導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用例題2

例6．若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍.例7．已知函數(shù)若在區(qū)間[－2，2].上的最大值為20.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)于,總存在,都有成立?若存在,求出實(shí)數(shù)的取值范圍;若不存在,說明理由.例8.設(shè)函數(shù).(Ⅰ)試問函數(shù)能否在x=－1時(shí)取得極值？說明理由；（Ⅱ)若a=－1，當(dāng)x∈［-3,4］時(shí)，函數(shù)與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，求c的取值范圍.二、導(dǎo)數(shù)用于證明不等式例1.已知x∈（0，），求證：sinx＜x＜tanx。這個(gè)三角不等式在相關(guān)教材中是用幾何方法證明的。這里是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明，簡(jiǎn)單、快捷。例2．將函數(shù)的圖象按向量平移得到函數(shù)的圖象,求證:當(dāng)時(shí),.例2.函數(shù)。（1）證明：；（2）若對(duì)所有都有，求的范圍。例3.設(shè)函數(shù)，其中。證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值。例4.已知函數(shù)，其中是的導(dǎo)函數(shù)。（1）對(duì)滿足的一切的值，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，若函數(shù)的圖象與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例5.已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，，其中。設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同。（1）用表示，并求的最大值；（2）求證：（）。例6.已知函數(shù)，，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)均有，。（1）求函數(shù)的解析式；（2）若對(duì)任意的，恒有，求的取值范圍。例7.設(shè)函數(shù)。（1）求的最小值；（2）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例8.函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)。（1）求的最大值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)處穿過函數(shù)的圖象（即動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)附近沿曲線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式。三、利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題例1．某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測(cè)：存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為，貸款的利率為4.8%，又銀行吸收的存款能全部放貸出去，試確定當(dāng)存款利率定為多少時(shí)，銀行可獲取最大收益？例2、請(qǐng)您設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱柱，上部的形狀是側(cè)棱長(zhǎng)為3m的正六棱錐（如右圖所示）。試問當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)O到底面中心的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大？導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例（一）知識(shí)說明1.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性y=f(x)在(a,b)上可導(dǎo)，若f′(x)＞0，則f(x)為增函數(shù)，若f′(x)＜0，則f(x)為減函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性需注意以下幾個(gè)問題(1)確定函數(shù)的定義域，解決問題的過程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(2)在對(duì)函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時(shí)，除了必須確定使導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)外，還要注意定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)．(3)注意在某一區(qū)間內(nèi)f′(x)>0(或f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分不必要條件．2.若函數(shù)f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增，那么一定有f′(x)>0嗎？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充要條件？函數(shù)f(x)在(a，b)上是增函數(shù)，則f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增的充分不必要條件．例函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍。簡(jiǎn)析：則單調(diào)遞增，但在一些孤立點(diǎn)處成立并不妨礙函數(shù)的單調(diào)性。如：有，但函數(shù)在R上單調(diào)遞增。答案。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與其單調(diào)性之間的關(guān)系可以從以下三個(gè)方面理解：①在某個(gè)區(qū)間(a，b)上，若f′(x)＞0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增；若f′(x)＜0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減；若f′(x)＝0恒成立，則f(x)在這個(gè)區(qū)間上為常數(shù)函數(shù)；若f′(x)的符號(hào)不確定，則f(x)不是單調(diào)函數(shù)．②若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，則f′(x)≥0，其逆命題不成立，因?yàn)閒′(x)≥0包括f′(x)＞0或f′(x)＝0，當(dāng)f′(x)＞0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，當(dāng)f′(x)＝0時(shí)，f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)為常數(shù)函數(shù)；同理，若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，則f′(x)≤0，其逆命題不成立．③使f′(x)＝0的離散的點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性．f(x)在[a,b]上的最值求法（步驟）：①求出f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.(1)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及其附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)<f(x0)，我們說f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)__極大值_，記作___y極大值＝f(x0)____；如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)>f(x0)，就說f(x0)是f(x)的一個(gè)____極小值_____，記作__y極小值＝f(x0)__極大值與極小值統(tǒng)稱為___極值__(2)判別f(x0)是極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)：①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是__極大值___②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是___極小值_________4.有人說極大值一定比極小值大，你認(rèn)為呢？極值是一個(gè)局部性概念，一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極大值和極小值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一點(diǎn)的極大值，即函數(shù)的極大值不一定比極小值大，極小值也不一定比極大值小，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系．5.求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟：(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗(yàn)f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右的符號(hào)：如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，右側(cè)附近為正，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)根處取得極小值．6.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)嗎？對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說，函數(shù)在某點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)為0是函數(shù)在該點(diǎn)處取得極值的必要不充分條件，即y＝f(x)在x0處取得極值必有f′(x0)＝0，但反過來不成立，即導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)．例如f(x)＝x3，則f′(x)＝3x2，∴f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點(diǎn)，事實(shí)上f(x)＝x3在R上單調(diào)遞增。可導(dǎo)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0的左側(cè)與右側(cè)的f′(x)的符號(hào)不同．不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)．7.你能利用函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有極值的條件判斷函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的單調(diào)性嗎？，若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減的函數(shù)沒有極值．8.