《智能傳感器系統(tǒng)》課件第9章

第9章主成分分析及其在智能

傳感器系統(tǒng)中的應(yīng)用9.1主成分分析法9.2

PCA算法在消除傳感器漂移中的應(yīng)用

9.1主成分分析法

9.1.1二維空間中的PCA

PCA的操作涉及到多維空間中的投影概念。不失一般性，為說(shuō)明簡(jiǎn)單起見(jiàn)，這里以二維空間中的主成分分析為例來(lái)說(shuō)明PCA的算法思想。假定在二維空間中有一組測(cè)試點(diǎn)(y1i,y2i)(i＝1,2,…,m)，如圖9-1所示。圖9-1二維空間中的PCA示意圖如果將二維數(shù)據(jù)降至一維數(shù)據(jù)，也就是將二維空間的點(diǎn)投影到一維空間的一條線(xiàn)上，在沒(méi)有任何約束條件的情況下，其投影的方向有無(wú)窮多個(gè)，這是沒(méi)有意義的。PCA操作采用如下約束條件：

在一維空間中的這條直線(xiàn)必須包含原數(shù)據(jù)的最大方差，即沿著這條直線(xiàn)使原數(shù)據(jù)的方差達(dá)到最大。圖9-1中點(diǎn)i(i＝1,2,…,7)向直線(xiàn)p1投影為點(diǎn)i′(i′＝1,2,…,7)，這些點(diǎn)的重心為O，其分布可用它們到中心點(diǎn)O的距離的平方和表示。原數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離分布為

S2=|O1|2+|O2|2+…+|O7|2

（9-1）

如果用p1上的投影表示，則

|Oi|2=|Oi′|2+|ii′|2

（9-2）

所以

S2=|O1′|2+|O2′|2+…+|O7′|2

+|11′|2+|22′|2+…+|77′|2

（9-3）

PCA選擇投影直線(xiàn)p1使式(9-3)中S2的值最大。這條直線(xiàn)也正好是這些原數(shù)據(jù)點(diǎn)的最好擬合線(xiàn)，它使得所有的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)到p1直線(xiàn)上對(duì)應(yīng)投影點(diǎn)垂直距離的平方和最小。稱(chēng)p1為主成分空間，圖中箭頭表示該空間中的單位向量，即載荷向量。如點(diǎn)1和點(diǎn)7在p1空間中的投影點(diǎn)分別為1′和7′，它們?cè)趐1空間中的坐標(biāo)分別為t1和t7，即在p1空間中用載荷向量對(duì)投影點(diǎn)距重心點(diǎn)距離度量的得分。

上述例子中，使用一維新變量p1表征二維的原數(shù)據(jù)

(y1i,y2i)(i＝1,2,…,m)的結(jié)構(gòu)特征，新變量包含了原數(shù)據(jù)中絕大部分的信息特征，稱(chēng)為第一主成分。其實(shí)，PCA對(duì)原變量的變換得到的新變量就是原變量的線(xiàn)性組合，如圖9-1所示。原坐標(biāo)系的原點(diǎn)經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換后，放到重心O處。根據(jù)幾何規(guī)則，新變量可以由原數(shù)據(jù)以線(xiàn)

性組合的形式表示：（9-4）（9-5）其中a2+b2=1，c2+d2=1；主成分1為，主成分2為。9.1.2PCA算法

假設(shè)是一個(gè)n×m的數(shù)據(jù)矩陣，其中每一列對(duì)應(yīng)一個(gè)變量，每一行對(duì)應(yīng)一個(gè)樣本。例如，表8-1表示的壓阻式壓力傳感器標(biāo)定數(shù)據(jù)中，m=3，表示壓力、溫度和電流三個(gè)傳感器，n=28,表示共有28組樣本。x可以分解為m個(gè)向量的外積之和，即（9-6）其中ti∈Rn為得分向量，pi∈Rm為載荷向量。x的得分向量也叫x的主成分。式（9-6）可以寫(xiě)成矩陣形式：

