第六節(jié) 空間曲線及其方程（導(dǎo)學(xué)解答）

5.6空間曲線及其方程一、相關(guān)問題1．指出曲線在面上的投影為何種曲線.解：在方程組的兩個方程中消去，可得投影曲線的方程為，它是面上一個以圓點(diǎn)為圓心，半徑為的圓.2．在空間直角坐標(biāo)系中，旋轉(zhuǎn)拋物面與球面的交線是什么圖形？一般來說，，代表什么圖形？解：聯(lián)立拋物面與球面的方程可得，交線為平面上的一個圓.一般地，表示空間曲線，即兩空間曲面的與的交線.二、相關(guān)知識1．如果空間一動點(diǎn)在圓柱面上從點(diǎn)出發(fā)以角速度繞軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度沿軸正方向上升（其中，都是常數(shù)），那么動點(diǎn)的運(yùn)動軌跡稱為螺旋曲線，試建立其方程.解：假設(shè)時刻，動點(diǎn)的位置在，于是，設(shè)在面上的射影為,則.于是點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組：，消去參數(shù)可得其方程為：.如果令為參數(shù)，則螺旋曲線可表示為.2．怎么定義曲線的方程？答：空間曲線可看作是兩空間曲面的交線，把兩空間曲面的一般方程和，聯(lián)立起來得到的方程組就是空間曲線（曲面交線）的一般方程,曲線上的每點(diǎn)都滿足該方程組，反之，任何滿足該方程組的有序數(shù)組一定是曲線上某個點(diǎn)的坐標(biāo).3．空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影一般是什么圖形，如何建立這個投影圖形的方程？答：空間曲線在坐標(biāo)平面上的投影一般是平面曲線，在空間曲線的方程中消去該坐標(biāo)平面中坐標(biāo)恒為(橫、縱、豎)的那個坐標(biāo)，得到其中一個方程再與坐標(biāo)平面的方程聯(lián)立，即得投影曲線的方程.三、練習(xí)題1．方程組代表什么圖形？答：第一個方程表示以原點(diǎn)為圓心，為半徑的上半球面，第二個方程表示母線平行于軸的圓柱面，所以方程組代表上半球面與圓柱面的交線.2．分別求母線平行于軸和軸，且通過曲線的柱面方程；解：母線平行于軸：設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的母線為：，將其代入，消去t得到柱面方程為：.同樣可得母線平行于軸的柱面方程為：.3．已知兩個球面的方程為和求它們的交線在平面上的投影.解：聯(lián)立上述兩個方程消去可得：與聯(lián)立可得投影為：.四、思考題1．試求橢圓曲面與平面的交線方程；解：將代入橢圓曲面方程可得：，交線方程為：.2．設(shè)平面上一動點(diǎn)到點(diǎn)的距離為到點(diǎn)的距離的一半，求動點(diǎn)軌跡的方程.解：設(shè)為軌跡上的點(diǎn)，根據(jù)條件：，軌跡方程為：.3．試求拋物面與平面的交線在平面上的投影曲線方程.解：聯(lián)立拋物面與平面方程得方程組：消去得曲線方程為：.