正弦定理、余弦定理-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（解析版）

第7課時(shí)正弦定理、余弦定理

［考試要求］1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.能利用正弦定理、余弦

定理解決一些簡單的三角形度量問題.

［鏈接教材?夯基固本］落實(shí)主干?激活技能

?梳理?必備知識(shí)

1.正弦定理'余弦定理

在△48C中，若角Z,B,。所對的邊分別是a,b,c,R為△48C的外接圓半

徑，則

定理正弦定理余弦定理

42=爐+。2-22ccos/；

內(nèi)容-^—=-^—=-^—=2R62=。2+層-2。。COSB;

sinXsin8sinC

。2=屋+"—2/bcosC

,Z)22_2

+ca；

(l)a=27?sin/,b=2Rsin5,c=2RsinC；cosA=-—2bc—

作也2H2

變形(2)a:b:c=sinA:sin5:sinC；cos8—；

2ac

(3)———=—=27?22日2j2

sinX+sinB+sinCsin力

cosC=—2—ab—

2.三角形常用面積公式

(1)S=，?表示邊。上的高)；

111

(2)S=^absinC=-acsinS=^c_sin_X；

(3)S=|r(a+b+c)&為內(nèi)切圓半徑)；

(4)5=7P(P-a)(p-b)(p-c)(p=；(a+b+c)).

［常用結(jié)論］

1.三角形中的邊角關(guān)系

在△4SC中，大邊對大角，大角對大邊，Z>8Qa>bQsinZ>sin8QcosZVcos

B.

2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

(l)sin(N+8)=sinC;(2)cos(A+B)=-cosC;

r、.A+BC/八4+3.C

(3)sin—=cos(4)cos—=sm

3.三角形中的射影定理

在△ASC中，a=bcosC+ccos5；b=acosC+ccosA;c=bcos^+acos5.

4.數(shù)量積的余弦定理式

在△ZBC中，AB-AC=^f^.

5.角平分線定理

桀=歌在△48C中，幺。是/氏4c的平分線).

6.在△ZBC中，sin2Z=sin28=2=8或2+5=］.

7.在△ZBC中，角Z,B,C的對邊a,b,c成等差(等比)數(shù)列，則0<8書.

O激活?基本技能

一、易錯(cuò)易混辨析(正確的打“?”，錯(cuò)誤的打“X”)

(1)在△NBC中，一定有a+b+c=sinZ+sin8+sinC.()

(2)在△ZBC中，若sin2Z=sin28,則必有2=8.()

(3)當(dāng)〃+°2—°2>0時(shí)，△48C為銳角三角形；當(dāng)按十02一/=0時(shí)，△4BC為

直角三角形；當(dāng)爐十。2—屋<。時(shí)，△48。為鈍角三角形.()

［答案］(1)X(2)X(3)X

二,教材經(jīng)典衍生

1.(人教A版必修第二冊P47例7改編)已知△48C中，角45,C所對的邊分

別為a,b,c,若B=--,a=l)則6=()

64

A.2B.1C.V3D.V2

D［由-=上得6=^^=等=在X2=VI］

LsinZsinBsinAsin-2」

6

2.(人教A版必修第二冊P44練習(xí)T1(2)改編)在△4BC中，若a=2,c=4,5=60。,

則b等于()

A.2V3B.12

C.2V7D.28

A［由余弦定理〃=a2+c2-2accos8,得爐=4+16—8=12,所以6=28.］

3.（人教A版必修第二冊P47例8改編）在△48C中，已知8=45。，b=2,c=<2,

則C=.

30°［由正弦定理得sinC=/詈=丘臀=右因?yàn)閎>c,5=45。，所以C=30。.］

4.（人教A版必修第二冊P44練習(xí)T2改編）在△4BC中，角4B,C的對邊分別

為a,b,c,且a=4,b=5,c=6,貝!JcosA=,AABC的面積為.

