2024-2025學(xué)年長(zhǎng)沙市望城區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷附答案解析

-2025學(xué)年長(zhǎng)沙市望城區(qū)高二數(shù)學(xué)上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試卷（全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘）2024.08一、選擇題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知函數(shù)是上奇函數(shù)，則（

）A．4B．3C．2 D．12．我們的數(shù)學(xué)課本《人教A版必修第一冊(cè)》第121頁(yè)的《閱讀與思考》中介紹：“一般地，如果某物質(zhì)的半衰期為h，那么經(jīng)過(guò)時(shí)間t后，該物質(zhì)所剩的質(zhì)量，其中是該物質(zhì)的初始質(zhì)量.”現(xiàn)測(cè)得某放射性元素的半衰期為1350年（每經(jīng)過(guò)1350年，該元素的存量為原來(lái)的一半），某生物標(biāo)本中該放射性元素的初始存量為m，經(jīng)檢測(cè)現(xiàn)在的存量為.據(jù)此推測(cè)該生物距今約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2452年 B．2750年 C．3150年 D．3856年3．設(shè)為二次函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．已知向量，，若，則（

）A． B．4 C． D．205．“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的（

）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件6．如圖，在三棱錐的平面展開(kāi)圖中，四邊形是菱形，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．7．有四根長(zhǎng)都為2的直鐵條，若再選兩根長(zhǎng)都為a的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相連能夠焊接成一個(gè)三棱錐形的鐵架，則a的取值范圍是A．（0,）B．（1,）C．(,） D．（0,）8．如圖，四邊形中，，若，且，則面積的最大值為（