x=TPT

（9-7）其中T=［t1,t2,…,tn］為得分矩陣，P=［p1,p2,…,pn］為載荷矩陣。各個(gè)得分向量之間是正交的，即對(duì)任何i和j，當(dāng)i≠j時(shí)，滿(mǎn)足tTitj=0。各個(gè)載荷向量之間也是互相正交的，同時(shí)每個(gè)載荷向量的長(zhǎng)度都為1，即（9-8）將式(9-6)兩側(cè)同時(shí)右乘p1，可以得到下式（9-9）將式(9-8)代入式(9-9)，可得：

t1=xp1

（9-10）式(9-10)說(shuō)明，每一個(gè)得分向量實(shí)際上是數(shù)據(jù)矩陣x在這個(gè)得分向量t1相對(duì)應(yīng)的載荷向量方向p1上的投影。向量t1的長(zhǎng)度反映了數(shù)據(jù)矩陣x在p1方向上的覆蓋程度。它的長(zhǎng)度越大，x在p1方向上的覆蓋程度或變化范圍越大。如果將得分向量按其長(zhǎng)度做以下排列：

‖t1‖>‖t2‖>…>‖tm‖

那么載荷向量p1將代表數(shù)據(jù)x變化最大的方向。p2與p1垂直并代表數(shù)據(jù)x變化的第二大方間，pm將代表數(shù)據(jù)x變化最小的方向。當(dāng)矩陣x中的變量間存在一定程度的線(xiàn)性相關(guān)時(shí)，數(shù)據(jù)x的變化將主要體現(xiàn)在最前面的幾個(gè)載荷向量方向上，數(shù)據(jù)矩陣x在最后面的幾個(gè)載荷向量上的投影將會(huì)很小，它們主要是由于測(cè)量噪聲引起的。這樣就可以將矩陣x進(jìn)行主元分解后寫(xiě)成下式（9-11）式中E為誤差矩陣，代表x在pk+1到pm等載荷向量方向上的變化。很多實(shí)際應(yīng)用中，k往往要比m小得多。

9.2PCA算法在消除傳感器漂移中的應(yīng)用

傳感器特性漂移，表現(xiàn)為傳感器性能不穩(wěn)定，這種現(xiàn)象普遍存在。傳感器性能不穩(wěn)定已成為實(shí)時(shí)在線(xiàn)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的瓶頸。例如在電力系統(tǒng)中，如果一個(gè)實(shí)時(shí)在線(xiàn)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在一年中出現(xiàn)1~2次誤報(bào)，那么這個(gè)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)將是不可信任而必須撤出的。因此，實(shí)時(shí)在線(xiàn)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)對(duì)其中的傳感器的穩(wěn)定性提出了更嚴(yán)格的要求，務(wù)必杜絕因傳感器本身特性漂移而產(chǎn)生誤報(bào)的現(xiàn)象。冗余法是傳感器故障診斷及漂移消除的一種有效方法。其基本思路是：不去探究引起傳感器漂移的是哪種干擾量，以及干擾量對(duì)傳感器漂移產(chǎn)生怎樣的影響。監(jiān)測(cè)一個(gè)參量本來(lái)只需要一個(gè)傳感器，而冗余法則采用多個(gè)目標(biāo)參量相同的傳感器（至少三個(gè)）來(lái)監(jiān)測(cè)同一個(gè)被測(cè)量，建立監(jiān)測(cè)同一被測(cè)量的多傳感器系統(tǒng)，其系統(tǒng)框圖如圖9-2所示（同第4章圖4-11）。需要對(duì)多路同種傳感器的輸出信號(hào)進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)據(jù)融合處理，以識(shí)別并克服傳感器的漂移。圖9-2基于冗余法的三傳感器（監(jiān)測(cè)一個(gè)參量）的智能傳感器系統(tǒng)9.2.1PCA算法實(shí)現(xiàn)傳感器故障檢測(cè)的思想

1．故障檢測(cè)的判斷依據(jù)