函數(shù)的極值與最值有什么區(qū)別和聯(lián)系函數(shù)的最值：函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最值的條件：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．極值與最值的區(qū)別和聯(lián)系：(1)函數(shù)的極值表示函數(shù)在一點(diǎn)附近的情況，是在局部范圍對(duì)函數(shù)值的比較；函數(shù)的最值是表示函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的情況，是對(duì)函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上的函數(shù)值的比較．(2)函數(shù)的極值不一定是最值，需對(duì)極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，或者考查函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．(3)如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值，那么極大值就是最大值，極小值就是最小值．(4)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零，但是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，如函數(shù)y＝x3在x＝0處導(dǎo)數(shù)為零，但x＝0不是極值點(diǎn)．在求實(shí)際問題中的最大值或最小值時(shí)，一般先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實(shí)際情況相符合．用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題中的最大(小)值時(shí)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么根據(jù)實(shí)際意義該極值點(diǎn)也就是最值點(diǎn)．f(x)在[a,b]上的最值求法（步驟）：①求出f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.求閉區(qū)間[a,b]上的最值，除了要比較(a,b)內(nèi)的所有極值外，還要比較f(x)在[a,b]的端點(diǎn)值f(a)，f(b).如果忽視了f(a),f(b)，那么可能得到的答案是錯(cuò)誤的.比如下面的這個(gè)函數(shù)f(x)。最小值為f(c)，它是極小值之一，但f(a)為最大值，它是區(qū)間的端點(diǎn)函數(shù)值求在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)的最值時(shí)，可將過程簡(jiǎn)化，即不用判斷使f′(x)＝0成立的點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可判定最大(小)值．小結(jié)1．當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)．用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的單調(diào)性比用定義法更加簡(jiǎn)便，是導(dǎo)數(shù)幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時(shí)的一個(gè)重要應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的基本思想．因此，必須重視對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行歸納提煉，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的熟練程度，達(dá)到優(yōu)化解題思想、簡(jiǎn)化解題過程的目的．2．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，一般要先確定定義域，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．同時(shí)還要注意的是，在單調(diào)區(qū)間的劃分時(shí)，應(yīng)去掉定義區(qū)間內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)．3．或僅是在某區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù)的充分條件．在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增（減）的充要條件是（）在該區(qū)間上恒成立．4．本專題易錯(cuò)點(diǎn)主要有：①函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，因此求解關(guān)于函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題時(shí)，應(yīng)先求函數(shù)的定義域；②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實(shí)際上是不等式（）對(duì)應(yīng)的解集；但如果問題是已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增（或減）時(shí)，問題的實(shí)質(zhì)是解決不等式（或）恒成立問題．（二）導(dǎo)數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用包括以下幾個(gè)方面:(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值與最值;(3)利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線問題;(4)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的證明問題;(5)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn);(6)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍等.一般來說,利用導(dǎo)數(shù)解決的問題,其所涉及的函數(shù)往往具有明顯的特征,例如:三次函數(shù)等高次函數(shù),非常規(guī)函數(shù)(由基本初等函數(shù)構(gòu)成)等,這些函數(shù)尤其適合利用導(dǎo)數(shù)解決.一、極值、最值例1：函數(shù)在閉區(qū)間[-3，0]上的最大值、最小值分別是.[解析]：由=0，得，當(dāng)時(shí)，>0，當(dāng)時(shí)，<0，當(dāng)時(shí)，>0，故的極小值、極大值分別為，而故函數(shù)在[-3，0]上的最大值、最小值分別是3、-17。例2．在曲線y=x3－x上有兩個(gè)點(diǎn)O(0，0)、A(2，6)，求弧OA上點(diǎn)P的坐標(biāo)，使△AOP的面積最大.解：解法一:因?yàn)閗OA=3，所以過弧OA上點(diǎn)P的直線的斜率k′=kOA=3. 所以k′=y′=3x2－1=3.所以3x2=4. 所以x=或x=－(舍去). 所以x=,y=，即P(，). 解法二:設(shè)P(a,a3－a),∵O(0,0)、A(2,6),∴直線OA的方程為3x－y=0.點(diǎn)P到它的距離為d==|a3－4a|,∵0＜a＜2,∴4a＞a3.∴d=(4a－a3).∵(d)′=(4－3a2),令4－3a2=0,得a=或a=－.∵0＜a＜2,∴x=a=時(shí)取最大值，此時(shí)y=()3－=.∴P(，).極點(diǎn)與極值：曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正；最值：在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f在[a，b]上必有最大值與最小值。但在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)函數(shù)f（x）不一定有最大值，例如。（1）函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性的概念，最大值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值，最小值必須在整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。（2）函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來的，函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附件的函數(shù)值得出來的。函數(shù)的極值可以有多有少，但最值只有一個(gè)，極值只能在區(qū)間內(nèi)取得，最值則可以在端點(diǎn)取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值，極值可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值。例3.設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（Ⅰ）求、的值。（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解：（Ⅰ）∵，∴。從而＝是一個(gè)奇函數(shù)，所以得，由奇函數(shù)定義得；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，從而，由此可知，和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間；是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間；在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。例4.已知f（x）=在x=1，x=時(shí)，都取得極值。（1）求a、b的值。（2）若對(duì)，都有恒成立，求c的取值范圍。解：（1）由題意f/（x）=的兩個(gè)根分別為1和由韋達(dá)定理，得：1=，則，（2）由（1），有f（x）=，f/（x）=當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有極大值，，∴當(dāng)，的最大值為對(duì)，都有恒成立，∴，解得或例5、已知函數(shù)其中當(dāng)時(shí)，求曲線處的切線的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法。滿分12分。解：（I）（II）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m以下分兩種情況討論。（1）＞，則＜.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）＜，則＞，當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗w.w.w.k.s.5.u.c.o.m例6．若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：.因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以有解.又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?則應(yīng)有的解.(1)當(dāng)時(shí),為開口向上的拋物線,,總可以找到的解;(2)當(dāng)時(shí),為開口向下的拋物線,要使總有大于0的解,則且方程至少有一個(gè)正根,此時(shí).(3)當(dāng)時(shí),顯然符合題意.綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍是.例7．已知函數(shù)若在區(qū)間[－2，2].上的最大值為20.(1)求實(shí)數(shù)的值;(2