江蘇省南通市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次全真沖刺模擬試題含解析

PAGE27-江蘇省南通市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期第三次全真沖刺模擬試題（含解析）一?填空題1.設(shè)集合，，若，則______.【答案】4【解析】【分析】由，所以，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，集合，，因為，所以，故.故答案為.【點睛】本題主要考查了利用集合的運算求解參數(shù)問題，其中解答中熟記集合交集的概念，得到是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，屬于簡潔題.2.已知復(fù)數(shù)滿意（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模為________【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出z1﹣i，由此能求出復(fù)數(shù)z-i的模．【詳解】∵復(fù)數(shù)z滿意z?i＝1+i（i是虛數(shù)單位），∴z1﹣i，∴復(fù)數(shù)z-i=1﹣2i,故的模為：．故答案為．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的求法，考查復(fù)數(shù)的運算法則等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力，是基礎(chǔ)題．3.對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進行抽樣檢測，樣本容量為，如圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖，依據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)，單件產(chǎn)品長度在區(qū)間的為一等品，在區(qū)間和的為二等品，其余均為三等品，則樣本中三等品的件數(shù)為______.【答案】【解析】【分析】由頻率分布直方圖計算一等品和二等品的頻率，求三等品的頻率，依據(jù)頻數(shù)=樣本容量頻率，計算樣本中三等品的件數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖可知一等品的頻率是，二等品的頻率是，所以樣品中三等品的頻率是，所以樣品中三等品的件數(shù)是.故答案為：50【點睛】本題考查頻率分布直方圖中頻率，頻數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題型.4.冪函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在在是減函數(shù)，并且依據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】因為冪函數(shù)在是減函數(shù)，又因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)在是增函數(shù).故答案為：【點睛】本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)，偶函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.5.依據(jù)圖中所示的偽代碼，可知輸出的結(jié)果S為____．【答案】【解析】【分析】模擬程序語言的運行過程知該程序運行后輸出S＝3+4+5．【詳解】模擬程序的運行過程如下，S＝0，I＝2，滿意條件；I＝3時，S＝0+3＝3，滿意條件；I＝4時，S＝3+4＝7，滿意條件；I＝5時，S＝7+5＝12，不滿意條件；∴該程序運行后輸出S＝12．故答案為12．【點睛】本題考查了程序語言的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．6.設(shè)實數(shù)滿意則的最大值為________【答案】3【解析】【詳解】試題分析：可行域為一個三角形ABC及其內(nèi)部，其中，則直線過點C時取最大值3考點：線性規(guī)劃【易錯點睛】線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想.須要留意的是：一，精確無誤地作出可行域；二，畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要留意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避開出錯；三，一般狀況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.7.已知雙曲線的一條漸近線平行于直線l：y＝2x＋10，雙曲線的一個焦點在直線l上，則雙曲線的方程為________．【答案】【解析】分析】依據(jù)漸近線與直線的平行關(guān)系確定出的關(guān)系，再依據(jù)焦點在上確定出的值，結(jié)合計算出即可得到雙曲線的方程.【詳解】因為一條漸近線與平行，所以，又因為雙曲線的焦點為，且直線過點，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程為：.故答案為：.【點睛】本題考查依據(jù)直線的平行關(guān)系求解參數(shù)、依據(jù)的值求解雙曲線的方程，難度一般.當(dāng)直線過標(biāo)準(zhǔn)形式橢圓或者雙曲線的焦點時，此時焦點肯定為直線與坐標(biāo)軸的交點.8.已知雙曲線的左?右頂點為?，焦點在軸上的橢圓以?