2024歷年高考數(shù)學試題匯編：直線與圓

歷年高考數(shù)學真題精編

12直線與圓

一、單選題

1.（2023?全國）過點（0,-2）與圓/+爐-4》-1=0相切的兩條直線的夾角為a,則sina=（）

R屈「VioD,如

A.1

444

2.(2020?浙江)已知點0(0,0),A(-2,0),B(2,0).設點尸滿足陷-陷|=2,且P

為函數(shù)y=3"一.x2圖像上的點，則|?；?（)

A.叵口4a

D.-------C.不D.M

25

3.（2018?北京）在平面直角坐標系中,記d為點P（cosi9,sin0）到直線x-陽-2=0的距離,

當6、機變化時，d的最大值為

A.1B.2

C.3D.4

4.（2002?北京）若直線/:y=依-6與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限，則直線/的

傾斜角的取值范圍是（）

5.（2007?天津）“a=2”是“直線依+2y=0平行于直線x+y=l”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.（2000?全國）己知兩條直線4：丁=羽4：奴-，=0,其中。為實數(shù)，當這兩條直線的夾角

在（。，二］內(nèi)變動時，”的取值范圍是

7.（2014?四川）設根eR,過定點A的動直線x+7肛=0和過定點B的動直線〃氏7-，"+3=0

交于點尸（x?）,則|刻+/到的取值范圍是

A.[A/5,2A/5]B.[V記,2向C.[>/W,4A/5]D.[26,46]

8.（2014?江西）在平面直角坐標系中，A3分別是x軸和y軸上的動點，若以A3為直徑的

圓C與直線2尤+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為（）

43r5

A.—7iB.-7tC.（6—2V5）TTD.一冗

544

9.（2013?重慶）已知圓C|：（x-2）2+（y-3）2=l和圓Cz：（x-3）2+（y-4產(chǎn)=9,M,N分別是

圓G，G上的動點，尸為X軸上的動點，則|PM|+|PN|的最小值為（）

A.50-4B.717-1C.6-2忘D.717

10.（2016?北京）圓（x+l）2+y2=2的圓心到直線y=x+3的距離為（）

A.1B.2

C.72D.20

二、填空題

一4

11.（2019?江蘇）在平面直角坐標系x0y中，尸是曲線y=x+—（尤>0）上的一個動點，則點

x

P到直線x+y=0的距離的最小值是—.

12.（2014?四川）設%eR,過定點A的動直線x+my=0和過定點B的動直線

如-y-機+3=0交于點P（x,y）,則向卜閥|的最大值是.

13.（2008?重慶）直線/與圓/+_/+2》-4、+。=0（“<3）相交于兩點人，B,弦AB的中點

為（0,1）,則直線I的方程為.

14.（2014.湖北）已知圓O:/+y2=i和點A（_2,0）,若定點3（6,0）（6力一2）和常數(shù)2滿

足：對圓。上那個任意一點都有|〃8|=川肱1|,貝

（1）b=；

（2）4=.

三、解答題

15.（2008?海南）已知，”eR,直線/:皿一（〃，+1）>一4根=。和圓（7:/+9-8》+4>+16=。.

（1）求直線/斜率的取值范圍；

（2）直線/能否將圓C分割成弧長的比值為g的兩段圓??？請說明理由.

16.（2007?北京）矩形A8CD的兩條對角線相交于點”（2,0）,A3邊所在直線的方程為

尤-3y-6=0,點在AD邊所在直線上.

（I）求AD邊所在直線的方程；

（II）求矩形ABCD外接圓的方程；

（III）若動圓尸過點N（-2,0）,且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓尸的圓心的軌跡方程.

17.（2014?遼寧）圓V+丁=4的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三

角形面積最小時，切點為P（如圖）.

（1）求點P的坐標；

（2）焦點在x軸上的橢圓C過點P,且與直線/:y=x+g交于A,B兩點，若AE4B的面

積為2,求C的標準方程.