（1）計(jì)算平方預(yù)報(bào)誤差。

測(cè)得一組數(shù)據(jù)向量x=［x1,x2,…,xm］，其中xi為第

i個(gè)傳感器的輸出數(shù)據(jù)，則利用主元分析技術(shù)可獲得向量x的近似值或估計(jì)值為式中：C=PhPTh，Ph=［p1,p2,…,ph］，h為選定的主元個(gè)數(shù)；t為PCA主元向量，且：t=xPh真實(shí)值x和估計(jì)值之差為則平方預(yù)報(bào)誤差SPE為

SPE(x)=‖x‖2(9-13)

SPE統(tǒng)計(jì)量代表的是數(shù)據(jù)中沒(méi)有被PCA模型所解釋的變化，在正常情況下，SPE的值比較小。當(dāng)某個(gè)傳感器發(fā)生故障時(shí)，該傳感器輸出與陣列中其它傳感器輸出之間的聯(lián)關(guān)系將發(fā)生改變。（2）確定SPE控制限。

傳感器陣列在正常情況下的輸出數(shù)據(jù)矩陣x∈Rn×m，其中，n為數(shù)據(jù)組數(shù)（或樣本數(shù)），m為傳感器個(gè)數(shù)。X

的表達(dá)式如下：

x=［x1,x2,…,xm］

式中xi為第i個(gè)傳感器的輸出數(shù)據(jù)。首先利用x建立主元分析模型，得到選取主元所對(duì)應(yīng)的載荷矩陣Ph，然后依次假設(shè)傳感器1,2,…,m發(fā)生漂移，漂移量為a%，則可得到m個(gè)數(shù)據(jù)矩陣xi(i=1,2,…,m)，表達(dá)式如下：

xi=［x1,x2,…,

xi－1,xi+a%*L,xi+1,…,xm］(9-14)

式中：L為傳感器的量程。

接著計(jì)算數(shù)據(jù)矩陣xi的SPE值，則可得到n×m個(gè)SPE值，對(duì)這些SPE值求平均，得到的平均值可認(rèn)為是傳感器漂移a%時(shí)的SPE值的控制限。

2．傳感器故障檢測(cè)方法

傳感器故障檢測(cè)主要分兩部分：

(1)建立PCA傳感器模型，以反映傳感器的正常運(yùn)行

狀況。

①在傳感器的量程范圍內(nèi)，收集傳感器在正常情況下的輸出數(shù)據(jù)：x=其中：n為樣本數(shù)，m為傳感器個(gè)數(shù)。②對(duì)x進(jìn)行如下歸一化處理，目的是消除由于不同量綱所造成的虛假變異影響：(9-15)式中：M=［m1,m2,…,mm］為變量x的均值；diag(·)為對(duì)數(shù)矩陣；對(duì)角元素為變量的標(biāo)準(zhǔn)差的倒數(shù)，即③對(duì)xs進(jìn)行奇異分解：(9-16)式中：σiui記為第i個(gè)主元的分向量ti，vi為x的第i個(gè)載荷向量。④計(jì)算xs的特征值：(9-17)⑤計(jì)算解釋度：(9-18)⑥根據(jù)解釋度大小確定主元個(gè)數(shù)。

⑦確定SPE的控制限。

(2)利用PCA模型進(jìn)行傳感器故障檢測(cè)。

①采集傳感器陣列的當(dāng)前輸出數(shù)據(jù)x=[x1,x2,…,xm］，其中xi為第i個(gè)傳感器的輸出數(shù)據(jù)。利用已建立的PCA模型計(jì)算x的近似值（或稱(chēng)為估計(jì)值）：（9-19）式中：C=PhPTh,Ph=［p1,p2,…,ph］,h為選定的主元個(gè)數(shù)。②計(jì)算實(shí)際采樣值與估計(jì)值之差：(9-20)則SPE值為

SPE(x)=‖Δx‖2

③比較當(dāng)前SPE值與SPE值控制限，若SPE值大于SPE值控制限，則認(rèn)為傳感器陣列中有傳感器發(fā)生故障。④當(dāng)前SPE值超出了SPE值控制限，計(jì)算各傳感器對(duì)SPE的貢獻(xiàn)量（即比較式(9-20)中的Δxi的絕對(duì)值的大?。?，并認(rèn)為其中貢獻(xiàn)量最大的傳感器發(fā)生了故障。9.2.2［示例9-1］建立傳感器陣列、獲取關(guān)聯(lián)