為頂點，且離心率為，過作斜率為的直線交雙曲線于另一點，交橢圓于另一點，若，則的值為______.【答案】【解析】【分析】首先由已知求得橢圓方程，設(shè)，利用中點坐標(biāo)公式表示，將兩點坐標(biāo)分別代入橢圓和雙曲線方程，求得的值，并表示斜率.【詳解】對于橢圓，明顯，，所以橢圓方程為，設(shè)，則由得.因為點在雙曲線上，點在橢圓上，所以，，解得，，，所以,故直線的斜率.故答案為：【點睛】本題考查橢圓，雙曲線方程，直線與橢圓和雙曲線的位置關(guān)系，點與橢圓和雙曲線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.9.已知函數(shù)，若，則的值為______.【答案】【解析】【分析】方法一：首先化簡，由條件求出的值，然后利用誘導(dǎo)公式求值.方法二：首先化簡函數(shù)，再依據(jù)條件求出，再將綻開，計算求值.【詳解】方法一，因為，所以，所以.方法二，因為，所以，所以.故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)恒等變形，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸，變形，計算，屬于基礎(chǔ)題型.10.已知函數(shù)，，則的解集是______.【答案】【解析】【分析】首先去掉肯定值，寫成分段函數(shù)，并推斷分段函數(shù)的單調(diào)性，依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，解抽象不等式.【詳解】，所以在上單調(diào)遞增，在上為常數(shù)函數(shù)，則，解得.【點睛】本題考查函數(shù)肯定值函數(shù)，解抽象不等式，重點考查推斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題型.本題的關(guān)鍵是將函數(shù)寫成分段函數(shù)，并推斷函數(shù)的單調(diào)性.11.定義在上的函數(shù)的值恒非負(fù)，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由題意可知恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最小值.【詳解】由題意可知，所以是減函數(shù)，所以函數(shù)的最小值是因為恒成立，所以，即，即，所以的最大值是.故答案為：【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性，最值，恒成立問題，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為.12.在中，若，則的值為______.【答案】【解析】【分析】首先設(shè)，利用向量數(shù)量積和余弦定理求得，再代入余弦定理求值.【詳解】設(shè)，所以所以即所以所以.故答案為：【點睛】本題考查向量數(shù)量積和余弦定理的綜合應(yīng)用，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，計算實力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是將已知條件設(shè)為.13.若中，，45°，為所在平面內(nèi)一點且滿意，則長度的最小值為________【答案】【解析】【分析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，求得，令，解得，進而利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求得取得最小值.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由題意，，設(shè)，所以，所以，即，令，則，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值.【點睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，其中建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，利用向量的數(shù)量積的運算，得到，利用表示出關(guān)于的二次函數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的實力，試題有肯定的綜合性，屬于中檔試題.14.已知偶函數(shù)滿意，且在時，，若存在滿意，且，則最小值為______.【答案】【解析】【分析】首先由條件可知函數(shù)的最小正周期為4的偶函數(shù)，并且函數(shù)的值域是，對隨意都有，要使取得最小值，盡可能多讓取得最高點，然后得到的最小值.【詳解】因為偶函數(shù)滿意，所以，所以函數(shù)是最小正周期為的偶函數(shù)，且在時，，所以函數(shù)的值域為，對隨意都有，要使取得最小值，盡可能多讓取得最值點，且，，，因為，且，依據(jù)，相應(yīng)的的最小值為.故答案為：1009【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，考查函數(shù)的周期性，有界性，考查了分析問題和解決問題的實力，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題型.二?解答題15.已知函數(shù)的最小值是－2，其圖象經(jīng)過點．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）求三角函數(shù)解析式，一般是依據(jù)待定系數(shù)法求解：依據(jù)最小值是－2，確定A＝2．