高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)點點練：直線、平面的平行與垂直關(guān)系

點點練28—直線、平面的平行與垂直關(guān)系

—基礎(chǔ)小題練透篇

1.給出以下命題（其中。，6表示不同的直線，a表示平面）：

①若a〃a,b//a,則a〃6；

②若a〃6,b//a,貝!Ja〃a；

③若a〃a,bua,則a〃6；

④若a的同側(cè)有兩點A,B到平面a的距離相等，則AB〃a.

其中正確命題的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

2.

[2023?湖北省襄陽市部分學(xué)校期中試題]某正方體的平面展開圖如圖所示，在這個正方體

中，下列結(jié)論正確的是（）

A.AF〃平面BCEB.平面

C.AE//BCD.BF1.CE

3.如圖，在四棱柱4BCQ-A向C。中，E,F分別是A所,8cl的中點，則下列結(jié)論中

正確的是（）

A.EF2BB1

B.￡F_L平面BCGBi

C.EF〃平面ABC

D.所〃平面ACG4

4.

[2023?陜西省質(zhì)量檢測]如圖，在正三棱柱ABC-4SG中，A8=l,AA^y[3，點。是

側(cè)棱221的中點，則直線與平面ABC所成角的正弦值為（）

A婦R叵「五口空

Zx?2-D?7v_z?7（7

5.

［2023?邯鄲市摸底］如圖，在正方體ABCZX46GP中，E是棱的中點，尸是四邊形

AAiDiD內(nèi)一點（包含邊界）.ER〃平面BBiDiD,當(dāng)線段EF長度最大時，EF與平面ABCD所

成角的余弦值為（）_

A.4B.3。4D-6

6.在正四面體ABC。中，E,尸分別為△BCD,△AC。的中心，則下列說法中不正確

的是（）

A.EF//AB

B.C￡）_L平面ABEF

C.異面直線AB,C。所成的角為90°

D.A￡=1EF

7.如圖，在正方體ABCD-AiBiGDi中，AB=2,E為AD的中點，點尸在CD上，若

〃平面ABiC,則所=.

二能力小題提升篇

“2023?陜西省西安市模擬］已知直線/_L平面a,直線根u平面給出下列命題中正確

的是（）

①a〃￡=>/_L〃z；②a_L￡=>/〃機；③/〃機④lLm=a//8.

A.①②③B.②③④

C.②④D.①③

2.［2023?遼寧省實驗中學(xué)期中］己知相，w為兩條不同的直線，a,y為三個不同的平

面，則下列命題正確的是（）

A.若m"a,n//a,則相〃〃

B.若a_1_4，且則，"_1_夕

C.若mua,nua,m〃8,n//P,則a〃4

D.若/77±a,n//P，a.邛,貝！Jm_1_"

3.

八

[2023?四川省成都市月考]如圖，已知正三棱柱A8C-4SG的各條棱長都相等，M是側(cè)

棱CG的中點，N是A歷的中點，則（）

A.A1N//C1A

B.AN〃平面BAM

C.ABil5??ABM

D.BM±AB[

4.

[2023?山西省臨汾市聯(lián)考]如圖，在直三棱柱ABC-A/iG中，ZBAC=90°,AC=AB=

1441=1,設(shè)。，￡分別是棱CG上的兩個動點，且滿足?！?1,則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.平面A8CLL平面J50E

B.4A〃平面BOE

C.ADE

D.三棱錐A-BiOE體積為定值

5.

P

如圖所示，在四棱錐尸-ABC。中，抬，底面A8CD,且底面各邊都相等，〃是PC上

的一動點，當(dāng)點M滿足時，平面M2。，平面PCD（只要填寫一個你認(rèn)為是正確的

條件即可）

6.[2023?聊城模擬]

如圖，矩形ABC。中，AB=2AD,E為A8的中點，將△ADE沿。E翻折至

（平面ABCD）,若M為線段AiC的中點，則在△ADE翻折的過程中，下列結(jié)論正確的是

.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①必1-4OE：池1-8CZ）E=1：3；②存在某個位置，使。EJ_4C；③總有8M〃平面

ArDE；④線段的長為定值.

