2025屆福建省泉州市高三上學期8月高中畢業(yè)班質量監(jiān)測（一）數學試卷+詳細解析答案（一題多解）

泉州市2025屆高中畢業(yè)班質量監(jiān)測（一）2．考生作答時，將答案答在答題卡上。請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。在草【命題意圖】本小題主要考查集合的運算、不等式等知識；考查運算求解能力等；考查函數與方程思想、化歸與轉化思想等；體現基礎性，導向對發(fā)展數學運算養(yǎng)的關注.A．1B．1C．i【命題意圖】本小題主要考查復數的概念、四則運算等基礎知識；考查運算求解能力、推理論證能力；考查化歸與轉化思想、函數與方程思想；體現基礎性，導運算等核心素養(yǎng)的關注.43．已知向量a,b,c滿足|a|=|b|，a與b的夾角為，a+b+c=0，則a與c的夾角為【命題意圖】本小題主要考查向量的數量積等基礎知識，考查運算求解等能力，考查化歸與轉化，數形結合等思想，體現基礎性，導向對發(fā)展數學運算等核心素養(yǎng)的關注.2222 c22解法三：運用向量運算的幾何表示，構造平面圖形，觀察圖形可快速得解.4．若sinθ+cosθ=2，則tanθ=數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關注.【試題解析】解法一特殊法）由題知sinθ=，cosθ=滿足條件，所以tanθ=.解法三：由題得sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ=4，所以sinθcosθ=0，即tanθ=．故選C. 解法五：觀察sinθ+cosθ=2，知sincosθ同正，θ為第一象限角，其正切值為正，排除A，B．若tanθ=，可取則sinθ+cosθ=，【命題意圖】本小題主要考查分段函數、基本初等函數、函數的單調性等知識，考查運算求解能力、抽象概括能力等，考查函數與方程思想、轉化和化歸的思想等，基礎性和綜合性，導向對發(fā)展數學運算、邏輯推理、數學抽象等核心素養(yǎng)注.再由a1≤4+1，即得a≤4，綜上，1<a≤4，6．已知正四棱臺的頂點都在同一球面上，其上、下底面邊長分別為,2，高為3，A．40τB．20τ【命題意圖】本小題主要考查多面體、球的表面積等基礎知識，考查空間想象能力、運算求解能力等，考查數形結合、轉化和化歸的思想等，體現基礎性和綜合性，對發(fā)展直觀想象、數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關注.為等腰梯形AA'C'C，其上下底邊長分別為2,4，高為3，由正四棱臺的對稱性2R2=R2=22·,所以所求的球O的表面積為4τR2=20τ.表面積4τR2≥16τ,排除D；離為d2=7．已知函數f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，若f(1)=1，則f(25)=A．25B．125C．【命題意圖】本小題主要考查函數的基本性質、遞推數列等基礎知識；考查推理論證、運算導向對邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)的關注.2，則f(25)=625=f(x)+f(y)+2xy(x+y)2=f(x)+f(y)x2y2=g(x)+g(y)，解法三：由f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy可構造滿足條件的函數f(x)=x2，A.τ是f(x)的一個周期B．x=τ是f(x)圖象的一條對稱軸C．(,0)是f(x)圖象的一個對稱中心D．f(x)在區(qū)間(0,τ)內單調遞減【命題意圖】本小題主要考查三角函數的圖象與性質、三角恒等變換等證能力、運算求解能力等，考查特殊與一般思想、函數與思想等；體現基礎性、綜合性，導向對發(fā)展直觀想象、學抽象等核心素養(yǎng)的關注.同理f(τ)≠f(0)，故C錯誤；解法二：因為f=coscos2cos3所以f(x+τ)≠f(x)，故A錯誤；=cosx+cos2xcos3x=2sin2x.cosxsin2x=sin2x.(2cosx+1)所以f(x)在(0,τ)上單調遞減，在(τ,2τ)上單調遞增，在上單調遞減，故D錯誤；讀國學經典，傳承中華文明”知識競賽．賽前為了解學生的備賽情況，組織對高一年和高二年學生的抽樣測試，測試成績數據處理后，得到如下頻率分布直方圖，則下面說法正確的是B．高二年抽測成績低于60分的比率為【命題意圖】本小題主要考查頻率分步直方圖、樣本的數字特征等基礎知識；考查數據分析與處理、運算求解等能力；考查化歸與轉化、或然與必然等思想；體現基礎性與應用性，導向對發(fā)展數學運算、數據分析等核心素養(yǎng)的關注.【試題解析】選項A：高一年學生成績的眾數為區(qū)間[70,80]的中點橫坐標，故A正確.選項D：高一年學生成績的中位數位于[70,80)A．f(x)的值域為RB．f(x)圖象的對稱中心為(0,1)C．當ab<0時，f(x)無極值D．當b-3a>0時，f(x)在區(qū)間(-1,1)內單調遞減【命題意圖】本小題主要考查導數的應用、函數的基本性質等基礎知識；考查推理論證、運算求解等能力；考查數形結合、化歸與轉化等思想；體現基礎性與綜合性，導向對發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數學運算等核心素養(yǎng)的關注.【試題解析】A選項：當a,b至少一個不為0，則函數f(x)為三次函數或者一次函數，B選項：函數g(x)=f(x)-1=ax3-bx滿足g(-x)=-ax3+bx=-g(x)，可知g(x)為奇函數，其圖象關于(0,0)中心對稱，所以f(x)的圖象為g(x)的圖象向上移動一個單位后得到的，C選項：f’(x)=3ax2-b，當ab<0時，3ax2函數f(x)在R上單調，無極值．