依據(jù)圖象經(jīng)過點，可得，解得（2）由已知得，求，利用同角三角函數(shù)關(guān)系得，代入化簡得的值試題解析：（1）因為的最小值是－2，所以A＝2．又由的圖象經(jīng)過點，可得，，所以或，又，所以，故，即．（2）由（1）知，又，，故，即，又因為，所以，所以．考點：三角函數(shù)解析式，給值求值16.如圖，在四棱錐中，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若為的中點，求證：平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由，，得平面，由此能證明平面平面；（2）取中點，連結(jié)，，推導(dǎo)出平面，平面,從而平面平面，由此能證明平面．【詳解】（1），．，且平面,平面，平面，平面平面．（2）取中點，連結(jié)，，為的中點，，，，，四邊形是平行四邊形，，∵平面，平面,所以平面，同理平面，平面平面平面，平面，平面．【點睛】本題考查面面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運算求解實力．17.有一塊以點為圓心，半徑為百米的圓形草坪，草坪內(nèi)距離點百米的點有一用于澆灌的水籠頭，現(xiàn)打算過點修一條筆直小路交草坪圓周于兩點，為了便利居民漫步，同時修建小路，其中小路的寬度忽視不計.（1）若要使修建的小路的費用最省，試求小路的最短長度；（2）若要在區(qū)域內(nèi)(含邊界)規(guī)劃出一塊圓形的場地用于老年人跳廣場舞，試求這塊圓形廣場的最大面積.(結(jié)果保留根號和)【答案】（1）(百米).（2）.【解析】【分析】（1）要使最短，只須要最小即可，依據(jù)弦長公式可知當(dāng)時，弦最??；（2）當(dāng)廣場所在的圓與內(nèi)切時，面積最大，由弦長公式可得，再由三角形面積公式表示半徑，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則.（1）小路的長度為，因為長為定值，故只須要最小即可.作于，記，則，又，故，此時點為中點.故小路的最短長度為(百米).（2）明顯，當(dāng)廣場所在的圓與內(nèi)切時，面積最大，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，則的面積為，由弦長公式可得，所以，設(shè)，則，所以，又因為，即，所以，所以，所以，即的內(nèi)切圓的面積最大值為.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的應(yīng)用，重點考查數(shù)形結(jié)合分析問題的實力，抽象概括實力，以及計算實力，屬于重點題型，其次問是本題的難點，須要表示三角形面積和弦長公式，轉(zhuǎn)化求半徑.18.如圖，點分別為橢圓的左?右頂點和右焦點，過點的直線交橢圓于點.（1）若，點與橢圓左準(zhǔn)線的距離為，求橢圓的方程；（2）已知直線的斜率是直線斜率的倍.①求橢圓的離心率；②若橢圓的焦距為，求面積的最大值.【答案】（1）.（2）①；②【解析】【分析】由所給條件列出關(guān)于的式子，求出橢圓方程；（2）①方法一，首先利用點在橢圓上，求得，再利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立，求得，再利用的關(guān)系，求得橢圓離心率；方法二，利用的關(guān)系，分別設(shè)直線的方程為，直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，解出點的坐標(biāo)，利用點三點共線，求得離心率.②首先求得橢圓方程，并表示面積，由①方法一，代入根與系數(shù)的關(guān)系，求面積的最大值.【詳解】（1）∵，點與橢圓左準(zhǔn)線的距離為，∴解得∴橢圓的方程為.（2）①法一：明顯，，，設(shè)，，則∵點在橢圓上，∴，∴(i)，設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立方程組消去得：，其兩根為，∴(*)∴，將(*)代入上式化簡得：(ii)又（iii）由（i）（ii）（iii）得：，∴，即，解得或，又，∴，即橢圓的離心率為.法二：明顯，，，∵，∴設(shè)直線的方程為，直線的方程為.由得，留意到其一根為，∴另一根為，∴，即，同理由得.由三點共線得，∴，化簡得：，∴，∴，即橢圓的離心率為.②由①，又橢圓的焦距為，∴，∴，∴，由①方法一得∴面積，令，，則，，∵，∴在為減函數(shù)，∴，即時，，即面積的最大值為.【點睛】本題考查橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，重點考查轉(zhuǎn)化，變形，計算實力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是直線與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化坐標(biāo)表示的幾何關(guān)系，其次問中設(shè)而不求的基本方法也使得求解過程變得簡潔，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達定理，弦長公式都是解題的基本工具.19.已知數(shù)列的首項，其前項和為，設(shè).（1）若，，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，求；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，滿意.①求數(shù)列通項公式；②若對，且，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）.