315V7「/之日新江8A振+c2-q23

7—r-［依題意得cos/=---=-,

44L2bc4

所以sinA=V1—cos27l=—,

4

所以△NBC的面積為與csia4=

24

［典例精研?核心考點(diǎn)］重難解惑?直擊高考

□考點(diǎn)一解三角形

___-1

［典例1］（2023?北京房山區(qū)二模）在△48C中，cos25=-j,c=8,b=7.

⑴求sinC；

（2）若角C為鈍角，求△48C的周長.

1

［解］⑴因?yàn)閏os25=2cos25-l=-p

所以cos25=-,可得sia8=V1—cos2B=—,

42

又c=8,6=7,

V3

所以由正弦定理，得sinC=*=*=也.

b77

（2）因?yàn)榻荂為鈍角，

所以cosC=—V1—sin2C=~^,

由余弦定理02=屋+52—2abcosC,可得82=q2+72—2XaX7X（—；）,整理可得

tz2+2a—15=0,解得a=3或一5（舍去），

所以△ZBC的周長a+6+c=18.

名師點(diǎn)評解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦

定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，要考慮用正弦定理.以上特征都

不明顯時(shí)，要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

1.(1)已知△48C的內(nèi)角aB,1所對的邊分別為a,b,c,若bsin2N=asin8,

且c=2b,貝耳等于()

C.V2D.V3

(2)(2024?重慶模擬)在△NBC中，若2cos2^-cosA=2cos2S+2cos2C-2+cos(5

一o，貝"()

A.EB.?

(1)D(2)B[(1)由正弦定理及bsin2Z=asin8,得2sin8?sinNcosN=sinZsin8,

1

又sin/WO,sinBWO,則恒$/=5.又0=2①所以由余弦定理得層二加十^—26次os

?1=Z?2+4Z?2—4Z?2xi=3Z?2,得.故選D.

2b

⑵因?yàn)?cos2?l—cosA=2cos25+2cos2C~2+cos(B—C),

所以2(1—sir?4)—cos[兀一(5+C)]

=2(l-sin25)+2(l-sin2C)-2+cos(5-C),

貝2—2six^A+cosBcosC-sin5sinC

=2-2sin2J?—2sin2C+cos5cosC+sin5sinC,

整理得sin25+sin2C—sin2^=sinSsinC.

222

所以b+c—a=bc9

由余弦定理的推論得cos/="+^―。2=當(dāng)=：

2bc2bc2

因?yàn)閆e(0,it),ikA=1.

故選B.]

【教師備選資源】

1.在△4BC中，內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,已知5=30。，b=<2,

c=2,貝lj()

A.C=45°B.Z=15°

C.a=V3-lD.△48C為鈍角三角形

所以sinC=j,因?yàn)?°VCV180°,所以C=45°或C=135°,故ABC均錯(cuò)誤，

當(dāng)C=45。時(shí)，Z=180°-45°-30°=105°,△NBC為鈍角三角形，

當(dāng)C=135。時(shí)，ZUBC為鈍角三角形，故D正確.

故選D.]

2.（2024?山東濟(jì)南期中）在△4BC中，內(nèi)角Z,B,C的對邊分別為a,b,c,

已知cos2C—cos23+sin2N=siiL4sin5=g,且△4SC的面積為百，則邊c的值為

V6［*.*cos2C_cos25+sin27!=siib4sinB,

1—sin2C-(1—sin25)+sin2^=sinAsin5,即sin25+sin27l—sin2C=sinAsin5,

由正弦定理角化邊得尻+屋一，=打,

,?a24-ft2—c2ab1IT

..cosC=———=—=T,C=-

2ab2ab2'3

ab

由正弦定理?

sin力sinBsinC

??..-.zz^1乙—.7IT

sin力AsinBnsin^Csin^-?

化簡得c2=|ab,

又△NBC的面積SAABc=^absinC=V3,

/.ab=4,

c2=6,解得0=逐.]

3.（2022?全國乙卷）記△48。的內(nèi)角4,B,。的對邊分別為。，b,c,已知sin

Csin(A-B)=sinB?sin(C—4).