—高考小題重現(xiàn)篇

1.[2019?全國卷II]設(shè)a,￡為兩個平面，則a〃6的充要條件是（）

A.a內(nèi)有無數(shù)條直線與夕平行

B.a內(nèi)有兩條相交直線與￡平行

C.a,￡平行于同一條直線

D.a,乃垂直于同一平面

2.［全國卷I］如圖，在下列四個正方體中，A,B為正方體的兩個頂點，M,N,。為

所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MN。不平行的是（）

3.［全國卷III］在正方體ABCD-AiBCQi中，E為棱C。的中點，貝|（）

A.AiElDCiB.AiELBD

C.A1EIBC1D.AiE±AC

4.［2022?新高考I卷］（多選）已知正方體ABC￡>-421GP，則（）

A.直線8G與D4i所成的角為90°

B.直線8G與C4所成的角為90°

C.直線與平面BBS。所成的角為45。

D.直線BG與平面A2CD所成的角為45°

5.［全國卷］a,￡是兩個平面，MI,〃是兩條直線，有下列四個命題：

①如果加_1_",mJ_a,n//P，那么a_L￡.

②如果〃z_La,n//a,那么相_1_九

③如果a〃/,〃?ua,那么冽〃夕.

④如果a//P，那么機與a所成的角和w與￡所成的角相等.

其中正確的命題有.（填寫所有正確命題的編號）

6.［2019?全國卷I］已知NACB=90。，P為平面ABC外一點，PC=2,點P到乙4cB

兩邊AC,BC的距離均為也，那么P到平面ABC的距離為.

四經(jīng)典大題強化篇

1.

E

在如圖所示的空間幾何體中，ACLBC,四邊形。C8E為矩形，點F,M分別為

C￡)的中點.求證：

(1)FM〃平面AOE；

(2)平面ACD_L平面ADE.

如圖，四棱錐P-A3CD中，B4_L底面ABC。，AB_L4￡),點E在線段上，且CE〃AA

(1)求證：CE_L平面E4D；

(2)若B4=A3=1,A￡)=3,CD=p,/CD4=45。，求四棱錐尸-ABC。的體積.

3.如圖1,在直角梯形ABC。中，AB//CD,ABLBC,AB=2CD,DELAB,沿。E將

△AE。折起到△4即的位置，連接A/,AiC,M,N分別為AC，BE的中點，如圖2.

NB

圖2

(1)求證：￡)￡±AiB；

(2)求證：〃平面4EO；

(3)在棱A山上是否存在一點G,使得EG,平面42C?若存在，求出然的值；若不

存在，說明理由.

點點練28直線、平面的平行與垂直關(guān)系

-基礎(chǔ)小題練透篇

1.答案：B

解析：如圖，在長方體"6磬-A'B'CD'中，

A'B'〃平雨ABCD,B,C〃平面/及/，但HB'與HC相交，故①錯誤;B',

A'B'〃平面/氏力,但48u平面48切，故②錯誤；A'B'〃平面4%力，8Cu平面480),但

A1B'與"?異面，故③錯誤；④顯然正確.

2.答案：B

解析：

由題意可知，如圖所示，

對于A,由圖可知，〃'與平面比F不平行，故A錯誤；

對于B,易知6C_L平面"Z應(yīng)，A上平面AFDE,所以6CL49,同理比工相，

BCCEC=C,BC,及七平面兆及

所以4LL平面兆瓦故B正確.

對于C,在正方形初CF中，F(xiàn)DLBC,易知四邊形如刃為平行四邊形，所以/￡〃功，所

以AELBC,故C錯誤.

對于D,在正方形中，BF//DC,所以/ZO為異面直線即與。所成角，易知/DCE

=45°,所以胡與磔'不垂直，故D錯誤.故選B.

3.答案：D

解析：題中未涉及垂直條件，故排除A,B；連接應(yīng)IhCB,則物1與交于點￡,所

以直線砂與平面的1。相交，即直線廝與平面26c相交，故排除C；連接合。交6G于點

F,由于平行四邊形6CC心的對角線互相平分，故尸是笈C的中點.因為公是/笈的中點，所

以廝是三角形8/C的中位線，故所〃北又平面/CG4,所以廝〃平面/CG4.故選

D.

4.答案：B

、后

解析：?.?曲」平面4區(qū)處與平面4AG所成的角為瓦又81G=1,縱=匕-,

可得02=坐，而平面4合4〃平面/6C,；.與平面/6C所成角的正弦值為鐺.