）

A． B． C． D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)得0分.9．已知函數(shù)，則下列敘述中，正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng) B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng) D．函數(shù)是偶函數(shù)10．如圖，正方體中，，是線(xiàn)段上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，始終在同一個(gè)平面內(nèi)B．平面C．D．若正方體的棱長(zhǎng)和線(xiàn)段的長(zhǎng)均為定值，則三棱錐的體積為定值11．如圖，在菱形中，，，將沿對(duì)角線(xiàn)翻折到位置，連結(jié)，則在翻折過(guò)程中，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．存在某個(gè)位置，使得B．當(dāng)二面角的大小為時(shí)，C．與平面所成的最大角為D．存在某個(gè)位置，使得到平面的距離為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，夾角為45°，且，，則.13．已知符號(hào)表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)（），給出下列四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②為偶函數(shù)；③在單調(diào)遞減；④若方程有且僅有3個(gè)根，則a的取值范圍是.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.14．已知單位向量，與非零向量滿(mǎn)足，，則的最大值是.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或驗(yàn)算步驟.15．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值.（3）已知，化簡(jiǎn)；（4）已知，，求的值.16．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.(1)求；(2)若點(diǎn)滿(mǎn)足，且，求的面積的最大值；(3)若，求證：是直角三角形.17．為了讓羽毛球運(yùn)動(dòng)在世界范圍內(nèi)更好的發(fā)展，世界羽聯(lián)將每年的7月5日定為“世界羽毛球日”.在今年的“世界羽毛球日”里，某主辦方打算一辦有關(guān)羽毛球的知識(shí)競(jìng)答比賽.比賽規(guī)則如下；比賽一共進(jìn)行4輪，每輪回答1道題.第1輪獎(jiǎng)金為100元，第2輪獎(jiǎng)金為200元，第3輪獎(jiǎng)金為300元，第4輪獎(jiǎng)金為400元.每一輪答對(duì)則可以拿走該輪獎(jiǎng)金，答錯(cuò)則失去該輪獎(jiǎng)金，獎(jiǎng)金采用累計(jì)制，即參賽者最高可以拿到1000元獎(jiǎng)金.若累計(jì)答錯(cuò)2題，則比賽結(jié)束且參賽者獎(jiǎng)金清零.此外，參賽者在每一輪結(jié)束后都可主動(dòng)選擇停止作答?結(jié)束比賽并拿走已累計(jì)獲得的所有獎(jiǎng)金，小陳同學(xué)去參加比賽，每一輪答對(duì)題目的概率都是，并且小陳同學(xué)在沒(méi)有損失獎(jiǎng)金風(fēng)險(xiǎn)時(shí)會(huì)一直選擇繼續(xù)作答，在有損失獎(jiǎng)金風(fēng)險(xiǎn)時(shí)選擇繼續(xù)作答的可能性為.(1)求小陳同學(xué)前3輪比賽答對(duì)至少2題的概率；(2)求小陳同學(xué)用參加比賽獲得的獎(jiǎng)金能夠購(gòu)買(mǎi)一只價(jià)值499元的羽毛球拍的概率.18．淮安有軌電車(chē)是服務(wù)于淮安市的城市軌道交通，一期工程于2014年2月19日開(kāi)工建設(shè)，2015年12月28日正式通車(chē)，是全國(guó)第七座、江蘇第三座開(kāi)通有軌電車(chē)的城市．淮安有軌電車(chē)一期工程線(xiàn)路西起市體育館，沿交通路至大運(yùn)河廣場(chǎng)北側(cè)，經(jīng)和平路至水渡口廣場(chǎng)，向南沿翔宇大道、楚州大道至淮安區(qū)馬甸連接線(xiàn)，全長(zhǎng)20．07公里，共設(shè)車(chē)站23個(gè)．淮安有軌電車(chē)一期工程使用超級(jí)電容，利用停站時(shí)的30秒鐘就可把電車(chē)上的電池充滿(mǎn)，剎車(chē)時(shí)產(chǎn)生的80%的動(dòng)能被回收并轉(zhuǎn)化成電能，節(jié)能效果最好．正是采用超級(jí)電容供電，淮安有軌電車(chē)才會(huì)成為目前全球最長(zhǎng)的無(wú)接觸網(wǎng)現(xiàn)代有軌電車(chē)線(xiàn)路，且有軌電車(chē)的高效運(yùn)行給市民出行帶來(lái)很大便利．已知淮安有軌電車(chē)的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿(mǎn)足．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，電車(chē)載客量與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)電車(chē)為滿(mǎn)載狀態(tài)，載客量為200人；當(dāng)時(shí)載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)與的平方成正比，且發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為2分鐘時(shí)的載客量為72人．記電車(chē)載客量為．（1）求的表達(dá)式，并求當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為6分鐘時(shí)，電車(chē)的載客量：（2）若該線(xiàn)路每分鐘的凈收益為（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車(chē)的時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線(xiàn)路每分鐘的凈收益最大？19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．(1)若，求A；(2)在第（1）問(wèn)的前提下，若，求△ABC的周長(zhǎng)的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．1．D【分析】利用奇函數(shù)的定義可求參數(shù)的值.【詳解】因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，故，所以=0，故，當(dāng)時(shí)，，，則是奇函數(shù)，所以.故選：D.2．C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意可知，兩邊取對(duì)數(shù)得，故選：C3．C【分析】根據(jù)題意結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)分析求解.【詳解】∵反函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則函數(shù)過(guò)點(diǎn)，結(jié)合題意可得：函數(shù)過(guò)點(diǎn)和，則，解得，故選：C.4．A【分析】由向量垂直的性質(zhì)和向量的模長(zhǎng)計(jì)算可得.【詳解】，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：A5．A【解析】根據(jù)充分條件與必要條件的判斷，看條件與結(jié)論之間能否互推，條件能推結(jié)論，充分性成立，結(jié)論能推條件，必要性成立，由此即可求解.【詳解】若方程表示雙曲線(xiàn)，則或，所以“”是“方程表示雙曲線(xiàn)”的充分而不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題以雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及充分必要條件的判斷，考查理解辨析能力，屬于基礎(chǔ)題.6．C【分析】將三棱錐的直觀(guān)圖還原，確定出球心，進(jìn)而算出球的半徑得到答案.【詳解】將三棱錐的直觀(guān)圖還原，如圖所示，則，∴，∴．取的中點(diǎn)O，連接，則，∴O為三棱錐外接球的球心，半徑，故三棱錐外接球的表面積．故選：C.7．A【詳解】

