高考試題卷解析

PAGE數(shù)學(xué)（江西、山西、天津卷）理第1頁（共8頁）2001年高考數(shù)學(xué)試卷(江西、山西、天津卷)理科類第Ⅰ卷(選擇題共60分)其中c表示底面周長，表示斜高或母線長.其中c表示底面周長，表示斜高或母線長.棱錐、圓錐的體積公式其中s表示底面積，h表示高.如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）如果事件A、B相互獨立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是P，那么n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．函數(shù)的周期、振幅依次是（A）4π、3 （B）4π、－3 （C）π、3 （D）π、－3若Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且則是（A）等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 （B）等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列（C）等差數(shù)列，而且也是等比數(shù)列 （D）既非等比數(shù)列又非等差數(shù)列（3）過點A（1，－1）、B（－1，1）且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是（A） （B）（C） （D）（4）若定義在區(qū)（A） （B） （C） （D）（6）若A、B是x軸上的兩點，點P的橫坐標(biāo)為2且|PA|=|PB|．若直線PA的方程為，則直線PB的方程是（A） （B）（C） （D）（7）若（A） （B） （C） （D）（8）函數(shù)有（A）極小值－1，極大值1 （B）極小值－2，極大值3（C）極小值－2，極大值2 （D）極小值－1，極大值3（9）某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負(fù)一場，得0分，一球隊打完15場，積33分，若不考慮順序，該隊勝、負(fù)、平的情況共有（A）3種 （B）4種 （C）5種 （D）6種（10）設(shè)坐標(biāo)原點為O，拋物線與過焦點的直線交于A、B兩點，則（A） （B）－ （C）3 （D）－3（11）一間平房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜;②雙向傾斜;③四向傾斜。記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3若屋頂斜面與水平面所成的角都是α,則 （A）P3＞P2＞P1 （B）P3＞P2＝P1 （C）P3＝P2＞P1 （D）P3＝P2＝P1如圖，小圓圈表示網(wǎng)絡(luò)的結(jié)點，結(jié)點之間的連線表示它們有網(wǎng)線相聯(lián)，連線標(biāo)注的數(shù)字表示該段網(wǎng)線單位時間內(nèi)可以通過的最大信息量．現(xiàn)從結(jié)點A向結(jié)點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內(nèi)傳遞的最大信息量為 （A）26 （B）24 （C）20 （D）19第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中橫線上．（13）若復(fù)數(shù)，則等于.一個袋子里裝有大小相同的3個紅球和2個黃球．從中同時取出2個，則其中含紅球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.（用數(shù)字作答）（15）在空間中，①若四點不共面，則這四點中任何三點都不共線．②若兩條直線沒有共點，則這兩條直線是異面直線．以上兩個命題中，逆命題為真命題的是．（把符合要求的命題序號都填上）設(shè)｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和，若｛Sn｝是等差數(shù)列，則q=.解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．（17）（本小題滿分12分）解關(guān)于x的不等式（18）（本小題滿分12分）N1N2如圖，用A、B、C三類不同的無件連接成兩個系統(tǒng)N1、N2．當(dāng)元件A、B、C都正常工作時，系統(tǒng)N1正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B、C至少有一個正常工作時，系統(tǒng)N2正常工作．已知元件A、B、C正常工作的概率依次為0.80,0.90,0.90．分別求系統(tǒng)N1、N2正常工作的概率P1N1N2A—B—C——B—B——C——A—（19）（本小題滿分12分）設(shè)是R上的偶函數(shù)．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．注意：考生在（20甲）、（20乙）兩題中選一題作答，如果兩題都答，只以（20甲）計分．（20甲）（本小題滿分12分）如圖，以正四棱錐V—ABCD底面中心O為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz，其中Ox//BC，Oy//AB．