參考答案:

1.B

【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長，結(jié)合倍角公式運算求解；方法二：根據(jù)切線的

性質(zhì)求切線長，結(jié)合余弦定理運算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式可得

公+8左+1=0,利用韋達定理結(jié)合夾角公式運算求解.

【詳解】方法一：因為爐+F-4x-l=0,即（無一2）2+丁=5,可得圓，心C（2,0）,半徑『=右，

過點以0,-2）作圓C的切線，切點為

因為|尸。|=嚴彳二以=20,則|尸A|=『一「=6

可得sinZAPC=巨=叵,cosZAPC==逅，

2042V24

貝UsinZAPB=sin2ZAPC=2sinZAPCcosZAPC=2x—x—=—,

cosZAPB=cos2ZAPC=cos2ZAPC-sin2ZAPC=<0,

即N4有為鈍角,

所以sina=sin-/APB）=sinZAPB=；

法二：圓一+/一4..1=0的圓心C（2,0）,半徑廠=逐,

過點P（0,-2）作圓C的切線，切點為A,2,連接A3,

可得pq=百+（一2『=2A/2,則|PA|=|PB|=J|PC『一產(chǎn)=5/3,

因為|抬2+|PB|2-2\PA\-\PB\COSZAPB=|C4「+|CB「-2|CA|-|CB|cosNACB

ZACB=7i-ZAPB,貝（J3+3-6cosZAPB=5+5-10COS（TI-ZAPB）,

即3—cosZAPB=5+5cosZAPB,解得cosZAPB=--<0,

4

即NAPB為鈍角，則cosa-cos（兀一ZAPB）=-cosZAPB=；,

且a為銳角,所以sina=,1一cos2a-；

4

方法三：圓公+'—4%-1=0的圓心C（2,0）,半徑7=括,

若切線斜率不存在，則切線方程為x=0,則圓心到切點的距離d=2＞廠，不合題意;

若切線斜率存在，設切線方程為y=fcr-2,即履-y-2=0,

\2k-Q\r-

則?i----=J5,整理得左？+8左+1=0,且A=64—4=60>0

a+i

設兩切線斜率分別為勺，&，則k1+h=-8,k\h=l,

可得上_周=J(左+>)2—4左人=2萬,

所以tana=也~母=JT?,即包里=JT?,可得cosa=半

l+kxk2cosaV15

nni?22?2sincc

貝!Jsina+cosa=sina-\------=1,

15

且ee（0,兀），則sina>0,解得sina=翅5.

【分析】根據(jù)題意可知，點尸既在雙曲線的一支上，又在函數(shù)y=的圖象上，即可

求出點尸的坐標，得到|8|的值.

【詳解】因為|申|-|「初=2<4,所以點尸在以為焦點，實軸長為2,焦距為4的雙曲

2

線的右支上，由C=2,a=l可得，b2=c2-a2=4-l=3,即雙曲線的右支方程為V一]_=l(x>0),

而點P還在函數(shù)y=3j4-尤之的圖象上,所以,

A/13

y=3A/4-X2x=---

3%即M

由，￡=1（”。）‘解得‘%/m

y=—

2

故選：D.

【點睛】本題主要考查雙曲線的定義的應用，以及二次曲線的位置關系的應用，意在考查學

生的數(shù)學運算能力，屬于基礎題.

3.C

【分析】尸為單位圓上一點，而直線x-啊-2=0過點A（2,0）,則根據(jù)幾何意義得d的最大

值為Q4+1.

【詳解】（^。$20+$E。=1,，尸為單位圓上一點，而直線x-妝-2=0過點4（2,0）,

所以d的最大值為。4+1=2+1=3,選C.

【點睛】與圓有關的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點到直線的距

離的最值，求相關參數(shù)的最值等方面.解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題

轉(zhuǎn)化.

4.B

【分析】直線/:>=日恒過點（0,-6）,結(jié)合圖象以及交點所在象限可得答案.