故C正確.f2+1，f(x)在區(qū)間(-1,1)上不單調．D選項錯誤；,,11．在平面直角坐標系xOy中，已知F1(1,0),F2(1,0【命題意圖】本小題主要考查曲線與方程、向量數量積等基礎知識；考查運算求解、推理論證等能力；考查化歸與轉化、數形結合、函數與方程等思想；體現基礎性、綜合性與創(chuàng)新性，導向對發(fā)展數學運算、直觀想象、邏輯推理、數學抽象等核心素養(yǎng)的關注.從而M的軌跡的長度等于2，故A正確.MFMF2,由雙曲線的定義知，M的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線的右支，而結論的方程中未限制范圍，故B24x2以M的軌跡與圓x2+y2=6沒有交點，故C正確.化簡得2所以M的軌跡是以(,0)為圓心，半徑為的圓.OM.OF2等于OM在x軸上的投影的長度，解法二：同法一得M的軌跡是以(,0)為圓心，半徑為的圓.故D正確.|MF延長線上時取等號.=|MO|cos7MOF2≤|MO|≤3；推理論證等能力；考查化歸與轉化、數形結合、函數與方程等思想；體現基礎性與應用性，導向對數學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關注.【試題解析】由題意得函數y=lnx的導函數為，故在x=2處切線的斜率為，故答案為2.13．過雙曲線E的兩個焦點分別作實軸的垂線，交E于四個點，若這四個點恰為一個正方形【命題意圖】本小題主要考查雙曲線的幾何性質等基礎知識；考查運算求解、推理論證等能力；考查化歸與轉化、數形結合、函數與方程等思想；體現基礎性與綜合性，導向對數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關注.【試題解析】解法一：不妨設雙曲線又b2=c2-a2，所以c2-ac-a2|FF2=2a=5c-c=(5-1 該八面體連續(xù)拋擲三次，按順序記錄它與地面接觸的面上的數字，【命題意圖】本小題主要考查古典概型、計數原理等基礎知識；考查推理論證、運算求解等能力；考查分類與整合、或然與必然等思想；體現基礎性與應用性，導向對發(fā)展數據分析、邏輯推理、數學運算、數學建模等核心素養(yǎng)的關注.【試題解析】由題意可知所有可能情況共有83種，按順序記錄的三個數恰好構成等差數列，應相等.公差為0的有(1,1,1),(2,2,2),...,(8,8,8)共8種做法；△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，已知（2）若7BAC的角平分線與BC交于點D，AD=2，AC=2，求a+c.【命題意圖】本小題主要考查正弦定理、余弦定理等基礎知識，考查邏輯推理能力、運算求解能力等，考查函數與方程思想、數形結合思想等，體現基礎性和綜合所以sinCsinBsin(AB)，·······················································2分又sinCsin[τ(AB)]sin(AB)，···············································3分所以sinBsin(AB)sin(AB)2cosAsinB，································4分因為Be(0,τ)，所以sinB0，所以cosA，·······························5分又Ae(0,τ)，所以A.·································（2）解法一：如圖，由題意得，S△ABDS△ACDS△ABC，·····················8分所以1cADsinτ1bADsinτ1bcsinτ,···························所以a2b2c22bccos9，即a-3，··························解法二：如圖，△ACD中，因為AD2，AC2所以CDAD2，······································································（1）若M為BC的中點，求證：O1M//平面ACD；若AC=1，BC=，圓柱的體積為τ,求二面角B-O1C-A的正弦值.考查空間想象、推理論證、運算求解等能力；考查化歸與轉化等思想；體現基【試題解析】（1）解法一：如下圖，取AC中點N，連結MN,O1D,DN，M,N分別為BC,AC的中點，································1分:MN∥AB，MN=AB=AO2，······························2分且與平面AO2O1D交于AO2和O1D，:AO2∥O1D，且AO2=O1D，······································3分又MN∥O1D且MN=O1D，:四邊形MNDO1為平行四邊形，··································4分:O1M∥ND，··························································5分又O1M丈平面ACD，ND平面ACD:O1M//平面ACD.·················································6分解法二：連結MO2，圓柱的母線AD與旋轉軸O1O2平行，··························1分丈平面ACD，AD平面ACD，:O1O2∥平面ACD，·················································2分'.'M,O2分別為BC,AB的中點，:MO2∥AC，··························································3分又MO2丈平面ACD，AC平面ACD，:MO2∥平面ACD，·················································4分又O1O2,MO2平面O1O2M，O1O2:平面ACD∥平面O1O2M，········································5分又O1M平面O1O2M，:O1M//平面ACD.