5.答案：B

解析：設(shè)正方體的棱長為a,如圖，取4?的中點G,連接加,過G作做〃加，與4"

交于點H,貝1點FGGH,且〃G，平面ABCD,則即為"與平面4%/所成角，當(dāng)所長

亞

、歷乖z0/2a

度最大時，點尸與點〃重合，EG=*a,EH=a,侍cos/HEG=「

2a

亞

3.

6.答案：D

解析：取繆的中點。，連接/。、B0,如圖所示:

對于A,點4、F、。和點反E、。分別共線，

AFBE

因為點反尸分別為△氏力和△/5的中心，所以G=擊）=2,

樂以EF〃AB,所以選項A正確；

對于B,因為BOLCD,AO,B上平面ABO,且所以5_L平面26。，

即切，平面打空選項B正確；

對于C,因為平面力用，所以切_1/6,選項C正確；

1、6

對于D,因為EF〃AB,設(shè)28=1,所以及占可，易知B0=*~,

O乙

在Rt△/旗中，BE=-B0=-X-^5-=^—,

oj乙j

所以/￡=,/?一初=yji—（坐）2=乎，/肝;EF,選項D錯誤.

7.答案：［5

解析：根據(jù)題意，因為成〃平面/8C所以成〃/二又￡是加的中點，所以廠是必

的中點.因為在Rt△g'中，DE=DF=\,故所取.

二能力小題提升篇

1.答案：D

解析：①，由直線/_L平面a,直線歸平面￡,若?！ā?/_L〃，故①正確；

②，若a，Bnl〃m或1、0異面或/、勿相交，故②錯誤；

③，利用面面垂直的判定，若1〃gaL8,故③正確；

④，老a//B或a、￡相交或a、￡垂直，故④錯誤.

所以①③正確.

2.答案：B

解析：對于選項A,若加〃。，n//a,則勿與〃可以平行，相交，或為異面直線，因此

不正確；對于選項B,若a±J3,/_1_￡且any=m,則nil.B,因此正確；對于選項C,

若歸a,〃ua,勿〃￡,〃〃￡,則a與￡不一定平行，因此不正確；對于選項D,若0_1_a,

nil3、a則0與〃不一定垂直，因此不正確.綜上，正確的命題是B.故選B.

3.答案：D

解析：因為4%與G4異面，所以A項錯誤；因為4N的延長線必過點8,則直線/W與

平面54〃相交，所以B項錯誤；因為與不垂直，所以44不垂直于平面/椒所以C

項錯誤；取血的中點P,連接PB\,在正方形BCGBy中,△笈在與△6。/全等，可得BMLRP,

連接/RJU1]APLBC,又平面底面力64平面6（%61n底面/%=64所以4PL平面

BCCB,因為倒仁平面久霜笈，所以傲1.4°,久APCB、P=P,AP,笈/t平面區(qū)//，所以創(chuàng)_L

平面BMP,因為瓦4u平面B.AP,所以BMLAB,.故選D.

4.答案：C

解析：A選項，過/作加」8G垂足為凡

根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知陰_1平面ABC,

由于/足平面ABC,所以BB.VAF,

由于BCC陽=B,BC,圈u平面BCQBx,

所以AFV平面BCCB,即AFL平面B.DE,

由于/Az平面ABC,所以平面平面BxDE,A選項正確.

B選項，根據(jù)三棱柱的性質(zhì)可知4月〃8,即4/〃/；

由于4加平面6防及DEu平面&DE,所以44〃平面為明B選項正確.

C選項，若月臺_L平面業(yè)應(yīng)，即/6_L平面

由于4月u平面44Gq所以/笈，44這與已知46,4/不垂直矛盾，C選項錯誤.

D選項，VA-B\DE=VB\-ADE,由于三角形/龍的面積為定值、笈到平面444C的距

離為定值，

所以VA-B、DE=VB\-/座為定值，所以D選項正確.

故選C.

5.答案：DMLPC（或BMLPC）

p

解析：連接/c,BD,貝|J/C_L如，：為_L底面/a"底湎ABCD,：.PA±BD.

又陽C/C=4PA,/Ct平面為C,

平面PAC,

J.BDLPC.

:.當(dāng)DMLPC(或BMLPO時，即有尸C_L平面的切.

而依:平面PCD,

平面颯4平面PCD.