(1)證明：2a2=川十o2；

(2)若a=5,cosZ=||,求△Z5C的周長.

［解］(1)證明：因?yàn)閟inCsin(A-B)=sinB?sin(C-A)f

所以sinCsinAcos5-sinCsin5cosA=sinB?sinCcos24—sin5sin/cosC,

222

爪?a2+c2_h2b+c-a

所以QC■—T-----

2ac2小

層+82-。2

=~ab

2ab

即次小o2+62”2

(b2+c2—a2)=

22

所以2〃2=62+02.

（2）因?yàn)椤?5,COST1=—,

由（1）得按+/=50,

由余弦定理屋=〃+02—26ccosZ,

得50一衰c=25,

所以Z>C=y,

故（6+。）2=按+。2+2兒=50+31=81,

所以b+c=9,

所以△NBC的周長為a+b+c=l4.

―考點(diǎn)二判斷三角形的形狀

［典例2］設(shè)△4BC的內(nèi)角45,C所對的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccos5

=asinA,則△4BC的形狀為（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

A［法一（化角為邊）：因?yàn)閎cosC+ccos8=6~—+c?一~—=—=tz,

2ab2ac2a

所以asinZ=a,即sin4=1,故/=］,因此△48C是直角三角形.

法二（化邊為角）：因?yàn)閆?cosC+ccos5=asinZ,

所以sinBcosC+sinCeosB=sir?4,

即sin（5+Q=sit?4,所以sirt4=sin2^,

故sirU=l,即/=］,因此△48C是直角三角形.

法三（射影定理）：bcosC+ccosB=a=asinA,

所以sin4=1,故4=］,因此△48。是直角三角形.］

［拓展變式］若本例條件變?yōu)椤?月，判斷△NBC的形狀.

DCOS/I

［解］由沖w，

bcos2

彳'sinAcos3

sin8cos4,

所以sin/cos/=cos8sin5,

所以sin2A=sin2B.

因?yàn)閆,8為△4BC的內(nèi)角,

所以22=28或2A=n—2B,

所以A=B或2+8=5，

所以△4BC為等腰三角形或直角三角形.

名師點(diǎn)評判定三角形形狀的兩種常用途徑

：通過正弦定理、余弦定理化角為邊,通過;

判府麗代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系］

定1進(jìn)行判斷：

途

徑,,「逼母正森比施「泰黃兔薊五男廟閑話：

辿■三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)；

;行判斷：

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

2.在△4BC中，^=sin23a,b,。分別為角Z,B,C的對邊），則△4BC的形

...、

狀為（z）、一---"

A.直角三角形

B.等邊三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

A［因?yàn)閟ii?q=上箸，

所以1=0亞，即cos5=；

2c2c

法一:由余弦定理得警*=:

Zacc

即a2+c2—b2=2a2,所以a2+b2=c2.

所以△4SC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.

法二：由正弦定理得cos8=當(dāng)，

又sinA=sin（8+C）=sin5cosC+cosBsinC,

所以cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,

即sin5cosc=0,又sinBWO,所以cosC=0,

又角。為三角形的內(nèi)角，所以C=］,

所以△4BC為直角三角形，無法判斷兩直角邊是否相等.］

考點(diǎn)三三角形面積的計(jì)算

［典例3］(2023?全國乙卷)在△Z8C中，已知N8ZC=120。，Z8=2,ZC=

1.

(1)求sin/ABC；

(2)若。為8c上一點(diǎn)，且/氏4。=90。，求△4DC的面積.

［解］(1)如圖，由余弦定理得50=482+4^—248?/C?cosZBAC=22+12

+2X2X1X|=7,得BC=也

法一：由正弦定理ACBC

sinZ.ABCsinZ.BAC

得sin乙甌=爰=等

法二：由余弦定理的推論得c°sNZ5C="黑薩=蒜親=呼

所以sinZABC=V1—cos2Z.ABC=—.