綜上，選A8．C【分析】線(xiàn)段上取點(diǎn)E使得，結(jié)合已知可得，進(jìn)而有，設(shè)，，再結(jié)合相關(guān)三角形面積、線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系得，進(jìn)而得，即可求最大值.【詳解】線(xiàn)段上取點(diǎn)E使得，又，則，故，所以，則，設(shè)，則.由上易知，且，而，所以，則，結(jié)合及，且，由三角形內(nèi)角性質(zhì)，所以，綜上，.故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：線(xiàn)段上取點(diǎn)E使得，利用向量加減、數(shù)乘整理題設(shè)條件為，進(jìn)而得到相關(guān)三角形面積、線(xiàn)段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合及三角形面積公式求最值.9．AB【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性判斷AC，利用正切函數(shù)的單調(diào)性判斷B，由偶函數(shù)的定義，利用特殊值判斷D．【詳解】，A正確；當(dāng)時(shí)，，因此此時(shí)單調(diào)遞增，B正確；函數(shù)的圖象不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移個(gè)單位得到的，所以其圖象也不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，C錯(cuò)誤；因?yàn)?，但不存在，D錯(cuò)誤，故選：AB．10．BCD【分析】A．根據(jù)點(diǎn)與平面的關(guān)系作出判斷；B．根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理進(jìn)行分析；C．根據(jù)與平面的位置關(guān)系作出判斷；D．設(shè)出正方體棱長(zhǎng)以及的長(zhǎng)度，根據(jù)條件得到到平面的距離，從而可計(jì)算出三棱錐的體積并完成判斷.【詳解】因?yàn)?，，同在平面上，而不在平面上，所以，不在同一個(gè)平面內(nèi)，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故B正確；因?yàn)槠矫妫矫?，所以，連接，交于點(diǎn)，則，而，平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫?，故C正確；不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，，則.由于平面，則平面，，所以.因?yàn)?，為定值，所以三棱錐的體積為定值，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：空間中線(xiàn)面平行的證明以及三棱錐體積計(jì)算的注意事項(xiàng)有：（1）證明線(xiàn)面平行時(shí)，注意說(shuō)明哪一條直線(xiàn)在面內(nèi)，哪一條直線(xiàn)不在面內(nèi)；（2）求解三棱錐體積時(shí)，注意選擇合適的點(diǎn)作為頂點(diǎn)，合適的三角形作為底面積，這樣可以很大程度上簡(jiǎn)化計(jì)算.11．BCD【分析】選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P在平面BCD內(nèi)的投影為△BCD的重心點(diǎn)Q時(shí)，可得PD?平面PDQ，PD⊥BC，即可判斷；選項(xiàng)B：取BD的中點(diǎn)O，連接OP、OC，則OP＝OC．當(dāng)二面角P﹣BD﹣C的大小為90°時(shí)，平面PBD⊥平面BCD，即可得△POC為等腰直角三角形，即可判斷；選項(xiàng)C：由題可得PC與平面BCD所成的角為∠PCO，當(dāng)PC時(shí)，由余弦定理知∠PCO＞60°，即可判斷；選項(xiàng)D：若B到平面PDC的距離為，則有DB平面PCD，即DB⊥CD，與△BCD是等邊三角形矛盾．【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)點(diǎn)P在平面BCD內(nèi)的投影為△BCD的重心點(diǎn)Q時(shí)，有PQ⊥平面BCD，DQ⊥BC，∴PQ⊥BC，又DQ∩PQ＝Q，DQ、PQ?平面PDQ，∴BC⊥平面PDQ，∵PD?平面PDQ，∴PD⊥BC，即選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：取BD的中點(diǎn)O，連接OP、OC，則OP＝OC．當(dāng)二面角P﹣BD﹣C的大小為90°時(shí)，平面PBD⊥平面BCD，∵PB＝PD，∴OP⊥BD，∵平面PBD∩平面BCD＝BD，∴OP⊥平面BCD，∴OP⊥OC，又OP＝OC，∴△POC為等腰直角三角形，∴PCOP，即選項(xiàng)B不正確；選項(xiàng)C：由題可知，△ABD和△BCD均為等邊三角形，由對(duì)稱(chēng)性可知，在翻折的過(guò)程中，PC與平面BCD所成的角為∠PCO，，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：∵點(diǎn)B到PD的距離為，點(diǎn)B到CD的距離為，∴若B到平面PDC的距離為，則平面PBD⊥平面PCD．平面CBD⊥平面PCD，則有DB⊥平面PCD，即DB⊥CD，與△BCD是等邊三角形矛盾．