E為VC中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為h．（Ⅰ）求（Ⅱ）記面BCV為α，面DCV為β，若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，求∠BED．DSABDSABC面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=（Ⅰ）求四棱錐S—ABCD的體積；（Ⅱ）求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.（21）（本小題滿分12分）某電廠冷卻塔的外形是如圖所示雙曲線的一部分繞其中軸（即雙曲線的虛軸）旋轉(zhuǎn)所成的曲面，其中A、A′是雙曲線的頂點，C、C′是冷卻塔上口直徑的兩個端點，B、B′是下底直徑的兩個端點，已知AA′=14m，CC′=18m，BB′=22m，塔高20m．（Ⅰ）建立坐標(biāo)系并寫出該雙曲線方程；（Ⅱ）求冷卻塔的容積（精確到10m3，塔壁厚度不計，π取3.14）．（22）（本小題滿分14分）設(shè)曲線有4個不同的交點．（Ⅰ）求θ的取值范圍；（Ⅱ）證明這4個交點共圓，并求圓半徑的取值范圍．參考答案一、選擇題：本題考查基本知識和基本運算（1）A（2）B（3）C（4）A（5）B（6）A（7）A（8）D（9）A（10）B（11）D（12）D二、填空題：本題考查基本知識和基本運算（13）（14）1.2（15）②（16）1三、解答題（17）本小題主要考查分式不等式的解法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想．解：原不等式的解集是下面不等式組（Ⅰ）、（Ⅱ）的解集的并集：（Ⅰ）（Ⅱ）分情況討論（i）當(dāng)a＜0或a＞1時，有a＜a2，此時不等式組（I）的解集為不等式組（II）的解集為空集φ；（ii）當(dāng)時，有a2＜a，此時，不等式組（I）的解集為空集φ，不等式組（II）的解集為（iii）當(dāng)a=0或a=1時，原不等式無解．綜上，當(dāng)a＜0或a＞1時時，原不等式的解集為當(dāng)時，原不等式的解集為當(dāng)a=0或a=1時，原不等式的解集為φ.（18）本小題考查相互獨立事件同時發(fā)生或互斥事件有一個發(fā)生的概率的計算方法，考查運用概率知識解決實際問題的能力。解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C，由已知條件P（A）=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90.（I）因為事件A、B、C是相互獨立的，所以，系統(tǒng)N1正常工作的概率P1=P（A·B·C）=P（A）·P（B）·P（C）=0.80×0.90×0.90=0.648.故系統(tǒng)N1正常工作的概率為0.648.（II）系統(tǒng)N2正常工作的概率故系統(tǒng)N2正常工作的概率為0.792.（19）本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性等基本性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)和不等式的基本性質(zhì)和運算，以及綜合分析問題的能力.解：依題意，對一切有，即所以對一切成立.由此得到即a2=1.又因為a＞0，所以a=1.（II）證明一：設(shè)0＜x1＜x2，由即f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．證明二：由得當(dāng)時，有此時所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．注意：考生在（20甲）、（20乙）兩題中選一題作答，如果兩題都答，只以（20甲）計分．（20甲）本小題主要考查空間直角坐標(biāo)的概念、空間點和向量的坐標(biāo)表示以及兩個向量夾角的計算方法；考查運用向量研究空間圖形的數(shù)學(xué)思想方法．解：（I）由題意知B（a，a，0），C（―a，a，0），D（―a，―a，0），E由此得由向量的數(shù)量積公式有（II）若∠BED是二面角α—VC—β的平面角，則，即有=0．又由C（－a，a，0），V（0，0，h），有且即這時有（20乙）ESCAESCADB∴四棱錐S—ABCD的體積是V==.∵AD∥BC,BC=2AD,∴EA=AB=SA,∴SE⊥SB，∴SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線，又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB，故SE是CS在面SEB上的射影，∴CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角. ∵即所求二面角的正切值為（21）本小題考查選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系建立曲線方程和解方程組等基礎(chǔ)知識，考查應(yīng)用所學(xué)積分知識、思想和方法解決實際問題的能力.解：（I）如圖建立直角坐標(biāo)系xOy，AA′在x軸上，AA′的中點為坐標(biāo)原點O，CC′與BB′平行于x軸.設(shè)雙曲線方程為則又設(shè)B（11，y1），C（9，y2），因為點B、C在雙曲線上，所以有①②由題意知③由①、②、③得故雙曲線方程為（II）由雙曲線方程得設(shè)冷卻塔的