14

(2)法一：由smZABC=—,得tanZABC=^-,

145

又"7t4anZ/A.BC=—DA=—DA,所匕以ZAU/=—2V3

AD25

故△ADC的面積為期-AC-sin(120°-90°)=|x1x|=^|.

法二：△48。的面積為?sinZBAC=^X1X2Xy=y,

ACAD

SAADC^--sin“4Dsin30°_1

S/^BAD^AB,AD?sinZ.BAD2xsin9004

古攵AADC的面積為X-y-=Y^.

名師點(diǎn)評三角形面積公式的應(yīng)用原則

111

(1)對于面積公式S=-absinC=-acsinB=-bcsin^,一般是已知哪一個(gè)角就使用

哪一個(gè)公式.

(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.

［跟進(jìn)訓(xùn)練］

3.如圖，在平面四邊形/5CO中，ABLAD,AB=i,AD=^3,BC=42.

(1)若C￡>=2,求sinNADC；

(2)若NC=：,求四邊形48co的面積.

［解］(1)連接BD,在RtZ\4RD中，RD=VZ薜47"=2,且tanN4D5=^=?

ZADB&(0,5),所以

在ABCD中，由余弦定理的推論得

BD2+CD2-BC24+4-23

cosZBDC=--------------=-------=-

2-BD?CD2x2x24

V7

所以sin/BDC=

所以sinZADC=sin(NBDC+習(xí)

=sin/BDCcos-6+6cos/BDCsin-

V7V3,31V21+3

=—X—+-X-=----.

42428

(2)在△BCD中,由余弦定理得BQ2=CD2+BG—2CQ?c-cos即CD2~2CD

B4

—2=0,解得?！?=1+舊或CD=1一百(舍去),

所以四邊形ABCD的面積為

1

nTT-V3+-

si42

【教師備選資源】

1.(2023?福建廈門一模)記△48C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且

3AB?AC+4BA?BC='CA?CB.

(1)求土

(2)已知8=3C,c=l,求△48C的面積.

［角星］(1)由已知得3becosA+4accosB=abcosC,

由余弦定理，得

3(62+c2-a2)+4(a2+c2-62)=a2+62-c2,

化簡得4，=加，所以2=2.

c

(2)由正弦定理知即sin5=2sinC,

LB=3C,故

sinB=sin3C=sin(2C+Q=sin2C?cosC+cos2C,sinC=2sinC(1—sin2Q+

(1—2sin2C)sinC=3sinC-4sin3C=2sinC,

即3—4sin2c=2,sinC=—,故。=^(。=工■舍)，此時(shí)，B=3C=—,b=2c=2AB

=2,BC=yf3,則見43。=1X1義

2.已知△48。的內(nèi)角4,B,。的對邊分別為a,b,c,sin25+sin2C-sin2^=sinB

sinC.

(1)求4;

(2)若a=4,△48。的面積為48，求6+c

［解］⑴因?yàn)閟in25+sin2C—sin2^=siiiSsinC,所以加+，一次二兒,

..ZJ2+C2-a2be1

則N

cosN=—2—bc—2bc2

因?yàn)镺VZVTI,所以

(2)因?yàn)?4BC的面積為4百，

所以;besinZ=fbc=4g,即bc=16.

因?yàn)椤?c2—q2=6c,。=4,所以Z)2+C2=32,

所以b+c=^Jb2+c2+2&c=V64=8.

課時(shí)分層作業(yè)（二十九）正弦定理、余弦定理

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一'單項(xiàng)選擇題

1.在下列關(guān)于△ZBC的四個(gè)條件中選擇一個(gè)，能夠使角A被唯一確定的是（）

①sin/=（；②cosZ=-（；

③cosB=-J,b=3a；@C=7，b=2,c=V3.