【詳解】因為直線/：y=fcv-百恒過點尸（0,-6）,直線2元+3y-6=0與坐標軸的交點分別

為4（3,0）,3（0,2）；

直線AP的斜率％"=巫，此時傾斜角為

AP36

直線3尸的斜率不存在，此時傾斜角為TT:；

所以直線’的傾斜角的取值范圍是

故選：B.

5.C

【詳解】試題分析：直線"+2y=。平行于直線x+y=ln￡=-lna=2,因此正確答案

應是充分必要條件，故選C.

考點：充要條件.

6.C

【詳解】試題分析：由直線方程4：y=x,可得直線的傾斜角為a=45°,又因為這兩條直

線的夾角在"，*J，所以直線4：6->=。的傾斜角的取值范圍是30°<a<60°且々片45°,

所以直線的斜率為tan30°<o<tan60°且arHtan45°,即<“<1或1<a<出，故選C.

3

考點：直線的傾斜角與斜率.

7.B

【詳解】試題分析：易得40,0),3(1,3).設「(》4)，則消去加得：尤2+y2_x_3y=0,所以

點P在以AB為直徑的圓上，PA±PB,所以|如『+|尸3|2=|AB|2=10,令

|%=Ji3sina|PH=7^cos8,貝!!

1PH+附=&5sin6?+Mcos6>=2氐in(6>+》因為|上心0,附之0,所以0464：所以

日Wsin(e+[)41,回中A|+閥426選B.

法二、因為兩直線的斜率互為負倒數(shù)，所以24,依，點P的軌跡是以AB為直徑的圓.

以下同法一.

【考點定位】1、直線與圓；2、三角代換.

8.A

【詳解】試題分析：設直線/：2x+y-4=0因為|OC|=；|A2|=dj，勤表示點C到直線/的

距離，所以圓心C的軌跡為以。為焦點，/為準線的拋物線，圓C的半徑最小值為

142小

52圓C面積的最小值為萬=—.故本題的正確選項為A.

考點：拋物線定義.

9.A

【分析】求出圓G關于x軸的對稱圓的圓心坐標A,以及半徑，然后求解圓A與圓C?的圓

心距減去兩個圓的半徑和，即可求出\PM\+\PN\的最小值.

【詳解】圓C]關于x軸的對稱圓的圓心坐標A(2,-3),半徑為1,圓C2的圓心坐標為(3.4),

半徑為3,

...若與M關于X軸對稱，貝1]9'=9,^\PM\+\PN\=\PM'\+\PN\,

由圖易知，當P,N,M'三點共線時1PM'I+IPNI取得最小值，

|PM|+1PN|的最小值為圓A與圓C2的圓心距減去兩個圓的半徑和，

?*.|ACJ-3-l=^(3-2)2+(-3-4)2-4=5后-4.

故選：A.

10.C

10+3

【詳解】試題分析：圓心坐標為(-1,0),由點到直線的距離公式可知d=I~~I-V2

故選C.

【考點】直線與圓的位置關系

【名師點睛】點到直線J="b(BP:-A3.-3=0)的距離公式

記憶容易,對于知d求k，b很方便.

11.4.

【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為切點與直線之間的距離，然后利用導函數(shù)確定切點坐標可得最小距

離

4

【詳解】當直線％+丁=。平移到與曲線y=%+—相切位置時，切點。即為點尸到直線％+丁=。

的距離最小.

4r-i—i—

由V=1—r=—1，得入=滅（一0舍），y=3v2,

x

即切點。（四,3JI）,

則切點。到直線無+y=0的距離為=4，

故答案為4.

【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).

采取導數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.

12.5

【詳解】試題分析：易得4。,0）,3（1,3）.設「《丫），則消去加得：x2+y2-x-3y=0,所以

點P在以AB為直徑的圓上，叢,PB,所以照『+|「例2=|AB|2=10,|PA|X\PB\<號^=5.

法二、因為兩直線的斜率互為負倒數(shù)，所以R4J.依，點P的軌跡是以AB為直徑的圓.

以下同法一.

【考點定位】1、直線與圓；2、重要不等式.