（2）①；②【解析】【分析】（1）由條件知，即，從而推斷數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，且公差均為，利用公式，求和；（2）首先求得數(shù)列的通項公式，，再利用構(gòu)造可得，求得數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，從而求得數(shù)列的通項公式；②不等式等價為，利用①的結(jié)果，探討為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種狀況，探討求的取值范圍.【詳解】（1）由條件知，即，所以數(shù)列的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別成等差數(shù)列，且公差均為.由，，所以，即，所以，.所以.（2）①由，得，由于符合上式，所以，所以.所以，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為，因為，所以.②不等式即為，由于，所以不等式即為.當(dāng)是奇數(shù)時，，，所以，即對，且恒成立，所以，解得.當(dāng)為偶數(shù)時，，，由，得對，且恒成立，所以，解得，因為，所以的取值范圍是.【點睛】本題考查遞推公式求通項公式，數(shù)列的函數(shù)關(guān)系，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸，分類探討的思想，函數(shù)與不等式的關(guān)系，屬于難題.20.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，①若曲線與直線相切，求c的值；②若曲線與直線有公共點，求c的取值范圍．（2）當(dāng)時，不等式對于隨意正實數(shù)x恒成立，當(dāng)c取得最大值時，求a，b的值．【答案】（1）,（2），．【解析】【分析】（1）當(dāng)時，，所以，①設(shè)切點為，列出方程組，即可求得，得到答案；②由題意，得方程有正實數(shù)根，即方程有正實數(shù)根，記，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求解的取值范圍；（2）由題意得，當(dāng)時，對于隨意正實數(shù)恒成立，即當(dāng)時，對于隨意正實數(shù)恒成立，由（1）可得，進而得到，，得到時，，進而得到對于隨意正實數(shù)恒成立，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：當(dāng)時，，所以．①設(shè)切點為，則由②③得，由①得代入④得，所以．②由題意，得方程有正實數(shù)根，即方程有正實數(shù)根，記，令，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；所以．若，則，不合；若，由①知適合；若，則，又，所以，由零點存在性定理知在上必有零點．綜上，c的取值范圍為．（2）由題意得，當(dāng)時，對于隨意正實數(shù)x恒成立，所以當(dāng)時，對于隨意正實數(shù)x恒成立，由（1）知，，兩邊同時乘以x得，①，兩邊同時加上得，②，所以（*），當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．對（*）式重復(fù)以上步驟①②可得，，進而可得，，，……，所以當(dāng)，時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．所以．當(dāng)取最大值1時，對于隨意正實數(shù)x恒成立，令上式中得，，所以，所以對于隨意正實數(shù)x恒成立，即對于隨意正實數(shù)x恒成立，所以，所以函數(shù)的對稱軸，所以，即，所以，．又由，兩邊同乘以x2得，，所以當(dāng)，時，也恒成立，綜上，得，．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及函數(shù)的恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理實力與計算實力，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，推斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.21.已知，點在變換:作用后，再繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到點．若點的坐標(biāo)為，求點的坐標(biāo)．【答案】【解析】分析】先依據(jù)伸縮變換以及旋轉(zhuǎn)變換得，再依據(jù)對應(yīng)點關(guān)系求結(jié)果.【詳解】．設(shè)，則由，得．所以，即．【點睛】本題考查伸縮變換以及旋轉(zhuǎn)變換，考查基本求解實力.22.在極坐標(biāo)系中，設(shè)為曲線：上隨意一點，求點到直線：的最大距離.【答案】【解析】【分析】將圓和直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，轉(zhuǎn)化為求圓上的點到直線距離的最大值，求出圓心到直線距離，即可求出結(jié)論.【詳解】曲線：化直角坐標(biāo)方程為表示圓，，化為直角坐標(biāo)方程為，圓上點到直線距離的最大值為.【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化、圓上點到直線距離的最值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.23.已知正數(shù)滿意，求的最小值．【答案】27【解析】【分析】由得，待求式可化，依據(jù)柯西不等式即可求解.【詳解】由于，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成