44

A.①②B.②③

C.②④D.②③④

B[對于①：sin2=3因?yàn)閆G(O,n),所以幺=?或"，故①錯(cuò)誤；

L66

對于②：cos^=-因?yàn)閥=cosx在(0,兀)上單調(diào)，所以角Z被唯一確定，故

②正確；

對于③：cosB=—y,b=3a,因?yàn)閏os8=—)VO,5G(0,TC),所以8G(:,nY

44\2/

所以4￡(0,9，

所以sinB—V1—cos2B=—^

4

又b=3a,由正弦定理得siiLB=3sinN,

所以sinZ=萼=嚕，

所以角Z被唯一確定，故③正確；

對于④：c=；,b=2,C=V3,

因?yàn)閎sinC=2Xsiny=V2,

所以bsinC<c<b,

如圖，A4BC不唯一,故④錯(cuò)誤.

故選B.]

2.在△ZBC中，a,b,c分別為內(nèi)角Z,B,C的對邊，若層一〃=舊曲，sinC

=2V^sin8,則Z=()

AA.—5TTCB.—2TC

63

C.-D.-

36

D[VsinC=2V3sin5,:?c=2Wb,結(jié)合〃2一抉=百兒得。=夕兒

由余弦定理的推論可得

,b2+c2-a2b2+12b2-7b2V3

cosA=------=-----尸—=—.

2bc2xbx2\3b2

又?.,ZG(0,兀)，...2=；.故選D.]

6

3.(2023?北京高考)在△48。中，(a+c)(sinAsinC)=Z?(sinA-sinB),則NC

=()

A.-B.-

63

C.-D.史

36

B[由(a+c)(sin/—sinC)=Z?(sinA-sinB)得(a+c)(a~c)=b(a-b),即次+b2

~c1=ab,

.-a2+b2-c2ab1

..cosC=------=——=一,

2ab2ab2

又CG(0,兀),.故選B.]

4.(2024?山東濟(jì)南模擬)在△NBC中，若希?前=—2,且5=60。，則△NBC

的面積為()

A.2V3B.V3

C.yD.V6

B[因?yàn)槟?前=—2且8=60°,

所以a?c?cos(180。-60。)=碇cos120。=—2,

所以ac=4,所以品/8。=1。5由5=[*4*?=舊.故選8.]

5.(2024?湖北武漢模擬)已知a,b,c分別為△4BC的三個(gè)內(nèi)角4B,C的對

邊，且bcosC+acos5=。，則△48。是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰或直角三角形

D[由Z?cosC+Qcos5=Q及正弦定理，得

sinScosC+sin/cos5=sin4,

所以sinBcosC+sinAcos5=sin(5+Q=sin5cosC+cosBsinC,即cos5(sin

A—sinQ=0,

當(dāng)cosB=0時(shí)，因?yàn)?VBV兀，所以5=1，

當(dāng)cos5W0時(shí)，所以sin/—sinC=0,

即sinA=sinC,

因?yàn)?<幺<兀，O<C<71,所以N=C,

所以△N5C為等腰或直角三角形.故選D.]

6.已知銳角△4BC的三個(gè)內(nèi)角Z,B,。所對的邊分別為a,b,c,且a=l,B

=2A,則b的取值范圍為()

A.(V2,V3)B.(1,V3)

C.(V2,2)D.(0,2)

AB=2A,/.sin5=sin2A=2sinAcosA.

:a=1,:.b=2QCOSA=2cosA.

又△ABC為銳角三角形,

(Q<2A<-,

2，

2，,IL<?它Vcos/V坦

0<C<-,64'22

2，

V2，

即V^〈b=2cosZ<VI故選A.]

二、多項(xiàng)選擇題

7.（2023?遼寧六校聯(lián)考）△48C的三個(gè)內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c.B

知6sin/=（3b—c）sinB,且cos/=1則下列結(jié)論正確的是（）

A.a+c=3b

B.tan4=2迎

C.△48。的周長為4c

D.△NBC的面積為手

ABD[由正弦定理及題意得加=(3b—c)b,整理得a=3b—c,即a+c=3b,A

正確；

由cos可得sinZ=Jl_()=乎,

則tan^=—=2V2,B正確；

COS4

一1

由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA,又a=3b~c,可得(3Z)—

整理得”=2c,△NBC的周長為a+6+c=4A=gc,C錯(cuò)誤；

由上次口：a=3b-c,3b=2c,可得a=c,b=-ct貝US/^ABC=~bcsinA=—?—a?a?—-

D9乙乙DJ

=~cr,D正確.故選ABD.]