6.答案：①③④

解析：①設(shè)4到平面旗切的距離為瓦，到四的距離為〃，則VA-A.DE\VALBCDE

.<1）_、ADE:S梯形EBCCP^（〈XAEXh1）:CD+BE,

Xh:[gX弧形項c〃義力J=S&

1：3,故①正確；②4。在平面力及刀中的射影在47上，AC與龍不垂直，.?.應(yīng)1與4c不垂

直，故②錯誤；③取切的中點尸，連接版，BF,則加〃4。且痂=；4〃FB〃EDaFB=

ED,可得平面小〃平面4龐，；.總有胡〃平面4龐，故③正確；易知/MFB=/A\DE,由

余弦定理可得座=旃+〃-2版?朋?cosN加乃是定值，故④正確.

三高考小題重現(xiàn)篇

1.答案：B

解析：對于A,a內(nèi)有無數(shù)條直線與￡平行，當(dāng)這無數(shù)條直線互相平行時，a與S

可能相交，所以A不正確；對于B,根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B正確；對于C,

平行于同一條直線的兩個平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對于D,垂直于同一

平面的兩個平面可能相交，也可能平行，如長方體的相鄰兩個側(cè)面都垂直于底面，但它們是

相交的，所以D不正確.綜上可知選B.

2.答案：A

解析：A項，作如圖①所示的輔助線，其中2為歐的中點，則初〃4K

1平面仞%)=0,.?.在與平面的圖相交，直線四與平面以圖相交.

B項，作如圖②所示的輔助線，貝?、?，CD"MQ,：.AB〃MQ.八ABX斗南MNQ,弊平

面平面以陶

C項，作如圖③所示的輔助線，則力6〃3,CD//MQ,：.AB//MQ,又/冽平面胸閹MQc.

平面歷閽；.45〃平面筋0

D項，作如圖④所示的輔助線，則加〃切,CD//NQ,：.AB//NQ.又/因平面MNQ,NQu

平面仞闋，46〃平面例圖

3.答案：C

解析：

如圖，：4￡在平面46口上的射影為力￡,而〃不與AC,即垂直，二B,D錯；

4￡在平面8＜羽笈上的射影為8c且

A\ELBC\

（證明：由條件易知，BCBCBQLCE,又CECB\C=C,6G_L平面儂出.又4￡u

平面煙心，；.4及L8G）,故C正確；

4￡在平面2GG〃上的射影為〃及而不與因垂直，故A錯.

4.答案：ABD

解析:如圖（1）,連接區(qū)C因為的所以直線aI與〃41所成的角為90°,

所以A正確.

如圖（2）,連接8K因為8G_L6cBGLAB,,BKCAB=B、,BC46u平面48C,所

以閱J_平面46c所以閱所以B正確，如圖（3）,連接4G,交A2于點。，連接

BO,AB.易證4G_L平面初《幾所以NG6。為直線G6與平面薇兒S所成的角，NGH=30°,

所以C錯誤.

圖⑶

如圖(4),因為GC_L平面ABCD,所以NG比'為直線6G與平面力及力所成的角，且NG比'

=45°,所以D正確.故選ABD.

5.答案：②③④

解析：若R_LA,ml.a,則A〃?；駻Ua,又〃〃￡,貝!!a,￡可能相交或平行，所

以①錯誤；若/，。，n//a,則所以②正確；若a〃￡,?c。，由面面平行的性質(zhì)

可得0〃￡,③正確；由線面所成角的定義可得④正確.故正確命題是②③④.

6.答案：

解析：設(shè)20_L平面46c于。，PELAC干E,PF1BC于F,連接施'、OF、0C,

POL平面ABC,：.POLAC,

%POCPE=P,PO,PEu平面POE,平面?施；在'u平面產(chǎn)陽

：.ACVOE,

同理有6c上陽.?.四邊形阪尸為矩形，

,:PC=PC且PE=PF,

.?.RtZWC2RtzWC,

:.EC=FC=qPd-Pm=1,

四邊形磔尸是邊長為1的正方形，

0C=y[2,

在Rt△尸％中，=A/2.

四經(jīng)典大題強化篇

1.證明：(1)取龍的中點“連接版V,FN,因為F,M,N分別為CD,龍的中點,

所以"V'〃龐，F(xiàn)N//AE.

又因為/￡,以u平面/龐，F(xiàn)N,平面ADE,

所以