二次根式三種類型的化簡(jiǎn)求值（解析版） 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題訓(xùn)練

專題1二次根式三種類型的化簡(jiǎn)求值（解析版）類型一代入求值方法技巧：1.分母有理化；2.由x＝a＋，得x－a＝典例1問題：已知a=12+3，求2a2小明是這樣分析與解答的：∵a=12+3∴a﹣2=?3，∴（a﹣2）2＝3，即a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）計(jì)算：12022+2021=（2）若a=110?3，求3a2【思路引領(lǐng)】（1）直接找出分母有理化因式，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案；（2）直接找出分母有理化因式，再將原式變形，進(jìn)而化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：（1）1=2021=2021故答案為：2021?（2）∵a==10=10∴3a2﹣18a+5＝3（a2﹣6a）+5＝3[（a﹣3）2﹣9]+5＝3（a﹣3）2﹣22，＝3（10+3﹣3）2＝3×10﹣22＝8．【總結(jié)提升】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值以及分母有理化，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．（2023春?濱州期末）計(jì)算：已知x＝2+3，求代數(shù)式(7?4【思路引領(lǐng)】先求出x2＝7+43，再根據(jù)二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算，最后根據(jù)二次根式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：∵x=2+3∴x2＝（2+3）2＝4+3+43=7+4∴(7?4=(7?43=49?48+3?4?3=?3【總結(jié)提升】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，能正確根據(jù)二次根式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．2．已知a﹣b=5?3，b﹣c=3?2，設(shè)m為1a?c的整數(shù)部分，【思路引領(lǐng)】首先利用已知得出a﹣c的值，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)進(jìn)而求出m，n的值，進(jìn)而求出即可．【解答】解：∵a﹣b=5?3，b﹣∴a﹣b+b﹣c＝a﹣c=5=5∵m為1a?c∴1a?c∵2＜5∴m＝4，∵n為1a?c∴n=5+2﹣4∴5m+n2=45+【總結(jié)提升】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)以及估計(jì)無(wú)理數(shù)，得出a﹣c的值是解題關(guān)鍵．3．（2023春?新會(huì)區(qū)校級(jí)期末）小明在解決問題：已知a=12+3，求2a2∵a=1∴a?2=?3∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）＝﹣1．請(qǐng)你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題：（1）化簡(jiǎn)13（2）若a=1①求3a2﹣6a+1的值．②直接寫出代數(shù)式的值a3﹣3a2+a+1＝2；2a2【思路引領(lǐng)】（1）將原式分母有理化后，得到規(guī)律，利用規(guī)律求解；（2）將a分母有理化得a=2+1，移項(xiàng)并平方得到a2﹣2a＝1，對(duì)①，【解答】解：（1）原式==1＝5；（2）①∵a=1∴a?1=2∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1∴3a2﹣6a＝3，∴3a2﹣6a+1＝4；②∵a3﹣3a2+a+1＝a3﹣2a2﹣a2+a+1＝a（a2﹣2a）﹣a2+a+1，a2﹣2a＝1，∴原式＝a﹣a2+a+1＝﹣（a2﹣2a）+1＝﹣1+1＝0；∵2aa2﹣2a＝1，∴原式＝2﹣0＝2．故答案為：0，2．【總結(jié)提升】本題主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代數(shù)式的變形，解題的關(guān)鍵是變形各式后利用a2﹣2a＝1來(lái)求解．4．（2022秋?三水區(qū)期中）（1）計(jì)算（直接寫結(jié)果）：(3+2)2=11+62；(1?（2）把4+23寫成（a+b）2的形式為（1+3）2（3）已知a=7?1，求代數(shù)式a2+2【思路引領(lǐng)】（1）用完全平方公式展開，再合并即可；（2）用完全平方公式可得答案；（3）將已知變形，可得a2+2a+1＝7，從而可得答案．【解答】解：（1）（3+2）2＝9+62+2＝11+62，（1?5）2＝1﹣25故答案為：11+62，6﹣25；（2）4+23=1+23+（3）2＝（1+3故答案為：（1+3）2（3）∵a=7∴a+1=7∴a2+2a+1＝7，∴a2+2a+3＝9．【總結(jié)提升】本題考查完全平方公式和二次根式變形求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．5．（2022秋?閔行區(qū)期中）已知x=23?1，求代數(shù)式x2【思路引領(lǐng)】先分母有理數(shù)求出x=3【解答】解：∵x=2∴x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣1﹣1＝（3+1?1）2＝3﹣2＝1．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值和分母有理化，能求出x的值是解此題的關(guān)鍵．類型二對(duì)稱式求值方法技巧：講代數(shù)式化為兩數(shù)的和或差，兩數(shù)的積的形式，再求值。典例2（2023春?江漢區(qū)期中）已知x＝2?3，y＝2+（1）1（2）(7+4【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)x、y的值計(jì)算出x+y、xy的值，代入原式=x+y（2）將x、y的值代入原式后，根據(jù)二次根式的運(yùn)算順序和運(yùn)算法則計(jì)算可得．