數(shù)據(jù)與漂移數(shù)據(jù)

1.模擬傳感器陣列系統(tǒng)設(shè)計(jì)

模擬傳感器陣列原理圖如圖9-3所示。采用一個(gè)分壓器代表一個(gè)傳感器，設(shè)置不同的分壓比代表傳感器之間的差異，電源電壓Uin模擬被測(cè)參量；改變電源電壓Uin，代表被測(cè)參量改變，且各傳感器輸入相同的被測(cè)量;各個(gè)分壓

器的輸出電壓Uout代表傳感器的輸出，不同的分壓比由式（9-21）中的電阻R1與電阻R2阻值確定電位器的滿(mǎn)量程為Rx+Ry，由式(9-21)可知，通過(guò)調(diào)節(jié)電位器，即改變Rx和Ry兩者之間的電阻比，模擬傳感器的漂移。這樣，傳感器的漂移可以不受時(shí)間的限制而人為地控制。圖9-3模擬傳感器陣列原理圖圖9-3模擬傳感器陣列原理圖

2．標(biāo)定實(shí)驗(yàn)與關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)的獲取

模擬傳感器系統(tǒng)的標(biāo)定實(shí)驗(yàn)為：在多個(gè)不同電壓Uin測(cè)量各個(gè)分壓器（模擬傳感器陣列）的輸出電壓Uout，即得相對(duì)同一輸入電壓Uin（代表被測(cè)參量）的關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)，也即

模擬傳感器陣列的輸入輸出特性。

圖9-4所示特性與如表9-1所示標(biāo)定數(shù)據(jù)為三個(gè)實(shí)際電壓傳感器的輸入輸出特性。圖9-4實(shí)際電壓傳感器陣列各傳感器輸入輸出特性曲線(xiàn)

3．標(biāo)定數(shù)據(jù)矩陣描述

設(shè)傳感器陣列的標(biāo)定（輸出）數(shù)據(jù)矩陣用x表示，x∈R128×3，其中，128為數(shù)據(jù)組數(shù)（或稱(chēng)樣本數(shù)），3為傳感器個(gè)數(shù)，即x=其中:n=128;xij表示第i組數(shù)據(jù)、第j個(gè)傳感器的標(biāo)定值。

4.漂移數(shù)據(jù)的獲得

1）漂移實(shí)驗(yàn)1

用模擬傳感器陣列對(duì)5V電壓進(jìn)行測(cè)量。在第67次采樣時(shí)刻，將被測(cè)電壓Uin調(diào)整到8V，用以模擬被測(cè)量改變；從第172次采樣時(shí)刻起，調(diào)節(jié)模擬傳感器1中的電位器，使傳感器1發(fā)生漂移；從第290次采樣時(shí)刻起，調(diào)節(jié)模擬傳感器3中的電位器，使傳感器3發(fā)生漂移，各傳感器的輸出結(jié)果如圖9-5所示。圖9-5各傳感器輸出與獲得的漂移數(shù)據(jù)

2）漂移實(shí)驗(yàn)2：模擬傳感器陣列輸出電壓含有高斯白噪聲

被測(cè)電壓Uin為5.5V，高斯白噪聲的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.05。從第140次采樣時(shí)刻起，調(diào)節(jié)模擬傳感器2中的電位器，使傳感器2發(fā)生漂移；從第219次采樣時(shí)刻起，改

變調(diào)節(jié)傳感器2中的電位器，使傳感器2的漂移規(guī)律發(fā)生改變，各模擬傳感器的輸出結(jié)果如圖9-6所示。圖9-6含有高斯白噪聲的各傳感器輸出結(jié)果與漂移數(shù)據(jù)9.2.3［示例9-2］傳感器發(fā)生漂移的識(shí)別

1.建立傳感器漂移PCA模型

仿照表9-1的格式將模擬傳感器標(biāo)定的128個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的矩陣x進(jìn)行主元分析，獲取如下參數(shù)：