13.%-y+l=O.

【詳解】設圓心。，直線/的斜率為3弦A8的中點為尸，尸。的斜率為匐,，勺.=與［則

-1_0

1-LPO,所以k?%=h（-D=T/=l由點斜式得y=x+l.

14.—/-0.5—/0.5

22

【分析】按照題意，求兩點距離，解方程即可.

【詳解】試題分析：設M（龍,田，因為=,./>0,

所以（尤-6）2+y2=/l2[（尤+2p+y2],

SSW（^2-1）X2+（22-1）y2+（422+X-&2+422=0,

4A2+2b4萬一/

酉己方得/+;/+——；----------；----0

22-122-1

因為對圓。上那個任意一點都有|加8|二川加4|成立,

422+2Z?=0

所以,外-從2f&=-8

解得:或，°(舍去),

A=-2

I2

故故答案為：-；，

2乙

15.⑴戶；,；］;

⑵不能，理由見解析.

【分析】(1)由題設可得直線/斜率左=m，則加2—加+左=0,討論:0、左。0求其范

m+1

圍即可；

(2)由(1)及圓的標準方程可得圓心C(4,-2),半徑廠=2且直線/為了=燈彳-4),其中

0<\k\<^,應用點線距離求C到直線/的距離并與］比較大小，討論直線,與圓C的位置關

系，即可判斷結(jié)論.

【詳解】(1)由題設，直線—丹丁此時斜率七二一^,

m+1m+1m+1

km2-m+k=O當仁0時，機=0符合要求；當左。0,則A=l—4Z2>0,可得

左￡［—g,O)D(O,g］;

所以，斜率左的取值范圍是［-/J.

(2)不能.由(1)知：直線/可寫為y=%(無一4),其中04林區(qū)(；

ffi3C:%2+/-8%+4y+16=(x-4)2+(y+2)2-4=0,BP(x-4)2+(y+2)2=4,

2

所以圓心C(4,-2),半徑廠=2；圓心,到直線/的距離"=樂聲

由04|左區(qū)工，得d2吃>1,即1>二,

2V52

若/與圓C相交，顯然圓C截直線/所得弦的圓心角小于手,

所以/不能將圓C分割成弧長的比值為g的兩段弧.

16.(I)AD邊所在直線的方程為3x+y+2=。

(II)矩形ABC。外接圓的方程為(X-2y+丁=8

(Ill)動圓P的圓心的軌跡方程為工-t=l(x4-&)

22

【詳解】解：(I)因為A3邊所在直線的方程為x-3y-6=0,且與AB垂直，所以直線相>

的斜率為-3.

又因為點T(T，D在直線上，

所以AD邊所在直線的方程為y-1=-3(x+1).

3x+y+2=0.

x-3y—6=0,

(ID由Q。八解得點A的坐標為(0，-2),

因為矩形ABC。兩條對角線的交點為M(2,0).

所以〃為矩形ABCD外接圓的圓心.

又回|=J(2-0)2+(0+2)2=2也.

從而矩形ABCD外接圓的方程為魚-2)2+丁=8.

(Ill)因為動圓尸過點N,所以|PN|是該圓的半徑，又因為動圓尸與圓M外切，

所以|PM=|PN|+2加,

^\PM\-\PN\=2y/2.

故點P的軌跡是以“，N為焦點，實軸長為20的雙曲線的左支.

因為實半軸長”半焦距c=2.

所以虛半軸長6=戶/=0.

22

從而動圓尸的圓心的軌跡方程為—-^=l(x<-V2)

22

22

17.(1)(點,0)；(2)上+匕=1

63

【詳解】試題分析：(1)首先設切點P(x°，%)(Xo>O，，%>。)，由圓的切線的性質(zhì)，根據(jù)半

徑OP的斜率可求切線斜率，進而可表示切線方程為/%+%>=4,建立目標函數(shù)

1448

o-----.故要求面積最小值，只需確定與%的最大值，由％+9%=422%%結(jié)

，玉)%--%0丁0