【解答】解：（1）∵x＝2?3，y＝2+∴x+y＝2?3+2xy＝（2?3）（2?則原式=x+y（2）原式＝（7+43）（2?3）2+（2+3）（2?＝（7+43）（7﹣43）+4﹣3+＝49﹣48+1+＝2+3【總結(jié)提升】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則及完全平方公式和平方差公式．針對(duì)訓(xùn)練1．已知a+b＝6，ab＝4，求ab【思路引領(lǐng)】首先化簡(jiǎn)二次根式，再通分計(jì)算二次根式的加法，然后再代入a+b＝6，ab＝4即可得到答案．【解答】解：ab當(dāng)a+b＝6，ab＝4時(shí)，原式=6×【總結(jié)提升】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，關(guān)鍵是正確把二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算．2．已知a+b＝﹣6，ab＝3，求ab【思路引領(lǐng)】首先得出a，b的符號(hào)，進(jìn)而開平方化簡(jiǎn)求出即可．【解答】解：∵a+b＝﹣6，ab＝3，∴a，b都小于0，∴ab+ba=【總結(jié)提升】此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，正確應(yīng)用已知條件化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵．3．（2021秋?船山區(qū)校級(jí)期末）已知：x=1（1）x2+y2；（2）yx【思路引領(lǐng)】（1）先求出x=3?2，y=3+2（2）先通分，再將x+y=23【解答】解：∵x=3∴x+y=23（1）x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（23）2﹣2×1＝10；（2）y=10＝10．【總結(jié)提升】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．4．（2021秋?雨花區(qū)校級(jí)期末）已知x＝3+7，y＝3?（1）x2+y2；（2）yx【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)完全平方公式對(duì)原式進(jìn)行變形，然后利用二次根式加減法和平方差公式求得x+y與xy的值，從而代入求值；（2）原式進(jìn)行通分計(jì)算，然后利用整體思想代入求值．【解答】解：（1）原式＝（x+y）2﹣2xy，∵x＝3+7，y＝3?∴x+y＝（3+7）+（3?7）＝3+7xy＝（3+7）（3?∴原式＝62﹣2×2＝36﹣4＝32；（2）原式=y當(dāng)xy＝2，x2+y2＝32時(shí)，原式=32【總結(jié)提升】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解題關(guān)鍵．5．（2023春?黃渤海新區(qū)期中）已知：x=7+5，（1）x2﹣xy+y2；（2）xy【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)二次根式的加法法則求出x+y，根據(jù)二次根式的乘法法則求出xy，根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可；（2）根據(jù)分式的減法法則、平方差公式把原式變形，代入計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵x=7+5，∴x+y＝（7+5）+（7?5）＝27，x﹣y＝（7+xy＝（7+5）（∴x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝28﹣6＝22；（2）xy?y【總結(jié)提升】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)求值，掌握二次根式的加法法則、乘法法則、完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．類型三配方法求值方法技巧：抓中間項(xiàng)，配成完全平方式，從而求值典例3已知a﹣b=5+3，b﹣c=5?3，求a2+b2+c2﹣【思路引領(lǐng)】由a﹣b=5+3，b﹣c=5?3，得出a﹣c＝25，把原式變形得到原式=12（a2+b2﹣2ab）+12（b2+c2﹣2bc）+12（a2+c2﹣2ac），再利用完全平方公式得到原式=12（a﹣b）2+【解答】解：∵a﹣b=5+3，b﹣∴a﹣c＝25，∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=12（a2+b2﹣2ab）+12（b2+c2﹣2bc）+12（a2=12[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）=12（8+15＝18．【總結(jié)提升】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，因式分解的應(yīng)用，利用因式分解的方法把所給的代數(shù)式和等式進(jìn)行變形，然后得到更為簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，再利用整體思想解決問題．針對(duì)訓(xùn)練1．（2022秋?象山區(qū)校級(jí)月考）已知a，b滿足等式a2+6a+9+b?13=0，則aA．2 B．﹣3 C．0 D．1【思路引領(lǐng)】先將原式變形，求出a，b，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的逆運(yùn)算即可求解．【解答】解：∵a2∴(a+3)∴a+3＝0，b?1∴a＝﹣3，b=1∴a2021b2020=(?3)故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了完全平方公式，平方以及算術(shù)平方根的非負(fù)性，同底數(shù)冪的乘法、積的乘方的逆用等知識(shí)，根據(jù)題意求出a，b的值，熟知同底數(shù)冪的乘法、積的乘方是解題關(guān)鍵．2．