·················································6分y軸、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，··············8分································平面CAO1的法向量為n=(x2,y2,z2)，y1=-1，可得m=(2,0,-1)，···························11分設二面角B-O1C-A的大小為θ,取AC中點N，連結O1N，過O2作O2J丄O1N，垂足J，平面O2IJ交直線O1C于點K，連結O2K,IJ，M,O2分別為BC，AB的中點，:MO2∥AC，又AC丄BC，:MO2丄BC，·························································8分:BC丄平面O1O2M，···············································9分O2I平面O1O2M，:BC丄O2I，又O2I丄O1M，BCO1M=M，:O2I丄平面BCO1，:O1C丄平面O2IJ，即O1C丄平面O2IKJ，···················10分:上IKJ為二面角B-O1C-A的平面角，·······················12分2M=，:O2I=，=，:O2J=，:O2K=·······················································:在平面四邊形O2IKJ中，如下圖，O2I丄IK,O2J丄JK，則sinα=,cosα=,sinβ=,cosβ=，·······14分（2）過F1且不垂直于坐標軸的直線l交E于A,B兩點，點M為AB的中點，記△MF1F2的22【命題意圖】本題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知識；考查運算求解、推理論證等能力；考查化歸與轉化、數形結合、函數與方程等思想；體【試題解析因為e2=，···················所以5a2=9b2，······································2所以b2=5，···············································································5分所以橢圓E的方程為.··········16y1y216y1y25y2y1 由（1）得F1(-2,0)，依題意設l:y=k(x+2)(k≠0)，·····設M(xo,yo)，則yo=，則y1消去y2得······················································12分（2）若曲線E1關于直線l對稱的曲線為E2，則稱l為E1與E2的一條對稱軸.請寫出C1與C2（3）已知A1,B1是C1上的兩點，A2,B2是C2上的兩點，若四邊形A1B1B2A2為正方形，其周【命題意圖】本題主要考查基本初等函數、函數的單調性與對稱性、導數的幾何意義、導數的應用等基礎知識；考查運算求解、推理論證等能力；考查化歸與轉化、數形結合、函數與方程等思想；體現基礎性、綜合性與應用性，導向對數學運算、直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關注.【試題解析】解法一1）要證原命題，只需證ex-lnx>0，設函數F(x)=ex-lnx，其導函數為=ex-,x>x1x1從而可得在(0,x0)F在(x0,+∞)F所以F(x)在x=x0處取到最小值F(x0)=ex0—lnx0，······················≥2>0.·······································故本題得證.（2）C1與C2的一條對稱軸為直線l:y=x，·······························且l是C1與C2的唯一對稱軸，··························································7分且曲線C2在直線l2的上方（除點Q···············································8分且曲線C1在直線l1的下方（除點P而平行線l1,l2的距離為，·······················注意到P,Q兩點距離恰為，故可得結論①：曲線C1上的任意點與C2上任意點的距離最小值為，當且僅當這兩點分別為P,Q時取到.·················································10分注意到P,Q兩點關于直線l:y=x對稱 這與①矛盾，故假設不成立.故l是C1與C2的唯一對稱軸.···················11分（3）由題意，不妨設A1(x1,lnx1)，B1(x2,lnx2)，B2(x3,ex3并由（2）分析得A1,B1分別與A2,B2關于直線y=x對稱，可得A1A2B22x3,lnx24B|，即2(exlnx2)=2(lnx2 所以H(x)在(0,+∞)單調遞增，x1x1先證明：ex1≥x，即證exx1≥0，···············································1分設h(x)=exx1，其導函數