8.在△NBC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若b=2?c=3,A+3C

=兀，則下列結(jié)論正確的是()

V3n?Da

AA.cosC=-B.sm5=一

33

C?Q=3D.S/\ABC~yT^

AD[因?yàn)閆+3c=兀，故8=2C,根據(jù)正弦定理一^=上，得2bsinC=3X2sin

sin8sinC

CcosC.

由于sinCWO,故cosC=亨,sinC=當(dāng),所以sin/=sin2c=2sinCeosC=(.

又由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,化簡得到屋-4a+3=0,解得a=3或a

=1.若Q=3,則/=C=—,故B=—,不合題意，因此a=1.故S/^ABc=~cibsinC

422

=；X1X28X?=V^故選AD.]

三、填空題

9.在△4SC中，若。=2,Z?+c=7,cosB=-7,貝|.

4

4[在△ZBC中，由加=/+02—2acCOSB及b+c=7知，ZJ2=4+(7-Z))2-

2X2X(7—b)X(—；),整理得15b—60=0,所以b=4.]

10.(2022?浙江高考)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了由三角形三邊求面積

的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補(bǔ)了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如

果把這個(gè)方法寫成公式，就是S=)[卜2a2—其中用兒c是三角

形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三角形的三邊。=應(yīng)，b=V3,c=2,則該

三角形的面積5=

/3+4-255V3.,V69

法二:cosA=—p—=—F=——，smA=——5=1XV3X2XM]

2V3x24V312'12

四、解答題

11.(2024?山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬)在△4BC中，bsinZ—acos5=0.

(1)求角8;

(2)若6=3,再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使

△4BC存在且唯一確定，求。及△45C的面積.

條件①：sin4+sinC=2sin5；

條件②：c=B;

條件③：ac=10.

［解］(1)由正弦定理得bsin/=〃sin5,

B

得asin5—(2cos-=0,

c?BBB_

2asm-cos--acos--0n,

222

因?yàn)?所以Qcos90.

則sin

22

所以3=也所以

(2)選條件①：sin^+sinC=2sin5.

因?yàn)?=3,jB=psin^+sinC=2sin5,

由正弦定理得a+c=2b=6,

由余弦定理得9=a2+c2—ac=(a+c)2—3ac,

etc—9,解得f］CL—3.

(a+c=6,=3,

所以△48。存在且唯一確定，

貝IS^ABc=^acsin8=竽.

Z4

選條件②：c=V3.

已知b=3,c=V3,

由正弦定理得sinC=^sin5=p

因?yàn)閏Vb,

所以C=：A=-,a=V62+c2=2V3.

62

所以△48C存在且唯一確定，

貝I

選條件③：ac=10.

由余弦定理得9=a2+c2—ac=（a-\-c'）2—3ac,

即tz+c=V39,

所以a（d而一a）=10,即小一/為q+io=o,

因?yàn)椋ㄣ?一4X10=-1V0,

所以不存在a使得AZBC存在.

12.（2023?山東濰坊二模）如圖，在四邊形48CQ中，/BAD=],ZACD=^,

AD=V3,S為△NBC的面積，且2s=一百瓦？?就.

⑴求角&

⑵若cosD=|,求四邊形ABCD的周長.

［解］(1)由2S=-A/^瓦5?前，

在△ZBC中，得2義，B義BCsinB=-KABXBCcosB,

即sin8=—J^cos8,可得tan8=一百，

因?yàn)?G(0,71),所以8=§.

(2)因?yàn)閏os￡)=a￡>e(0,兀)，所以￡>=g,

所以△/CO為等