均值M＝［5.51594.29552.9154］

標(biāo)準(zhǔn)差s＝［5.69894.74773.7094］

利用式(9-15)對(duì)x

進(jìn)行歸一化處理得到數(shù)據(jù)矩陣xs，對(duì)xs進(jìn)行奇異分解可得：xs的特征值向量

λ＝［8547 230.81 2.973］

xs的載荷矩陣三個(gè)主元的解釋度為97.338%，2.629%，0.034%，因此，確定主元個(gè)數(shù)為1。第一主元所對(duì)應(yīng)的載荷矩陣為

Ph=［－0.68987－0.57919－0.4343］T

2.漂移傳感器的檢測(cè)與辨識(shí)

根據(jù)式（9-19）計(jì)算漂移數(shù)據(jù)的估計(jì)值x。

根據(jù)式（9-20）計(jì)算實(shí)際采樣值與估計(jì)值之差。

求取SEP并與SPE的控制限5.3×10－5相比較，大于控制限的傳感器為漂移傳感器，在實(shí)際應(yīng)用中不考慮其輸出數(shù)值，取消對(duì)漂移傳感器的數(shù)據(jù)檢測(cè)。

3.檢測(cè)結(jié)果

漂移實(shí)驗(yàn)1的檢測(cè)結(jié)果如圖9-7所示，在第187次采樣時(shí)刻，SPE值超出控制限；在第317次采樣時(shí)刻，SPE值超出控制限；而在第70次采樣時(shí)刻，由于傳感器輸出的變化是由正常輸入響應(yīng)引起的，故未發(fā)生報(bào)警。圖9-8給出了上述兩個(gè)采樣時(shí)刻各傳感器對(duì)SPE的貢獻(xiàn)量。圖9-7漂移實(shí)驗(yàn)1傳感器漂移報(bào)警圖（1）圖9-8給出了上述兩個(gè)采樣時(shí)刻各傳感器對(duì)SPE的貢獻(xiàn)量。由圖可知，在第187次采樣時(shí)刻，傳感器1對(duì)SPE的貢獻(xiàn)量最大，即傳感器1發(fā)生了漂移；在第317次采樣時(shí)刻，傳感器3對(duì)SPE的貢獻(xiàn)量最大，即傳感器3發(fā)生了漂移。該檢測(cè)結(jié)果與實(shí)際漂移數(shù)據(jù)相符。圖9-8漂移實(shí)驗(yàn)1傳感器漂移報(bào)警圖（2）

4.程序清單

clc%清除內(nèi)存中的所有變量和函數(shù)

clear

%主元分析程序

%載入傳感器陣列的標(biāo)定數(shù)據(jù)。其中，sample.txt為正常工作的傳感器陣列的標(biāo)定數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)以矩陣形式存儲(chǔ)在sample.txt文件中

data=load（′sample.txt′）；

%對(duì)data進(jìn)行奇異分解，u為歸一化矩陣；s為與data維數(shù)相同且降序排列的非負(fù)對(duì)角矩陣；load為載荷矩陣

［u,s,load］=svd(data);

%描述矩陣s的行數(shù)和列數(shù)，其中，row為s的行數(shù)；column為s的列數(shù)

［row,column］=size(s);

for(i=1:column)

lmda(i)=s(i,i)^2;%計(jì)算特征向量

end

%定義主元矩陣

score=［］;

ratio_temp=0;

fori=1:column

score_temp=u(:,i)*s(i,i);

score=［scorescore_temp］;%計(jì)算主元矩陣

ratio_temp=lmda(i)+ratio_temp;

end

%定義解析度

present_ratio=［］;

forjj=1:column

ratio=lmda(jj)/ratio_temp;

present_ratio=［present_ratioratio］;%計(jì)算解析度

end

%傳感器漂移檢測(cè)

%漂移實(shí)驗(yàn)1

%載入漂移實(shí)驗(yàn)1中各傳感器輸出數(shù)據(jù)

drift1=load(′drift1.txt′);

［row1column1］=size(drift1);

%利用PCA模型計(jì)算傳感器陣列