即選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BCD．12．【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算，再開(kāi)根即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄繆A角為，，，所以，所以.故答案為：.13．①③④【分析】根據(jù)新定義分析得到的圖象，即可判斷①②③；將方程有且僅有3個(gè)根轉(zhuǎn)化為與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，然后結(jié)合圖象即可判斷④.【詳解】因?yàn)榉?hào)x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，若函數(shù)，所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；所以函數(shù)的圖象如圖所示：對(duì)于①，由上面的圖象可知，①是正確的，對(duì)于②，由上面的圖象可知，②是錯(cuò)誤的，對(duì)于③，由上面的圖象可知，③是正確的，對(duì)于④，由上面的圖象可知，，，，因?yàn)榉匠逃星覂H有3個(gè)根，等價(jià)于與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)或.故答案為：①③④.14．【分析】根據(jù)題意設(shè)，，，由得出的范圍，由得出關(guān)系，則，根據(jù)得出的關(guān)系以及取等的條件可得出答案.【詳解】設(shè)，，所以由，可得，即由，可得所以又，所以則當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.此時(shí)，或即，或（這與矛盾，故舍去），由，則，即所以，解得此時(shí)所以故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)模的范圍求夾角的范圍和求向量數(shù)量積的最大值，解答本題的關(guān)鍵是由條件得出的范圍，由得出關(guān)系，再將關(guān)系代入中，根據(jù)取等條件得出答案，屬于中檔題.15．（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系，可得的值，代入所求，即可得答案；（2）左右同時(shí)平方，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及二倍角公式，即可得答案；（3）根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及二倍角公式，化簡(jiǎn)可得所求=，根據(jù)的范圍，可得的范圍，分析即可得答案；（4）根據(jù)兩角和的正切公式，結(jié)合題干條件，可得的值，根據(jù)二倍角正切公式，代入計(jì)算，即可得答案.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以?）因?yàn)?，左右同時(shí)平方可得：，所以，所以（3），因?yàn)?，所以，所以，所以；?），所以16．(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用向量化結(jié)合基本不等式求出的最大值，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解；（3）由（1）及余弦定理得出的關(guān)系，再利用正弦定理化邊為角，進(jìn)而可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又，則，又，所以，即，又且，所以，所以，所以；（2）因?yàn)?，所以，則，即，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則，即的面積的最大值為；（3）由（1）及余弦定理得，整理得，由正弦定理得，則，得，所以，又，所以，所以，所以，所以，所以是直角三角形.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”；（2）利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”.求三角形有關(guān)代數(shù)式的取值范圍也是一種常見(jiàn)的類(lèi)型，主要方法有兩類(lèi)：（1）找到邊與邊之間的關(guān)系，利用基本不等式來(lái)求解；（2）利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的三角函數(shù)，利用函數(shù)思想求解.17．(1)(2)【分析】（1）前3輪比賽答對(duì)至少2題包含三題都答對(duì)，或三題中只答對(duì)兩題，然后由互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算；（2）記小陳同學(xué)參加比賽獲得的獎(jiǎng)金為（單位：元），由題意需要分別計(jì)算的概率，各個(gè)概率可獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算，然后相加后可得結(jié)論．【詳解】（1）記“小陳同學(xué)前3輪比賽答對(duì)至少2題”為事件，第1輪答錯(cuò)時(shí)沒(méi)有損失獎(jiǎng)金風(fēng)險(xiǎn)，故前2輪必答；前3輪比賽答對(duì)至少2題包含兩種情況