升練A.1 B.2

C.3

D.4BC12345678910111213141516A1234567891011121314151612.2名老師和4名學(xué)生共6人參加兩項(xiàng)不同的活動,每人參加一項(xiàng)活動,每項(xiàng)活動至少有2人參加,但2名老師不能參加同一項(xiàng)活動,則不同的參加方式的種數(shù)為(

)A.20 B.28

C.40

D.50B1234567891011121314151613.有10臺不同的電視機(jī),其中甲型3臺,乙型3臺,丙型4臺.現(xiàn)從中任意取出3臺,若其中至少含有兩種不同的型號,則不同的取法共有(

)A.96種

B.108種 C.114種

D.118種C1234567891011121314151614.某省派出5個醫(yī)療隊(duì)去支援4個災(zāi)區(qū),每個災(zāi)區(qū)至少分配一個醫(yī)療隊(duì),則不同的分配方案共有

種.(用數(shù)字填寫答案)

240解析

派出5個醫(yī)療隊(duì)去支援4個災(zāi)區(qū),每個災(zāi)區(qū)至少分配一個醫(yī)療隊(duì),則其中有一個災(zāi)區(qū)安排兩個醫(yī)療隊(duì),剩下的3個災(zāi)區(qū)各安排一個醫(yī)療隊(duì),可以分兩步:1234567891011121314151615.要從6名男生4名女生中選出5人參加一項(xiàng)活動.(1)甲當(dāng)選且乙不當(dāng)選,有多少種不同的選法?(2)至多有3名男生當(dāng)選,有多少種不同的選法?解